第一章 集合与常用逻辑用语

知识结构·理脉络

要点梳理·晰精华

1．集合中元素的三个特性

(1)符号描述法：用符号把元素的共同属性描述出来，其一般形式为{x|P(x)}或{x∈I|P(x)}，其中x代表元素，I是x的取值集合，P(x)是集合中元素x的共同属性，竖线不可省略，如大于1且小于4的实数构成的集合可以表示为{x∈R|1(2)文字描述法：用文字把元素的共同属性叙述出来，并写在花括号内，如{参加平昌冬奥会的运动员}，但花括号内不能出现“所有”“全体”“全部”等字样．

3．全称量词命题和存在量词命题的否定

对含有全称(存在)量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称(存在)量词改写成存在(全称)量词；第二步，将结论加以否定．含有全称量词的命题的否定是含有存在量词的命题，含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题．如：

①“所有的正方形都是矩形”的否定为“至少存在一个正方形不是矩形”，其中，把全称量词“所有的”变为存在量词“至少存在一个”．

②“存在一个实数x，使得|x|≤0”的否定为“对所有的实数x，都有|x|>0”，其中，把存在量词“存在一个”变为全称量词“所有的”．

4．条件关系判定的常用结论

素养突破·提技能

专题 　集合与方程、不等式的联系

┃┃典例剖析__■

1．集合与方程的联系

典例1　已知集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}，C＝{x|x2－mx＋1＝0}，若A∪B＝A，A∩C＝C，求实数a，m的值或取值范围．

思路探究：在C⊆A中含有C＝∅这种情况，所以在解题时要考虑集合C为空集的情况，避免漏解．

2．集合与不等式的联系

典例2　已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＝m＋1，m∈A}．

(1)求图中阴影部分表示的集合C；

(2)若非空集合D＝{x|4－a归纳提升：解决集合与方程、不等式综合的参数问题时，要特别注意两点：

(1)不要忽略集合中元素的互异性，即求出参数后应满足集合中的元素是互异的，尤其要注意含参数的方程的解的集合．

(2)空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，当题设中隐含有空集参与的集合关系与运算时，其特殊性容易被忽略，如解决有关A⊆B，A∩B＝∅，A∪B＝B等集合问题时，应先考虑空集的情况．

专题 　与集合有关的新定义问题

┃┃典例剖析__■

1．类比集合定义型

典例3　在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论．

①2 019∈[1]；

②－3∈[3]；

③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；

④“整数a，b属于同一‘类’”的条件是“a－b∈[0]”．

其中，正确结论的序号是__ __.

思路探究：由整数集Z中“类”的定义可得出，[0]表示5的倍数组成的集合，[1]＝{5n＋1|n∈Z}，[2]＝{5n＋2|n∈Z}等，然后结合题目逐一判断．

2．类比集合间运算型

典例4　定义集合A与B的运算：A⊙B＝{x|x∈A或x∈B，且x∉A∩B}，已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6,7}，则(A⊙B)⊙B为(　　)

A．{1,2,3,4,5,6,7}　    B．{1,2,3,4}

C．{1,2}　    D．{3,4,5,6,7}

归纳提升：在集合的新定义问题中，出现较多的是在现有运算法则和运算律的基础上定义一种新的运算．解题时，要抓住两点：

(1)分析新定义的特点，把新定义中所叙述的问题的本质弄清楚，并且能够应用到具体的解题过程中．

(2)集合中元素的特性及集合的基本运算是解题的突破口，要熟练掌握．

专题 　充分条件与必要条件的判断与探求

┃┃典例剖析__■

典例5　对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6，那么p是q的__       __条件．

典例6　已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|a≤x≤8}．

(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5(3)求一个实数a的取值集合，使它成为M∩P＝{x|5思路探究：由M∩P＝{x|5归纳提升：已知条件p，结论q对应的集合分别为A，B.用集合观点来理解充要条件，有如下三类：一是两个集合相等，那么p，q互为充要条件；二是两个集合有包含关系，若A B，则p是q的必要不充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件；三是两个集合没有包含关系，那么p是q的既不充分也不必要条件．

专题 　思想方法归纳

┃┃典例剖析__■

1．数形结合思想

典例7　已知集合A＝{x|－41}，C＝{x|m－1(1)若A∩C＝∅，求实数m的取值范围；

(2)若(A∩B)⊆C，求实数m的取值范围．

思路探究：借助于数轴把集合表示出来，找出满足条件的m的取值范围．

归纳提升：数形结合的思想是充分运用“数”的严谨和“形”的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过代数的论证、图形的描述来研究和解决数学问题的一种数学思想方法．数形结合的思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，有助于把握数学问题的性质，有利于达到优化解题的目的．在解答有关集合的交、并、补运算以及抽象集合问题时，一般要借助数轴或Venn图求解，这都体现了数形结合的思想．

2．分类讨论思想

典例8　已知集合A＝{x|－30}，试求C∩(A∪B)．

思路探究：对集合C的端点值分类讨论，讨论时做到不重不漏．

归纳提升：分类讨论就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类问题的结论得到整个问题的解答．分类与整合就是化整为零，各个击破，再积零为整的数学思想．

求解此类问题的步骤：(1)确定分类讨论的对象，即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理的分类(分类时要做到不重不漏，标准要统一，分层不越级)；(3)逐类讨论，即对各类问题逐类讨论，逐步解决；(4)归纳总结，即对各类情况总结归纳，得出结论．

3．化归与转化思想

典例9　设p：实数x满足a0)，q：2思路探究：¬p是¬q的充分不必要条件可转化为q是p的充分不必要条件．

归纳提升：化归与转化的思想是在研究和解决数学问题时借助数学知识和数学方法，将问题进行转化，使抽象问题具体化，复杂问题简单化，未知问题已知化，进而达到解决问题的数学思想．其中“补集思想”就是集合中化归与转化的思想的一种具体体现，它是指在解答一些较复杂的问题时，如果从正面直接入手比较困难，那么采用“补集”的思想，考虑问题的反面，再求结果的补集，从而可以简捷地解答问题．