函数的对称性和周期性

一、单个函数的对称性

性质1：函数满足时，函数的图象关于直线对称。

证明：在函数上任取一点，则，点关于直线

的对称点，当时

故点也在函数图象上。

由于点是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线对称。

（注：特别地，a=b=0时，该函数为偶函数。）

性质2：函数满足时，函数的图象关于点（，）对称。

证明：在函数上任取一点，则，点关于点 

（，）的对称点（，c－y1），当时，

即点（，c－y1）在函数的图象上。

由于点为函数图象上的任意一点可知

函数的图象关于点（，）对称。（注：当a=b=c=0时，函数为奇函数。）

性质3：函数的图象与的图象关于直线对称。

证明：在函数上任取一点，则，点关于直线对称点（，y1）。

由于

故点（，y1）在函数上。

由点是函数图象上任一点

因此与关于直线对称。

二、周期性

1、一般地，对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。说明：周期函数定义域必是无界的。

推广：若，则是周期函数，是它的一个周期

2.若是周期，则也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。

说明：周期函数并非都有最小正周期。如常函数；

3、对于非零常数，若函数满足，则函数必有一个周期为。

证明： 

∴函数的一个周期为。

4、对于非零常数，函数满足，则函数的一个周期为。

证明：。

5、对于非零常数，函数满足，则函数的一个周期为。

证明：。

6、已知函数的定义域为，且对任意正整数,都有则函数的一个周期为

证明：             （1）

             （2）

两式相加得： 

三、对称性和周期性之间的联系

性质1：函数满足， ，求证：函数是周期函数。

证明：∵得

得

∴

∴

∴函数是周期函数，且是一个周期。

性质2：函数满足和时，函数是周期函数。（函数图象有两个对称中心（a，）、（b，）时，函数是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期）

证明：由

  得

  得

∴函数是以为周期的函数。

性质3：函数有一个对称中心（a，c）和一个对称轴（a≠b）时，该函数也是周期函数，且一个周期是。

证明： 

推论：若定义在上的函数的图象关于直线和点对称，则是周期函数，是它的一个周期

证明：由已知

举例:等.

性质4：若函数对定义域内的任意满足：,则为函数的周期。（若满足则的图象以为图象的对称轴，应注意二者的区别)

证明： 

性质5：已知函数对任意实数,都有，则是以为周期的函数

证明：