2017年上海市静安区高考数学一模试卷(解析版)

一、填空题本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．

1．“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，则a的取值范围是　　．

2．函数的最小正周期为　　．

3．若复数z为纯虚数，且满足（2﹣i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为　　．

4．二项式展开式中x的系数为　　．

5．用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为　　立方米．

6．已知α为锐角，且，则sinα=　　．

7．根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车．假设饮酒后，血液中的酒精含量为p0毫克/100毫升，经过x个小时，酒精含量降为p毫克/100毫升，且满足关系式（r为常数）．若某人饮酒后血液中的酒精含量为毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过　　小时方可驾车．（精确到小时）

8．已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{xn}是一个公差为2的等差数列，满足f（x7）+f（x8）=0，则x2017的值为　　．

9．直角三角形ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，点M是三角形ABC外接圆上任意一点，则的最大值为　　．

10．已知f（x）=ax﹣b（（a＞0且且a≠1，b∈R），g（x）=x+1，若对任意实数x均有f（x）•g（x）≤0，则的最小值为　　．

二、选择题本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

11．若空间三条直线a、b、c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c（　　）

A．一定平行

B．一定相交

C．一定是异面直线

D．平行、相交、是异面直线都有可能

12．在无穷等比数列{an}中，，则a1的取值范围是（　　）

A．    B．    C．（0，1）    D． 

13．某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（　　）

A．336种    B．320种    C．192种    D．144种

14．已知椭圆C1，抛物线C2焦点均在x轴上，C1的中心和C2顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则C1的左焦点到C2的准线之间的距离为（　　） 

15．已知y=g（x）与y=h（x）都是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，，h（x）=klog2x（x＞0），若y=g（x）﹣h（x）恰有4个零点，则正实数k的取值范围是（　　）

A．    B．    C．    D．

三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．

16．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AB=a，AA1=2a，E，F分别是棱AD，CD的中点．

（1）求异面直线BC1与EF所成角的大小；

（2）求四面体CA1EF的体积．

17．设双曲线C：，F1，F2为其左右两个焦点．

（1）设O为坐标原点，M为双曲线C右支上任意一点，求的取值范围；

（2）若动点P与双曲线C的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为，求动点P的轨迹方程．

18．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A（看做一点）的东偏南θ角方向，300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．

（1）问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A，并说明理由；

（2）城市A受到该台风侵袭的持续时间为多久？

19．设集合Ma={f（x）|存在正实数a，使得定义域内任意x都有f（x+a）＞f（x）}．

（1）若f（x）=2x﹣x2，试判断f（x）是否为M1中的元素，并说明理由；

（2）若，且g（x）∈Ma，求a的取值范围；

（3）若（k∈R），且h（x）∈M2，求h（x）的最小值．

20．由n（n≥2）个不同的数构成的数列a1，a2，…an中，若1≤i＜j≤n时，aj＜ai（即后面的项aj小于前面项ai），则称ai与aj构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数．如对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为2+1+0=3；同理，等比数列的逆序数为4．

（1）计算数列的逆序数；

（2）计算数列（1≤n≤k，n∈N*）的逆序数；

（3）已知数列a1，a2，…an的逆序数为a，求an，an﹣1，…a1的逆序数．

2017年上海市静安区高考数学一模试卷

参与试题解析

一、填空题本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．

1．“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，则a的取值范围是　（0，+∞）　．

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】根据充分必要条件的定义求出a的范围即可．

【解答】解：若“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，

则a的取值范围是（0，+∞），

故答案为：（0，+∞）．

2．函数的最小正周期为　π　．

【考点】三角函数的周期性及其求法．

【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得f（x）的最小正周期．

【解答】解：函数=1﹣3•=1﹣•（1+sin2x）=﹣﹣sin2x的最小正周期为=π，

故答案为：π．

3．若复数z为纯虚数，且满足（2﹣i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为　　．

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】由（2﹣i）z=a+i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，由复数z为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案．

【解答】解：由（2﹣i）z=a+i，

得==，

∵复数z为纯虚数，

∴，

解得a=．

则实数a的值为：．

故答案为：．

4．二项式展开式中x的系数为　10　．

【考点】二项式定理．

【分析】利用二项式展开式的通项公式即可求得答案．

【解答】解：设二项式展开式的通项为Tr+1，

则Tr+1=x2（5﹣r）•x﹣r=•x10﹣3r，

令10﹣3r=1得r=3，

∴二项式展开式中x的系数为=10．

故答案为：10．

5．用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为　　立方米．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．

【分析】由已知求出圆锥的底面半径，进一步求得高，代入圆锥体积公式得答案．

【解答】解：半径为1米的半圆的周长为=π，

则制作成圆锥的底面周长为π，母线长为1，

设圆锥的底面半径为r，则2πr=π，即r=．

∴圆锥的高为h=．

∴V=×=（立方米）．

故答案为：．

6．已知α为锐角，且，则sinα=　　．

【考点】两角和与差的余弦函数．

【分析】由α为锐角求出α+的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α+）的值，所求式子中的角变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

【解答】解：∵α为锐角，∴α+∈（，），

∵cos（α+）=，

∴sin（α+）==，

则sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=×﹣×=．

故答案为：

7．根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车．假设饮酒后，血液中的酒精含量为p0毫克/100毫升，经过x个小时，酒精含量降为p毫克/100毫升，且满足关系式（r为常数）．若某人饮酒后血液中的酒精含量为毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过　8　小时方可驾车．（精确到小时）

【考点】函数模型的选择与应用．

【分析】先求出er=，再利用•exr＜20，即可得出结论．

【解答】解：由题意，61=•e2r，∴er=，

∵•exr＜20，∴x≥8，

故答案为8．

8．已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{xn}是一个公差为2的等差数列，满足f（x7）+f（x8）=0，则x2017的值为　4019　．

【考点】数列与函数的综合．

【分析】设设x7=x，则x8=x+2，则f（x）+f（x+2）=0，结合奇函数关于原点的对称性可知，f（x+1）=0=f（0），x7=﹣1．设数列{xn}通项xn=x7+2（n﹣7）．得到通项xn=2n﹣15．由此能求出x2011的值．

【解答】解：设x7=x，则x8=x+2，

∵f（x7）+f（x8）=0，

∴f（x）+f（x+2）=0，

结合奇函数关于原点的对称性可知，

∴f（x+1）=0=f（0），

即x+1=0．

∴x=﹣1，

设数列{xn}通项xn=x7+2（n﹣7）=2n﹣15

∴x2017=2×2017﹣15=4019．

故答案为：4019

9．直角三角形ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，点M是三角形ABC外接圆上任意一点，则的最大值为　12　．

【考点】向量在几何中的应用．

【分析】建立坐标系，设M （），则 =（），，

【解答】解：如图建立平面直角坐标系，A（0，0），B（3，0），C（0.4），

三角形ABC外接圆（x﹣）2+（y﹣2）2=，

设M （），则 =（），，

，

故答案为：12．

10．已知f（x）=ax﹣b（（a＞0且且a≠1，b∈R），g（x）=x+1，若对任意实数x均有f（x）•g（x）≤0，则的最小值为　4　．

【考点】基本不等式．

【分析】根据对任意实数x均有f（x）•g（x）≤0，求出a，b的关系，可求的最小值．

【解答】解：f（x）=ax﹣b，g（x）=x+1，

那么：f（x）•g（x）≤0，即（ax﹣b）（x+1）≤0．

对任意实数x均成立，可得ax﹣b=0，x+1=0，

故得ab=1．

那么： =4，当且仅当x=y=时取等号．

故的最小值为4．

故答案为：4．

二、选择题本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

11．若空间三条直线a、b、c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c（　　）

A．一定平行

B．一定相交

C．一定是异面直线

D．平行、相交、是异面直线都有可能

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．

【分析】利用正方体的棱与棱的位置关系及异面直线所成的角的定义即可得出，若直线a、b、c满足a⊥b、b⊥c，则a∥c，或a与c相交，或a与c异面．

【解答】解：如图所示：a⊥b，b⊥c，

a与c可以相交，异面直线，也可能平行．

从而若直线a、b、c满足a⊥b、b⊥c，则a∥c，或a与c相交，或a与c异面．

故选D．

12．在无穷等比数列{an}中，，则a1的取值范围是（　　）

A．    B．    C．（0，1）    D． 

【考点】数列的极限．

【分析】利用无穷等比数列和的极限，列出方程，推出a1的取值范围．

【解答】解：在无穷等比数列{an}中，，

可知|q|＜1，则=，

a1=∈（0，）∪（，1）．

故选：D．

13．某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（　　）

A．336种    B．320种    C．192种    D．144种

【考点】排列、组合的实际应用．

【分析】根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．

【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，

若只有甲乙其中一人参加，有C21•C43•A44=192种情况；

若甲乙两人都参加，有C22•C42•A44=144种情况，

则不同的发言顺序种数192+144=336种，

故选：A．

14．已知椭圆C1，抛物线C2焦点均在x轴上，C1的中心和C2顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则C1的左焦点到C2的准线之间的距离为（　　） 

【考点】抛物线的简单性质；椭圆的简单性质．

【分析】由表可知：抛物线C2焦点在x轴的正半轴，设抛物线C2：y2=2px（p＞0），则有=2p（x≠0），将（3，﹣2），（4，﹣4）在C2上，代入求得2p=4，即可求得抛物线方程，求得准线方程，设椭圆C1：（a＞b＞0），把点（﹣2，0），（，），即可求得椭圆方程，求得焦点坐标，即可求得C1的左焦点到C2的准线之间的距离．

【解答】解：由表可知：抛物线C2焦点在x轴的正半轴，设抛物线C2：y2=2px（p＞0），则有=2p（x≠0），

据此验证四个点知（3，﹣2），（4，﹣4）在C2上，代入求得2p=4，

∴抛物线C2的标准方程为y2=4x．则焦点坐标为（1，0），准线方程为：x=﹣1，

设椭圆C1：（a＞b＞0），把点（﹣2，0），（，）代入得，，

解得：，

∴C1的标准方程为+y2=1；

由c==，

左焦点（，0），

C1的左焦点到C2的准线之间的距离﹣1，

故选B．

15．已知y=g（x）与y=h（x）都是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，，h（x）=klog2x（x＞0），若y=g（x）﹣h（x）恰有4个零点，则正实数k的取值范围是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】根的存在性及根的个数判断．

【分析】问题转化为g（x）和h（x）有4个交点，画出函数g（x），h（x）的图象，结合图象得到关于k的不等式组，解出即可．

【解答】解：若y=g（x）﹣h（x）恰有4个零点，

即g（x）和h（x）有4个交点，

画出函数g（x），h（x）的图象，如图示：

，

结合图象得：，

解得：＜k＜log32，

故选：C．

三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．

16．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AB=a，AA1=2a，E，F分别是棱AD，CD的中点．

（1）求异面直线BC1与EF所成角的大小；

（2）求四面体CA1EF的体积．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．

【分析】（1）连接A1C1，由E，F分别是棱AD，CD的中点，可得EF∥AC，进一步得到EF∥A1C1，可知∠A1C1B为异面直线BC1与EF所成角．然后求解直角三角形得答案；

（2）直接利用等体积法把四面体CA1EF的体积转化为三棱锥A1﹣EFC的体积求解．

【解答】解：（1）连接A1C1，

∵E，F分别是棱AD，CD的中点，∴EF∥AC，则EF∥A1C1，

∴∠A1C1B为异面直线BC1与EF所成角．

在△A1C1B中，由AB=a，AA1=2a，得，，

∴cos∠A1C1B=，

∴异面直线BC1与EF所成角的大小为；

（2）．

17．设双曲线C：，F1，F2为其左右两个焦点．

（1）设O为坐标原点，M为双曲线C右支上任意一点，求的取值范围；

（2）若动点P与双曲线C的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为，求动点P的轨迹方程．

【考点】直线与双曲线的位置关系．

【分析】（1）设M（x，y），，左焦点，通过利用二次函数的性质求出对称轴，求出的取值范围．

（2）写出P点轨迹为椭圆，利用，|PF1|+|PF2|=2a，结合余弦定理，以及基本不等式求解椭圆方程即可．

【解答】解：（1）设M（x，y），，左焦点， =…

=（）

对称轴，

…

（2）由椭圆定义得：P点轨迹为椭圆，，|PF1|+|PF2|=2a=…

由基本不等式得，

当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立，b2=4

所求动点P的轨迹方程为…

18．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A（看做一点）的东偏南θ角方向，300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．

（1）问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A，并说明理由；

（2）城市A受到该台风侵袭的持续时间为多久？

【考点】圆方程的综合应用．

【分析】（1）建立直角坐标系，…，则城市A（0，0），当前台风中心，设t小时后台风中心P的坐标为（x，y），由题意建立方程组，能求出10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A．

（2）t小时后台风侵袭的范围可视为以为圆心，60+10t为半径的圆，由此利用圆的性质能求出结果．

【解答】解：（1）如图建立直角坐标系，…

则城市A（0，0），当前台风中心，

设t小时后台风中心P的坐标为（x，y），

则，此时台风的半径为60+10t，

10小时后，|PA|≈184.4km，台风的半径为r=160km，

∵r＜|PA|，…

∴10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A．…

（2）由（1）知t小时后台风侵袭的范围可视为以为圆心，60+10t为半径的圆，

若城市A受到台风侵袭，

则，

∴300t2﹣10800t+800≤0，即t2﹣36t+288≤0，…

解得12≤t≤24…

∴该城市受台风侵袭的持续时间为12小时．…

19．设集合Ma={f（x）|存在正实数a，使得定义域内任意x都有f（x+a）＞f（x）}．

（1）若f（x）=2x﹣x2，试判断f（x）是否为M1中的元素，并说明理由；

（2）若，且g（x）∈Ma，求a的取值范围；

（3）若（k∈R），且h（x）∈M2，求h（x）的最小值．

【考点】函数与方程的综合运用．

【分析】（1）利用f（1）=f（0）=1，判断f（x）∉M1．

（2）f（x+a）﹣f（x）＞0，化简，通过判别式小于0，求出a的范围即可．

（3）由f（x+a）﹣f（x）＞0，推出，

得到对任意x∈[1，+∞）都成立，然后分离变量，通过当﹣1＜k≤0时，当0＜k＜1时，分别求解最小值即可．

【解答】解：（1）∵f（1）=f（0）=1，∴f（x）∉M1．…

（2）由…

∴，…

故 a＞1．…

（3）由，…

即：

∴对任意x∈[1，+∞）都成立

∴…

当﹣1＜k≤0时，h（x）min=h（1）=log3（1+k）；      …

当0＜k＜1时，h（x）min=h（1）=log3（1+k）；        …

当1≤k＜3时，．…

综上：…

20．由n（n≥2）个不同的数构成的数列a1，a2，…an中，若1≤i＜j≤n时，aj＜ai（即后面的项aj小于前面项ai），则称ai与aj构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数．如对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为2+1+0=3；同理，等比数列的逆序数为4．

（1）计算数列的逆序数；

（2）计算数列（1≤n≤k，n∈N*）的逆序数；

（3）已知数列a1，a2，…an的逆序数为a，求an，an﹣1，…a1的逆序数．

【考点】数列的求和．

【分析】（1）由{an}为单调递减数列，可得逆序数为99+98+…+1．

（2）当n为奇数时，a1＞a3＞…＞a2n﹣1＞0．当n为偶数时：0＞a2＞a4＞…＞a2n．可得逆序数．

（3）在数列a1，a2，…an中，若a1与后面n﹣1个数构成p1个逆序对，则有（n﹣1）﹣p1不构成逆序对，可得在数列an，an﹣1，…a1中，逆序数为（n﹣1）﹣p1+（n﹣2）﹣p2+…+（n﹣n）﹣pn．

【解答】解：（1）∵{an}为单调递减数列，∴逆序数为．

（2）当n为奇数时，a1＞a3＞…＞a2n﹣1＞0．

当n为偶数时：

∴0＞a2＞a4＞…＞a2n．

当k为奇数时，逆序数为；

当k为偶数时，逆序数为．

（3）在数列a1，a2，…an中，若a1与后面n﹣1个数构成p1个逆序对，

则有（n﹣1）﹣p1不构成逆序对，所以在数列an，an﹣1，…a1中，

逆序数为．