2020年北京中考数学试题

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1.  如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）

A.圆柱    B.圆椎    C.三棱柱    D.长方体

2.  年月日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，月日成功定点于距离地球公里的地球同步轨道．将用科学记数法表示应为（ ）

A.    B.    C.    D.

3.  如图，和相交于点，则下列结论正确的是（ ）

A.＝    B.＝    C.    D.

4.  下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）

A.    B.    C.    D.

5.  正五边形的外角和为（ ）

A.    B.    C.    D.

6.  实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数满足，则的值可以是（ ）

A.    B.    C.    D.

7.  不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“”，“”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为的概率是（ ）

A.    B.    C.    D.

8.  有一个装有水的容器，如图所示，容器内的水面高度是，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）

A.正比例函数关系    B.一次函数关系

C.二次函数关系    D.反比例函数关系

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.  若代数式有意义，则实数的取值范围是________．

10.  已知关于的方程＝有两个相等的实数根，则的值是________．

11.  写出一个比大且比小的整数________．

12.  方程组的解为________．

13.  在平面直角坐标系中，直线＝与双曲线交于，两点．若点，的纵坐标分别为，，则的值为________．

14.  如图，在中，＝，点在上（不与点，重合）．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是________．

15.  如图所示的网格是正方形网格，，，，是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为： ＝ （填“”，“＝”或“”）．

16.  如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为，，，．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买，号座位的票，乙购买，，号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序________．

三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17.  计算：．

18.  解不等式组：

19.  已知＝，求代数式的值．

20. 已知：如图，为锐角三角形，＝，．

求作：线段，使得点在直线上，且．

作法：①以点为圆心，长为半径画圆，交直线于，两点；

②连接．

线段就是所求作的线段．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：∵   ，

∴   ＝________．

∵   ＝，

∴   点在上．

又∵   点，都在上，

∴   ________（填推理的依据）．

∴   ．

21. 如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，．

（1）求证：四边形是矩形；

（2）若＝，＝，求和的长．

22. 在平面直角坐标系中，一次函数＝的图象由函数＝的图象平移得到，且经过点．

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）当时，对于的每一个值，函数＝的值大于一次函数＝的值，直接写出的取值范围．

23. 如图，为的直径，为延长线上一点，是的切线，为切点，于点，交于点．

（1）求证：＝；

（2）若，＝，求的长．

24. 小云在学习过程中遇到一个函数．

下面是小云对其探究的过程，请补充完整：

（1）当时，对于函数＝，即＝，当时，随的增大而________，且；对于函数＝，当时，随的增大而________，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而________．

（2）当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表：

（3）过点作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是________  ．

25. 小云统计了自己所住小区月日至日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：

．小云所住小区月日至日的厨余垃圾分出量统计图：

．小云所住小区月日至日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：

（2）已知该小区月的厨余垃圾分出量的平均数为，则该小区月日至日的厨余垃圾分出量的平均数约为月的________倍（结果保留小数点后一位）；

（3）记该小区月日至日的厨余垃圾分出量的方差为，月日至日的厨余垃圾分出量的方差为，月日至日的厨余垃圾分出量的方差为．直接写出，，的大小关系．

26. 在平面直角坐标系中，，为抛物线＝上任意两点，其中．

（1）若抛物线的对称轴为＝，当，为何值时，＝＝；

（2）设抛物线的对称轴为＝，若对于，都有，求的取值范围．

27. 在中，＝，，是的中点．为直线上一动点，连接．过点作，交直线于点，连接．

（1）如图，当是线段的中点时，设＝，＝，求的长（用含，的式子表示）；

（2）当点在线段的延长线上时，依题意补全图，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

28. 在平面直角坐标系中，的半径为，，为外两点，＝．

给出如下定义：平移线段，得到的弦（，分别为点，的对应点），线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”．

（1）如图，平移线段得到的长度为的弦和，则这两条弦的位置关系是    ；在点，，，中，连接点与点________的线段的长度等于线段到的“平移距离”；

（2）若点，都在直线上，记线段到的“平移距离”为，求的最小值；

（3）若点的坐标为，记线段到的“平移距离”为，直接写出的取值范围．

参与试题解析

2020年北京市中考数学试卷

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1.D

2.C

3.A

4.D

5.B

6.B

7.C

8.B

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.

10.

11.或（答案不唯一）

12.

13.

14.＝

15.＝

16.丙、丁、甲、乙

三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17.原式＝

＝

＝．

18.解不等式，得：，

解不等式，得：，

则不等式组的解集为．

19.

＝

＝，

∵   ＝，

∴   ＝，

∴   原式＝＝．

20.如图，即为补全的图形；

,同弧所对的圆周角等于圆心角的一半

21.∵   四边形是菱形，

∴   ，＝，

∵   是的中点，

∴   ＝，

∴   ＝，

∴   ＝，

∴   ，

∵   ，

∴   四边形是平行四边形，

∵   ，

∴   ＝，

∴   四边形是矩形；

∵   四边形是菱形，

∴   ，＝＝，

∴   ＝，

∵   是的中点，

∴   ＝＝；

由（1）知，四边形是矩形，

∴   ＝＝，

∵   ＝，＝，

∴   ，

∴   ＝＝＝．

22.∵   一次函数＝的图象由直线＝平移得到，

∴   ＝，

将点代入＝，

得＝，解得＝，

∴   一次函数的解析式为＝；

把点代入＝求得＝，

∵   当时，对于的每一个值，函数＝的值大于一次函数＝的值，

∴   ．

23.连接，

∵   为的直径，

∴   ＝，

∴   ，

∵   ，

∴   ，

∴   ＝，

∵   是的切线，为切点，

∴   ＝，

∴   ＝＝，

∴   ＝，

∵   ＝，

∴   ＝，

∴   ＝；

∵   ，＝，

∴   ＝，

∴   ＝，

∵   ，

∴   设＝，＝，

∴   ＝，

∴   ＝，

∵   ，

∴   ，

∴   ，

∴   ，

∴   ＝，

∴   ＝＝＝．

24.减小,减小,减小

25.

由小云所住小区月日至日的厨余垃圾分出量统计图知，第个天的分出量最分散、第个天分出量最为集中，

∴   ．

26.由题意＝＝，

∴   ＝，

∵   对称轴＝，

∴   ，关于＝对称，

∴   ，

∴   ＝，＝时，＝＝．

∵   抛物线的对称轴为＝，若对于，都有，

∴   ．

27.∵   是的中点，是线段的中点，

∴   ，，

∵   ＝，

∴   ＝，

∵   ，

∴   ＝，

∴   四边形是矩形，

∴   ＝，

∴   ＝＝，

∵   ＝＝，

∴   ；

＝．

证明：过点作，与的延长线交于点，连接，

则＝，＝＝，

∵   点是的中点，

∴   ＝，

在和中，

，

∴   ，

∴   ＝，＝，

∵   ，

∴   ＝，

∵   ＝，

∴   ＝．

28.

如图中，作等边，点在轴上，＝＝＝，

设直线交轴于，交轴于．则，，

过点作于，

∵   ＝，＝，

∴   ，

∴   ＝，

∴   ＝，

观察图象可知，线段到的“平移距离”为的最小值为．

如图中，作直线交于，过点作交，交于，．

以，为邻边构造平行四边形，以为边构造等边，等边，则，的长即为线段到的“平移距离”，

当点与重合时，的值最小，最小值＝，

当点与或重合时，的值最大最大值，

∴   ．