2021届静安区高三一模数学试卷和答案

一. 填空题（本大题共8题，每题6分，共48分）

1．命题“若0≠ab ，则0≠a 且0≠b ”的逆否命题为 ▲ ．

2．6

12)2(−−x x 的二项展开式的常数项是 ▲ ．

3．如图所示，弧长为

2

π

，半径为1的扇形（及其内部）绕OB

所在的直线旋转一周，所形成的几何体的表面积为 ▲ ．

4．设i 是虚数单位，若i

2i

1−+a 是纯虚数，则实数=a ▲ ．

5．在△ABC 中，2=AB ，1=AC ．D 是BC 边上的中点，则

BC AD ⋅的值为 ▲ ．

6．某校的“希望工程”募捐小组在假期中进行了一次募捐活动．他们第一天得到15元，从第二天起，每一天收到的捐款数都比前一天多10元．要募捐到不少于1100元，这次募捐活动至少需要 ▲ 天．（结果取整） 7．某校开设9门选修课程，其中A ，B ，C 三门课程由于上课时间相同，至多 选一门，若规定每位学生选修4门，则一共有 ▲ 种不同的选修方案． 8. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P 以每秒

2

π

的角速度从点A 出发，沿半径为2的 上半圆逆时针移动到B ，再以每秒3π

的角速度

从点B 沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标 原点O ，则上述过程中动点P 的纵坐标y 关于 时间t 的函数表达式为 ▲ ．

第8题图

A

B

O 第3题图

二、选择题（本大题共3题，每题6分，共18分）

9．若b a >，d c >，则下列不等式中必然成立的一个是 （ ）．

A ．c b d a +>+；

B ．bd ac >；

C ．b c a d −<−；

D ．

d

b c a >． 10．下列四个选项中正确的是 （ ）．

A ．关于y x ,的方程022=++++F Ey Dx y x （,,R D E F ∈）的曲线是圆；

B ．设复数21,z z 是两个不同的复数，实数0>a ，则关于复数z 的方程

a z z z z 2||||21=−+−的所有解在复平面上所对应的点的轨迹是椭圆； C ．设为两个不同的定点，为非零常数，若，则动点

的轨迹为双曲线的一支；

D ．双曲线

19

2522=−y x 与椭圆13522

=+y x 有相同的焦点． 11．在平面直角坐标系xOy 中，α、β是位于不同象限的任意角，它们的终边

交单位圆（圆心在坐标原点O ）于A 、B 两点．若A 、B 两点的纵坐标分别为正数a 、b ，且0)cos(≤−βα，则b a +的最大值为 （ ）． A ．1；

B ．2；

C ．2；

D ．不存在．

三、解答题（本大题共有5题，共84分）

12．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题满分7分）

如图所示，等腰梯形ABFE 是由正方形ABCD 和两个全等的Rt △FCB 和 Rt △EDA 组成，1=AB ，2=CF ．现将Rt △FCB 沿BC 所在的直线折起，点

F 移至点

G ，使二面角G BC E −−的大小为 60．

（1）求四棱锥ABCE G −的体积；

B A ,k ||||PA PB k −=P

（2）求异面直线AE 与BG 所成角的大小．

13．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）

设x

x

a x f 212)(−+=，其中常数R a ∈．

（1）设0=a ，()∞+=，

1D ，求函数)(x f y =(D x ∈)的反函数； （2）求证：当且仅当1=a 时，函数)(x f y =为奇函数．

14．（本题满分16分；第1小题7分，第2小题9分）

如图所示，在河对岸有两座垂直于地面的高塔CD 和EF ．

张明在只有量角器（可以测量从测量人出发的两条射线的夹角）和直尺（可测量步行可抵达的两点之间的直线距离）的条件下，为了计算塔CD 的高度，他在点A 测得点D 的仰角为 30， 75=∠CAB ，又选择了相距100米的B 点，测得 60=∠ABC ．

（1）请你根据张明的测量数据求出塔CD 高度；

A B

C

D E F

G

第12题图

（2）在完成（1）的任务后，张明测得 90=∠BAE ，并且又选择性地测量了两

个角的大小（设为α、β）．据此，他计算出了两塔顶之间的距离DF ． 请问：①张明又测量了哪两个角？（写出一种测量方案即可）

②他是如何用α、β表示出DF 的？（写出过程和结论）

15．（本题满分19分，第1小题6分，第2小题6分，第3小题7分）

)5(2≥n n 个正数排成n 行n 列方阵，其中每一行

从左至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数q 的等比数列．

已知112=a ，214=a ，32

5

55=

a ． （1）设n n a

b 1=，求数列{}n b 的通项公式；

（2）设1312111n n a a a a S +⋅⋅⋅+++=，求证：1*2

2()2

N n n n T n +=−

∈．

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅nn n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a 3

2

1

333323122322211131211

第13题图

A

B

C

D

E

F

16．（本题满分21分，第1小题6分，第2小题7分，第3小题8分）

如图所示，定点F 到定直线l 的距离3=MF ．动点P 到定点F 的距离等于它到定直线l 距离的2倍．设动点P 的轨迹是曲线Γ．

（1）请以线段MF 所在的直线为x 轴，以线段MF 上的某一点为坐标原点O ，建

立适当的平面直角坐标系xOy ，使得曲线Γ经过坐标原点O ，并求曲线Γ的方程；

（2）请指出（1）中的曲线Γ的如下两个性质：①范围；②对称性．并选择其一

给予证明．

（3）设（1）中的曲线Γ除了经过坐标原点O ，还与x 轴交于另一点C ，经过点

F 的直线m 交曲线Γ于A ，B 两点，求证：CB CA ⊥．

l

M

F

第16题图

静安区2020学年第一学期教学质量检测高三数学试卷

答案与评分参考标准

一. 1．若0=a 或0=b ，则.0=ab 2．60； 3．3π； 4．2；

5. 23

−； 6．14； 7．75； 8. (]()(]π2sin ,0,2,2πsin 2π,2,5.

3t t y t t ⎧∈⎪⎪=⎨⎡⎤⎪−+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩　　　

二、9．C ； 10．D ； 11．B ． 三、12．

解：（1）由已知，有,,BC EC BC GC ⊥⊥所以60.ECG ∠= （1分） 联结DG ，由1==AB CD ，2==CF CG ，,60 =∠ECG 有EF DG ⊥①（1分） 由,,CG BC EF BC ⊥⊥有,BC DEG ⊥平面所以，BC DG ⊥② （1分） 由①②知，,ABCE DG 平面⊥所以DG 就是四棱锥ABCE G −的高 （1分）

在Rt CDG ∆中，.360sin 2=⨯=

DG （1分）

故，.332321211312=

⨯⎪⎭⎫

⎝⎛⨯⨯+⨯=V （2分） （2）取DE 的中点H ，联结BH 、GH ， （1分）

则AE BH //，故GBH ∠既是AE 与BG 所成角或其补角. （1分） 在BGH ∆中，5==BG BH ，222=+=DH DG GH , （2分）

则.5

3

cos =∠GBH （2分）

故，异面直线AE 与BG 所成角的大小为3

arccos 5

. （1分）

H

A

B

C

D

E F

G

13．解：（1）由已知，设x x y 212−=,得1log 2+=y y x ． （2分） 又x

x x y 2111212−+−=−=，所以，函数)(x f y =(D x ∈)单调递增. （2分） 故，1

log )(21+=−x x x f ，()+∞−∈,2x ； （2分） （2）i)函数x x

a x f 2

12)(−+=的定义域为()()+∞∞−,00, ． （1分） 若1=a ，x

x

x f 2121)(−+=，对于任意的()()+∞∞−∈,00, x ，有 )(2

1212121)(x f x f x x

x x −=−+−=−+=−−−． 所以，)(x f y =是奇函数． （3分） ii) 方法1：由)(x f y =是奇函数，有)1()1(f f −=−，解得1=a ． （4分）

方法2：若1≠a ，则122

12)1(11+=−+=−−−a a f ，2212)1(−−=−+=a a f ， )1()1(f f −≠−（否则1=a ），)(x f 不是奇函数． （4分） 方法3：若()f x 为奇函数，则，对于任意的()()+∞∞−∈,00, x ，有

)()(x f x f −=−，即，x x

x x a a 2

12212−+−=−+−−． 即0)12)(1(=−−x a ．1=∴a ． （4分）

14．解：（1）在ABC ∆中， 45180=∠−∠−=∠CBA CAB ACB ， （1分）

由正弦定理，有ACB AB CBA AC ∠=∠sin sin ，（3分） 所以，65045sin 60sin 100=⨯= AC 米． （2分） DAC AC CD ∠=tan

25030tan 650=⋅= 米． （1分）

（2）由（1）有2100=AD 米． 测得α=∠ABF ，β=∠DAF ． （2分） 由已知，有EF AB ⊥，AE AB ⊥，

所以，AEF AB 平面⊥，得AF AB ⊥．

所以，ααtan 100tan ==AB AF ．（2分） 在ADF ∆中，由余弦定理，有

=DF βcos 222AF AD AF AD ⋅−+ （3分）

βααcos tan 22tan 21002−+=米．（2分） 【另解1】测得α=∠ABF ，β=∠DBF ．解得，αsec 100=BF ，)13(50+=BC ，32650+=BD ．在BDF ∆中，由余弦定理，有 DF βααcos sec 32sec 4326502+−++=米．（同样给分） A

B C D E

F

第13题图

【另解2】测得α=∠ABE ，β=∠EAF ． （2分）

由已知，有EF AB ⊥，AE AB ⊥，

所以，AEF AB 平面⊥，得AF AB ⊥．

所以，αtan 100=AE ． （2分） 在ACE ∆中，由余弦定理，有

EC 15cos tan 61000015000tan 100002αα−+=米． （2分） βαtan tan 100=EF 米． （1分） 截取CD EG =，则，=DF 2

2EC FG +ααβαtan )326(6tan 4)2tan tan 2(5022+−++−=米． （2分）

【另解3】测得α=∠ABE ，β=∠EBF ． （2分）

由已知，有EF AB ⊥，AE AB ⊥，

所以，AEF AB 平面⊥，得AF AB ⊥．

解得，αsec 100=BE ． （2分） 在ACE ∆中，由余弦定理，有

EC 15cos tan 61000015000tan 100002αα−+=米． （2分） βαtan sec 100=EF 米． （1分） 截取CD EG =，则，=DF 2

2EC FG +ααβαtan )326(6tan 4)2tan sec 2(5022+−++−=米． （2分）

15．解：（1）由题意，数列{}n b 是等差数列，设首项为1a ，公差为d ， 由112=a ，214=a 得 ⎩⎨⎧=+=+.23,11

1d a d a 解得211=a ，21=d ． （3分） 故，数列{}n b 的通项公式为2

)1(2121n n b n =−+=． （3分）

（2）由（1）可得2515=a ，再由已知32

555=a ，得 42

5325q =，解得21±=q ，由题意舍去21−=q ． （3分） A B

C D E F G

n n n n a a a a S ⎪⎭⎫ ⎝⎛−=−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭

⎫ ⎝⎛−=+⋅⋅⋅+++=∴2112

1

1211211312111． 由指数函数的性质，有1（3）（i ）当1=n 时，2

11=T ，等式成立． （1分） （ii ）假设当k n =时等式成立，即，22()2

k k k T k *+=−∈N （1分） 当1+=k n 时，)1)(1(1++++=k k k k a T T

k k k a T ⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅+=+21)1(1 ++−=k k 2

22⋅+21k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛21 12

2)1(2+++−=k k ， 等式成立． （4分）

根据（i ）和（ii ）可以断定，n n n T 222+−=对任何的n *∈N 都成立.（1分） 16．解：（1）在线段MF 上取点O ，使得MO OF 2=，以点O 为原点，以线段MF 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ． （2分）

设动点P 的坐标为()y x ,，则有()0,1−M ，

()0,2F ，由题意，有 12)2(22+=+−x y x ，

整理得：012322=−+y x x ． ① （4分）

（2）①范围：0≥x 或4−≤x ，曲线Γ

位于直线0=x 与4−=x 两侧． （1分）

②对称性： 曲线Γ关于0=y 成轴对称； （1分） 曲线Γ关于2−=x 成轴对称； （1分） 曲线Γ关于)0,2(−成中心对称． （1分） 范围证明：

12)2(322=−+y x ，.1212)2(322≥+=+y x （3分） 对称性证明：

l M F x

y O P

在方程①中，把y 换成y −，方程①不变，

所以，曲线Γ关于0=y 成轴对称； （1分）

在方程①中，把x 换成x −−4，方程①不变，

所以，曲线Γ关于2−=x 成轴对称； （1分）

在方程①中，把y 换成y −，或把x 换成x −−4，方程①不变， 所以，曲线Γ关于)0,2(−成中心对称； （1分）

（3）将0=y 代入012322=−+y x x ，解得4−=x ，0=x （舍）．

所以()0,4−C ． （1分） （i ）若直线l 垂直于x 轴:

将2=x 代入012322=−+y x x ，解得6±=y ，

此时，()6,2A 、()6,2−B ．所以，()6,6=CA ，()6,6−=CB ．

,0=⋅CB CA CB CA ⊥∴． （2分） （ii ）若直线m 不垂直于x 轴:

设()11,y x A 、()22,y x B ，()11,4y x CA +=，()22,4y x CB +=．

直线m 的方程为)2(−=x k y ，将其代入012322=−+y x x ，整理得，

04)3(4)3(2222=−++−k x k x k ． （1分） 所以，3)3(42221−+=+k k x x ，3

422

21−=k k x x ． （1分） 336]4)(2[)2)(2(22

21212

21221−−=++−=−−=∴k k x x x x k x x k y y ． （1分） =⋅∴CB CA =+++2121)4)(4(y y x x 016)(4212121=++++y y x x x x ． （1分） 故，CB CA ⊥． （1分）