2017年1月北京市西城区高一数学期末试题答案

高一数学参及评分标准 2017.1

A 卷 [必修 模块4] 满分100分

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

1.C

2.A

3.D

4.D

5.B

6.A

7.C

8.C

9.B 10.A .

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.

11. 2-

12. 3

, 9

- 13. πcos(2)2y x =+(或sin 2y x =-) 14. 150 15. 208225-

16. ○2○3 注：第16题少选得2分，多选、错选不得分.

三、解答题：本大题共3小题，共36分.

17.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由π1tan()43ϕ+=-，得tan 111tan 3

ϕϕ+=--， ………………3分 解得tan 2ϕ=-. ………………5分 所以22tan 4tan 21tan 3

ϕϕϕ==-. ………………8分 （Ⅱ）由tan 2ϕ=-，得cos 0ϕ≠. 将分式sin cos 2cos sin ϕϕϕϕ

+-的分子分母同时除以cos ϕ, 得sin cos tan 112cos sin 2tan 4

ϕϕϕϕϕϕ++==---. ………………12分 18.（本小题满分12分）

解:（Ⅰ）π()cos cos()3

f x x x =⋅-

ππcos (cos cos sin sin )33x x x =⋅+ ………………2分

21cos 22x x =

+ ………………3分

112cos 244x x =++ ………………4分

1π1sin(2)2

x =

++， ………………6分 由πππ2π22π+262k x k -+≤≤，得ππππ+36

k x k -≤≤， 所以()f x 的单调递增区间为ππ[ππ+],()36

k k k -∈Z ,. ………………8分 （Ⅱ）因为πsin(2)[1,1]6

x +∈-, 所以函数1π1()sin(2)2f x x =++的值域为13[,]44-. ………………10分 因为直线y a =与函数()f x 的图象无公共点，

所以13(,)(,)44a ∈-∞-+∞ . ………………12分

19.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）如图，以点B 为原点，以AB ，BC 所在的直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系， 则(0,0)B ，(2,0)A -，(0,)C a ，(1,)D a -，(1,)AD a = ，(2,0)AB = ，(0,)BC a = .

………………2分

由AP xAD = , 得(,)AP x ax = . 所以(2,)PB PA AB x ax =+=-- ， (2,)PC PB BC x a ax =+=-- . ………4分 所以2222(2)y PB PC x a x a x =⋅=--+ ，

即222()(1)(4)4f x a x a x =+-++. ………………6分

所以(1)1f =. ………………7分 （注：若根据数量积定义，直接得到(1)1f =，则得3分）

（Ⅱ）由（Ⅰ），知函数222

()(1)(4)4f x a x a x =+-++为二次函数，其图象开口向上， 且对称轴为2242(1)

a x a +=+， ………………8分 因为对称轴222224(1)31312(1)2(1)22(1)2

a a x a a a +++===+>+++，[0,1]x ∈， ……10分 所以当0x =时， ()f x 取得最大值(0)4f =. ………………12分

B 卷 [学期综合] 满分50分

一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.

1. [1,0)-

2. 2

-或2e 3. (3,0)(3,)-+∞ 4. {0,1} 5. [10,20] 注：第2 题少解不得分.

二、解答题：本大题共3小题，共30分.

6.（本小题满分10分）

解:（Ⅰ）由411()log 12a f a a -==+，得121

a a -=+， ………………2分 解得3a =-. ………………4分 （Ⅱ）由函数4

1()log 1x f x x -=+有意义，得101x x ->+. ………………5分 所以函数()f x 的定义域为{|1x x >，或1}x <-. ………………6分 因为1444111()log log ()log ()111

x x x f x f x x x x ------===-=--+++， 所以()()f x f x -=-，

即函数()f x 为奇函数. ………………10分

7.（本小题满分10分）

解: （Ⅰ）由函数()3x f x =，()||3g x x a =+-，

得函数||3()[()]3x a h x f g x +-==. ………………1分 因为函数()h x 的图象关于直线2x =对称，

所以(0)(4)h h =，即||3|4|333a a -+-=，

解得2a =-. ………………3分 （Ⅱ）方法一：由题意，得[()]|3|3x

g f x a =+-.

由[()]|3|30x g f x a =+-=，得|3|3x a +=， ………………5分 当3a ≥时，

由30x >，得33x a +>， 所以方程|3|3x a +=无解，

即函数[()]y g f x =没有零点； ………………6分 当33a -<≤时，

因为3x y a =+在R 上为增函数，值域为(,)a +∞，且33a -<≤，

所以有且仅有一个0x 使得033x a +=，且对于任意的x ，都有33x a +≠-， 所以函数[()]y g f x =有且仅有一个零点； ………………8分 当3a -<时，

因为3x y a =+在R 上为增函数，值域为(,)a +∞，且3a -<，

所以有且仅有一个0x 使得033x a +=，有且仅有一个1x 使得133x a +=-， 所以函数[()]y g f x =有两个零点.

综上，当3a ≥时，函数[()]y g f x =没有零点； 当33a -<≤时，函数[()]

y g f x =有且仅有一个零点；当3a -<时，函数[()]y g f x =有两个零点. ………………10分 方法二：由题意，得[()]|3|3x

g f x a =+-.

由[()]|3|30x g f x a =+-=，得|3|3x a +=， ………………5分 即33x a +=，或33x a +=-，

整理，得33x a =-，或33x a =--.

○1考察方程33x a =-的解，

由函数3x y =在R 上为增函数，且值域为(0,)+∞，

得当30a ->，即3a <时，方程33x a =-有且仅有一解；当03a -≤，即3a ≥时，方程33x a =-有无解； ………………7分 ○2考察方程33x a =--的解，

由函数3x y =在R 上为增函数，且值域为(0,)+∞，

得当30a -->，即3a <-时，方程33x a =--有且仅有一解；当03a --≤，即3a ≥-时，方程33x a =--有无解. ………………9分

综上，当3a ≥时，函数[()]y g f x =没有零点； 当33a -<≤时，函数[()]

y g f x =有且仅有一个零点；当3a -<时，函数[()]y g f x =有两个零点. ………………10分 注：若根据函数图象便得出答案，请酌情给分，没有必要的文字说明减2分.

8.（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）答案不唯一，如函数0y =，y x =等. ………………3分 （Ⅱ）因为函数2()f x ax bx c =++的图象经过点(1,0)-，

所以0a b c -+=. ○1

因为y x =为函数)(x f 一个承托函数，且)(x f 为函数21122y x =

+的一个承托函数， 所以2()1

122

x f x x +≤≤对x ∈R 恒成立. 所以1(1)1f ≤≤，即 (1)1f a b c =++=. ○2 ………………5分

由○1○2，得12b = ，12

a c +=. ………………6分 所以211()22

f x ax x a =++-. 由()f x x ≥对x ∈R 恒成立，得201122

ax x a -+-≥对x ∈R 恒成立. 当0a =时，得01122

x -+≥对x ∈R 恒成立，显然不正确； ………………7分 当0a ≠时，由题意，得0,0,114()42

a a a >⎧⎪⎨∆=--⎪⎩≤ 即20(41)a -≤， 所以14

a =. ………………9分 代入2()1122f x x +≤，得21110424

x x -+≥， 化简，得2(1)0x -≥对x ∈R 恒成立，符合题意.

所以14a =，12b =，14

c =. ………………10分