四川省绵阳市2022届高三第一次诊断性考试数学(文)试题 Word版含答案

绵阳市高中2021级第一次诊断性考试

数学（文史类）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设集合，，则（    ）

A．         B．       C．       D．

2．若，且，则下列不等式成立的是（    ）

A．         B．       C．       D．

3．．已知向量，，若，则的值是（    ）

A．         B．0       C．1        D．2

4．若，则（    ）

A．         B．3       C．         D．

5．某单位为鼓舞职工节省用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（    ）立方米.

A．13         B．14       C．15         D．16

6．已知命题，使得；命题，若，则.下列命题为真命题的是（    ）

A．         B．       C．         D．

7．函数满足，且当时，.若函数的图象与函数（，且）的图象有且仅有4个交点，则的取值集合为（    ）

A．         B．       C．         D．

8．已知函数图象的最高点与相邻最低点的距离是，若将的图象向右平移个单位得到的图象，则函数图象的一条对称轴方程是（    ）

A．         B．       C．         D．

9．在中，“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件         B．必要不充分条件

C．充分必要条件           D．既不充分也不必要条件

10．已知，给出以下结论：

①；②；③.

则其中正确的结论个数是（    ）

A．3个         B．2个       C．1个         D．0个

11．已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是（    ）

A．         B．       C．         D．

12．已知，且满足，假如存在两条相互垂直的直线与函数的图象都相切，则的取值范围是（    ）

A．         B．       C．         D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．已知变量满足约束条件，则的最小值是          ．

14．已知偶函数在上单调递减，且，若，则的取值范围是          ．

15．在中，，，，且是边的两个三等分点，则          ．

16．已知数列的首项，且，假如是单调递增数列，则实数的取值范围是          ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 

17.若函数的部分图象如下图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）设，且，求的值.

18.设公差大于0的等差数列的前项和为.已知，且成等比数列，记数列的前项和为.

（1）求；

（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.

19．在中，，是边上一点，且，.

（1）求的大小；

（2）若，求的面积.

20．已知函数.

（1）求在区间上的最值；

（2）若过点可作曲线的3条切线，求实数的取值范围.

21．函数.

（1）求的单调区间；

（2）若，求证：.

请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分．

22．选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）设，，若与曲线分别交于异于原点的两点，求的面积.

23．选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）解不等式；

（2）记的最小值是，正实数满足，求的最小值.

绵阳市高2021级第一次诊断性考试

数学(文史类)参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

       DCADC     BCBAB   AB

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．3           14．     15．              16．(，)

三、解答题：本大题共6小题，共70分． 

17．解 ：（Ⅰ）由图得，． …………………………………………………1分

，解得，

于是由T=，得．…………………………………………………3分

∵ ，即，

∴ ，k∈Z，即，k∈Z，

又，所以，即．  …………………6分

(Ⅱ) 由已知，即，

由于，所以，

∴ ．    …………………………………8分

∴

=

．     ………………………………………………………12分

18．解：（Ⅰ）设{an}的公差为d(d>0)，

由S3=15有3a1+=15，化简得a1+d=5，①   ………………………2分

又∵ a1，a4，a13成等比数列，

∴ a42=a1a13，即(a1+3d)2=a1(a1+12d)，化简3d=2a1，②  ………………4分

联立①②解得a1=3，d=2，

∴ an=3+2(n-1)=2n+1．     ……………………………………………………5分

∴ ，

∴ ．

                                       ……………………………………………………7分

(Ⅱ) ∵ +11，即，

∴ ，………………9分

又≥6 ，当且仅当n=3时，等号成立，

∴ ≥162，  ……………………………………………………11分

∴ ．……………………………………………………………………12分

19．解：（Ⅰ）△ABD中，由正弦定理，

得，       …………………………………………4分

∴ ，

∴ ．    ……………………………………………………6分

(Ⅱ)由（Ⅰ）知，∠BAD=∠BDA=，故AB=BD=2．

在△ACD中，由余弦定理：，

即，   ……………………………………8分

整理得CD2+6CD-40=0，解得CD=-10（舍去），CD=4，………………10分

∴ BC=BD+CD=4+2=6．

∴ S△ABC=． ……………………12分

20．解：（Ⅰ） ， ……………………………1分

由解得或；由解得，

又，于是在上单调递减，在上单调递增．

                       …………………………………………………………………3分

∵ ， 

∴ 最大值是10+a，最小值是．………………………………5分

(Ⅱ) 设切点， 

则， 

整理得， ……………………………………………7分

由题知此方程应有3个解．

令， 

∴ ，

由解得或，由解得，

即函数在，上单调递增，在上单调递减．

                   ……………………………………………………………………10分

要使得有3个根，则，且， 

解得， 

即a的取值范围为．   ………………………………………………12分

21．解：（Ⅰ）．  …1分

1当a≤0时，，则在上单调递减；………………3分

2当时，由解得，由解得．

即在上单调递减；在上单调递增；

综上，a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．  ……………………5分

(Ⅱ) 由（Ⅰ）知在上单调递减；在上单调递增，

则．     …………………………………………6分

要证≥，即证≥，即+≥0，

即证≥．………………………………………………………………8分

构造函数，则， 

由解得，由解得，

即在上单调递减；在上单调递增；

∴ ，

即≥0成立．

从而≥成立．………………………………………………………12分

22．解：（Ⅰ）将C的参数方程化为一般方程为(x-3)2+(y-4)2=25，

即x2+y2-6x-8y=0． ……………………………………………………………2分

∴ C的极坐标方程为．   …………………………………4分

（Ⅱ）把代入，得，

∴ ． ……………………………………………………………6分

把代入，得，

∴ ． ……………………………………………………………8分

∴ S△AOB

．     ……………………………………………………10分

23．解：（Ⅰ）当x≤时，f(x)=-2-4x，

由f(x)≥6解得x≤-2，综合得x≤-2，………………………………………2分当时，f(x)=4，明显f(x)≥6不成立，……………………………3分当x≥时，f(x)=4x+2，由f(x)≥6解得x≥1，综合得x≥1，……………4分

所以f(x)≥6的解集是．…………………………………5分

（Ⅱ）=|2x-1|+|2x+3|≥，

即的最小值m=4．   ………………………………………………………7分

∵ ≤， …………………………………………………………8分

由可得≤， 

解得≥，

∴ 的最小值为．………………………………………………10分