2017松江区高三一模数学试卷及答案解析

2016.12

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1. 设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =

2. 已知a 、b R ∈，i 是虚数单位，若2a i bi +=-，则2()a bi +=

3. 已知函数()1x f x a =-的图像经过(1,1)点，则1(3)f

-=

4. 不等式|1|0x x ->的解集为

5. 已知(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，则函数()f x a b =⋅的最小正周期为

6. 里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道，在由2名中国运动员和6 名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为

7. 按下图所示的程序框图运算：若输入17x =，则输出的x 值是

8. 设230123(1)n n n x a a x a x a x a x +=++++⋅⋅⋅+，若2313

a a =，则n = 9. 已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么 这个圆锥的侧面积是 2

cm 10. 设(,)P x y

是曲线1C =上的点，1(4,0)F -，2(4,0)F ，则12||||PF PF + 的最大值为 11.

已知函数13()28,

3x x f x x ≤≤=->⎪⎩，若()()F x f x k x =-在其定义域内有3个

零点，则实数k ∈ 12. 已知数列{}n a 满足11a =，23a =，若1||2n n n a a +-=*()n N ∈，且21{}n a -是递增数

列，2{}n a 是递减数列，则212lim

n n n

a a -→∞= 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 已知a 、b R ∈，则“0ab >”是“2b a a b

+>”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件

D. 既非充分又非必要条件

14. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在截面1A DB 上，则线段AP 的最小值为（ ）

A. 13

B. 12

C.

D. 15. 若矩阵11122122a a a a ⎛⎫

⎪⎝⎭满足：11a 、12a 、21a 、22{0,1}a ∈， 且1112

2122

0a a a a =，则这样的互不相等的矩阵共有（ ） A. 2个 B. 6个 C. 8个 D. 10个

16. 解不等式11()022x x -+

>时，可构造函数1()()2

x f x x =-，由()f x 在x R ∈是减函数 及()(1)f x f >，可得1x <，用类似的方法可求得不等式263arcsin arcsin 0x x x x +++> 的解集为（ ）

A. (0,1]

B. (1,1)-

C. (1,1]-

D. (1,0)-

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==，E 是棱PC 的中点；

（1）求证：PC BD ⊥；

（2）求直线BE 与PA 所成角的余弦值；

18. 已知函数21()21

x x a f x ⋅-=+（a 为实数）； （1）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；

（2）若对任意的1x ≥，都有1()3f x ≤≤，求a 的取值范围；

19. 松江天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”， 兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高，如图，记O 点为塔基、P 点为塔尖、 点P 在地面上的射影为点H ，在塔身OP 射影所在直线上选点A ，使仰角45HAP ︒

∠=， 过O 点与OA 成120︒的地面上选B 点，使仰角45HBP ︒∠=（点A 、B 、O 都在同一水平 面上），此时测得27OAB ︒∠=，A 与B 之间距离为33.6米，试求：

（1）塔高；（即线段PH 的长，精确到0.1米）

（2）塔的倾斜度；（即OPH ∠的大小，精确到0.1︒）

20. 已知双曲线22

22:1x y C a b

-=经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为60︒，直线l 交双曲线 于A 、B 两点；

（1）求双曲线C 的方程；

（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A 、B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率PA k 、PB k 均 存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；

（3）若l 过双曲线的右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(,0)M m ，使得直线l 绕点1F 无论怎 样转动，都有0MA MB ⋅=成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由；

21. 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称为“H 型数列”；

（1）若数列{}n a 为“H 型数列”，且113a m =

-，21a m

=，34a =，求实数m 的范围； （2）是否存在首项为1的等差数列{}n a 为“H 型数列”，其前n 项和n S 满足2n S n n <+ *()n N ∈？若存在，请求出{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由；

（3）已知等比数列{}n a 的每一项均为正整数，且{}n a 为“H 型数列”； 若23

n n b a =，n c =5(1)2n n a n -+⋅，当数列{}n b 不是“H 型数列”时， 试判断数列{}n c 是否为“H 型数列”，并说明理由；

参

一. 填空题

1. {1}

2. 34i -

3. 2

4. (0,1)

(1,)+∞ 5. π 6. 14 7. 143 8. 11

9.

10. 10

11. 12. 12-

二. 选择题

13. B 14. C 15. D 16. A

三. 解答题

17.（1）略；（2

18.（1）1a =-，偶函数；1a =，奇函数；a R ∈且1a ≠±，非奇非偶函数；

（2）[2,3]；

19.（1）18.9米；（2）6.9°；

20.（1）2

2

13

y x -=；（2）3；（3）(1,0)-； 21. （1）2132132,42a a a a m -=>-=->,解得：m ∈1(,0)(,)2

-∞+∞ （2）由定义可知，公差2d >,212(1)21

n n S n n n d n n d n =+-<+⇒<- 2221d d n <+⇒≤-,与2d >矛盾，∴不存在 （3）由题意1,*a q N ∈ ，且1q >

21121111(1)2

2(1)2(1)33

(1)3

a a a q

b b a q a q a q -=->-=-≤⇒-≤-= 111)3,2,32n n a q a -===⋅，481n

c n =

+单调递减， 2182c c -=-<，不是“H 型数列”

1

1822)1,4,4,1n

n n n a q a c n -⋅====+ 令1122828()21(1)(2)n n n n n n n d c c n n n n ++⋅⋅=-=-=++++，121823

d c c =-=> 令12182(1)828220(2)(3)(1)(2)2(1)(3)

n n n n n n n n n n e d d n n n n n n n ++⋅⋅+⋅⋅⋅++=-=-=⋅>+++++++ {}n d 单调递增，∴12n n c c +->，{}n c 是“H 型数列”

综上，14n n a -=，{}n c 是“H 型数列”

123n n a -=⋅，{}n c 不是“H 型数列”