65质点系的动能定理和机械能守恒定律

一、质点系的动能

1. 质点系动能的定义.

质点系的总动能T 定义为质点系内每个质点动能之和, 即

21121i i n

i n i i v m T T ∑∑==== 2. 柯尼希定理.

212t 2

121i i n i c c v m v m T T T ′+=′+=∑= 式中c T 为位于质心的假想质点的动能, T ′为质点系在质心系中的动能.

证明: 由i c i r r r ′+= 可知i c i v v v ′+= , 所以

)()(2

121121i c i c i n i i i n

i v v v v m v m T ′+⋅′+==∑∑== 211212

121i i n i i n i c i c i n i v m v v m v m ′+′⋅+=∑∑∑=== 由于0=′⋅=′⋅=′⋅∑∑c t c i i c i c i v m v v m v v v m , 则 212t 2

121i i n i c v m v m T ′+=∑= 例题7 质量为m 、 半径为R 的匀质圆盘, 在

Oxy 平面沿x 轴做无滑滚动, 盘心速度为0v , 如图

所示, 求圆盘动能.

解 盘心即为圆盘质心, 建立质心系y x C ′′如图. 则

222

121ωI mv T c += 220

220212121R

v mR mv ⋅⋅+= 204

3mv =

二、质点系在惯性系中的动能定理

和机械能守恒定律

1. 质点系的动能定理.

质点系的动能定理表述为: 在惯性系中, 质点系动能的微分等于质点系所受所有外力和内力的元功之和, 即

∑∑==+=+=n

i i i n i e i

i e W W W W T 1)(1)()()(δδδδd i n i i i i n

i e i r F r F d d 1

)(1)(⋅+⋅=∑∑== 证明: 质点系内第i 个质点的动能定理为

i i i i e i i r F r F T d d d )()(⋅+⋅=

对n 个质点求和, 则

)()(1

)(1)(δδd d d i e i n i i i i n i e i W W r F r F T +=⋅+⋅=∑∑== 质点系动能的微分与内力元功有关

.

由于刚体内力做功之和为零, 即

0δ)(=i W , 所以刚体动能的微分与内力元功无关.

2. 内势能.

从严格意义上讲动能与势能的转化, 要用一对保守力做功之和来度量.

由于一对内力所做元功之和, 已归结为其中一个力在其受力质点相对另一质点的相对位移中所做元功, 即

ij ij ij ij j ji i ij r F r F r F r F d d d d ±=⋅=⋅+⋅

因此, 一对内力为保守力, 自然可以使用在§3-5中给出的等价定义中的任意一种来定义. 比如实

际中涉及的内力均)(ij ij ij r F F =,若

)(d d d )(ij i ij j ji i ij r V r F r F −=⋅+⋅ 则这一对内力为保守内力.

为与质点力学中讨论的外势能)(e V

区分, 一对内保守力的势能记为)(i V , 称为内势能.

物理本质——内势能.

外势能是对势能的一种理解方式, 是简化功能关系的一种方法.

外势能的概念又必须存在, 否则完整的质点动力学就不能建立.

3. 质点系的机械能定理和机械能守恒定律.

对于第i 个质点所受保守外力)(e ic F , 可引入外

势能)(e i V

)()(d d e i i e ic V r F −=⋅

则质点系总外势能

∑==n i e i

e V V 1

)()( 对于第i 个质点与第j 个质点间的一对保守内力, 可引入内势能)

(i ij V

)(d d )(ij i ij ij ij r V r F −=⋅

则质点系总内势能

∑≠==n j i j i i ij i V V ,1,)()(21

并把第i 个质点所受非保守外力所做元功记为

)(nc δe i W ，把第i 个质点与第j 个质点间的一对非保守内

力所做元功记为)(nc δi ij W ，则由质点系的动能定理,可

导出

∑∑≠==+=++n j i j i i ij n

i e i i e W W V V T ,1,)(nc 1)(nc )()(δ21δ)(d 定义质点系总势能)()(i e V V V +=, 总机械能)()(i e V V T V T E ++=+=, 则上式称为质点系的机械能定理.

作为其推论, 质点系的机械能守恒定律表述为:

若在某一过程中, 质点系所受非保守外力均恒不做功, n i W e i ,,2,1,0δ)

(nc ⋅⋅⋅=≡; 每一对内非保守

力做功之和均恒为零, n j i W i ij ,,2,1,,0)(nc ⋅⋅⋅=≡δ且j i ≠,

则在该过程中质点系的总机械能守恒,

=++=+=)()(i e V V T V T E 常量

质点系机械能守恒说明, 在运动过程中质点系的动能与势能可以相互转化, 但没有机械运动与其他形式的运动之间的能量转化.

三、质点系在质心系中的动能定理

质点系在质心系中的动能定理为

i n i i i i n i e i i i n

i r F r F v m T ′⋅+′⋅=′=′∑∑∑=== d d 21d d 1)(1)(21 亦与惯性系中的动能定理形式相同, 与内力元功有关.

证明: 在作为非惯性系的质心系中讨论质点系运动时, 需考虑惯性力, 且视惯性力为外力. 由于各质点所受惯性力在质心系内做功之和

0)(d d =′⋅−=′⋅−∑∑i i c i c i r m a r a m , 所以惯性力不在方程中出现, 定理形式与惯性系内定理形式相同.

四、小结

牛顿力学基本理论框架.

一般情况下, 质点系力学的三个定理只能对质点系的运动进行整体描述, 而不能确定其中每个质点的运动细节.

内力. 质心和质心系．

从整体上研究质点系运动的基本思想是把其整体运动分解为以质心为代表的“平动”和相对质心系的运动.

在质点系力学中三个基本定理有相对的性, 因此如何选取适当的定理去解决问题, 往往是成败的关键.

例题8 绞车安装在水平梁上, 梁的两端搁在支座A 和B 上, 质量为1m 的重物向下做加速运动, 并通过不可伸长的轻绳带动滑轮转动. 滑轮质量为2m , 半径为R , 可视为匀质圆盘. 梁及支架总质量为3m , 其质心C 在AB 的垂直平分线上. 滑轮轴承光滑, l AB 2=, d AD =, 如图所示, 设初时各物体均为静止、 绳与滑轮间滑动.

试求: (1) 重物1m 的加速度; (2)A 处支座对梁的作用力.

解 先分析各物体运动情况……在重物下落过程中梁固定不动.

(1)以重物、 绳和滑轮构成系统, 受外力g m W 11=, g m W 22=, NO F (NO F 沿竖直方向). 建立坐标系Oxyz 如图, 由对z 轴的角动量定理

g Rm R

x R m x Rm t 1221)21(d d =+ 所以

21122m m g m x +=

(2) 以重物、 绳、 滑轮及梁构成了系统, 受外力g m W 11=, g m W 22=, g m W 33=, NA F , NB F , 建立BZ 轴与z 轴同向, 由对BZ 轴的角动量定理

+−R x R m x m d l t 22121)2(d d

NA lF g lm g m R d l g m d l 2)2()2(321−+−−+−=

利用)2(2211m m g m x +=

, 可求得 g lm g Rm g m m d l l

F NA 3221))(2{(21+−+−= ]})2(2[)

2(21211R m m d l m m g m +−+− 讨论:

(1) 可以根据动能定理求x

. 以)(21m m ++绳为系统, 由于在运动中只有保守力g m W 11=做功, 所以系统机械能守恒, 以o 为重力势能零点, 则

0112221)(212121gx m gx m R

x R m x m −=−⋅+ 0x 为重物初始位置.

(2) 当我们用角动量定理求x

时, 系统选取要适当.

(3) 用动量定理无法求出x

. (4) 求出x

后,用动量定理NO F g m g m x m −+=211 求出NO F , 再以3m 为系统求出NA F .

选取系统、 定理和参考点(轴)的原则是: 尽量减少在方程中出现的未知量个数……

(1) 选用动量和角动量定理时, 内力不在方程中出现;

(2) 选用角动量定理时, 对参考点(轴)力矩为零的外力不在方程中出现;

(3) 应用动能定理时, 不做功的外力及内力均不在方程中出现.

优先选用守恒定律解决问题.

例题9 一水平匀质细管长为L , 质量为0m , 能绕过管一端并与其固连的竖直轴转动. 轴质量可忽略, 轴承处光滑. 管内放有一质量为m 的小球, 如图所示. 初始时, 管的角速度为0ω, 小球位于管的中点, 小球相对管的速度为零. 设小球与管壁间无摩擦, 试求小球出口时的速率.

解 以小球、 管和轴构成系统, 建立柱坐标系如图所示, 极轴沿管的初始位置. 系统受外力

g m W 01=, g m W =2, NA F 和NB F 对z 轴力矩均为零,

所以系统对z 轴角动量守恒. 设小球出口时管的角速度为ω , 小球速度为v , 则

02020220)2

(3131ωωωωL m L m mL L m +=+ 所以

000)

3(434ωωm m m m ++=

由于系统所受所有外力、 内力均不做功, 所以系统机械能守恒

2020202220)2(213121213121ωωωL m L m mv L m +⋅=+⋅ 故

2

02000

366928)3(4m

m m m m m L v +++=ω

请读者思考: 若小球与管壁间有摩擦, 对小球出口速度v 及径向速度r v

有何影响?