八升九暑假讲义-----反比例函数

1.1　反比例函数

学习目标：

1. 理解反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否是函数关系，进而识别其中的反比例函数.

2. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的关系式.

3. 能判断一个给定函数是否为反比例函数.通过探索现实生活中数量间的反比例关系，体

会和认识反比例函数是刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型；进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点.

随着速度的变化，全程所用时间发生怎样的变化？

一  探究问题

问题1：

当路程一定时，速度与时间成什么关系？（s＝vt）

当一个长方形面积一定时，长与宽成什么关系?

问题2：

汽车从南京出发开往上海（全程约300km），全程所用时间t（h）随速度v（km/h）的变化而变化.

问题：

（1）你能用含有v的代数式表示t吗？

（2）利用（1）的关系式完成下表：

问题3：

用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系：

（1）一个面积为00m2的长方形的长a（m）随宽b（m）的变化而变化；

（2）某银行为资助某社会福利厂，提供了20万元的无息贷款，该厂的平均年还款额y（万元）随还款年限x（年）的变化而变化；

（3）游泳池的容积为5000m3，向池内注水，注满水所需时间t（h）随注水速度v（m3/h）的变化而变化；

（4）实数m与n的积为－200，m随n的变化而变化.

问题：

（1）这些函数关系式与我们以前学习的一次函数、正比例函数关系式有什么不同？

（2）它们有一些什么特征？

（3）你能归纳出反比例函数的概念吗？

定义：一般地，形如y＝(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数.

反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.

二、例题教学

例1：下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？

(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝－；(4)y＝－3；(5)y＝；(6)y＝＋2；(7)y＝.

例2：在函数y＝－1，y＝，y＝x－1，y＝中，y是x的反比例函数的有　　个.

例3：若y与x成反比例，且x＝－3时，y＝7，则y与x的函数关系式为　　　　　　.

三、拓展练习 

1、写出下列问题中两个变量之间的函数关系式，并判断其是否为反比例函数. 如果是，指出比例系数k的值.

（1）底边为5cm的三角形的面积y（cm2）随底边上的高x（cm）的变化而变化；

（2）某村有耕地面积200ha，人均占有耕地面积y（ha）随人口数量x（人）的变化而变化；

（3）一个物体重120N，物体对地面的压强p（N/m2）随该物体与地面的接触面积S（m2）的变化而变化.

2、下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？如果是，比例系数是多少？

（1）y＝x；  （2）y＝；  （3）xy＋2＝0；

（4）xy＝0；　　（5）x＝.

3、已知函数y＝（m＋1）x是反比例函数，则m的值为　　　　.

1.1(2)反比例函数

学习目标：

1.会用待定系数法求反比例函数的解析式.

2.通过实例进一步加深对反比例函数的认识,能结合具体情境,体会反比例函数的意义。

3.会通过已知自变量的值求相应的反比例函数的值.运用已知反比例函数的值求相应自变量的值解决一些简单的问题.

一.复习

1、反比例函数的定义：

判断下列说法是否正确(对”√”,错”×”)

2、思考:如何确定反比例函数的解析式?

(1)已知y是x的反比例函数,比例系数是3,则函数解析式是______

(2)当m为何值时，函数         是反比例函数，并求出其函数解析式．

二.新课

1.已知变量y与x成反比例，且当x=2时y=9（1）写出y与x之间的函数解析式和自变量的取值范围。

小结：要确定一个反比例函数的解析式，只需求出比例系数k。如果已知一对自变量与函数的对应值，就可以先求出比例系数，然后写出所要求的反比例函数。

2.练习：已知y是关于x 的反比例函数，当x=时，y=2，求这个函数的解析式和自变量的取值范围。

3.说一说它们的求法:

(1)已知变量y与x-5成反比例，且当x=2时 y=9,写出y与x之间的函数解析式.

(2)已知变量y-1与x成反比例，且当x=2时 y=9,写出y与x之间的函数解析式.

4. 例3、设汽车前灯电路上的电压保持不变,选用灯泡的电阻为R(Ω)，通过电流的强度为I(A)。

（1）已知一个汽车前灯的电阻为30 Ω，通过的电流为0.40A，求I关于R的函数解析式，

（2）如果接上新灯泡的电阻大于30 Ω，那么与原来的相比，汽车前灯的亮度将发生什么变化？

三.巩固练习:

1.当质量一定时，二氧化碳的体积V与密度p成反比例。且V=5m3时，p=1．98kg／m3

（1）求p与V的函数关系式，并指出自变量的取值范围。

（2）求V=9m3时，二氧化碳的密度。

四.拓展:

1.已知y与z成正比例,z与x成反比例,当x=-4时,z=3,y=-4.求:

(1)Y关于x的函数解析式;

(2)当z=-1时,x,y的值.

2.

课后作业：

一．判断题

1．如果是的反比例函数，那么当x增大时，就减小                       （    ）

2．当与y乘积一定时，就是的反比例函数，也是的反比例函数          （    ）

3．如果一个函数不是正比例函数，就是反比例函数                             （    ）

4．与成反比例时与并不成反比例                                    （    ）

5．与成反比例时，与也成反比例                                    （    ）

6．已知与成反比例，又知当时，，则与的函数关系式是   （    ）

二．填空题

1． (k≠0)叫__________函数.，的取值范围是__________；

2．已知三角形的面积是定值S，则三角形的高h与底a的函数关系式是h =__________,这时h是a的__________；

3．如果与成反比例，z与成正比例，则z与成____         ______；

4．如果函数是反比例函数，那么k=________，此函数的解析式是____   ____；

三．辨析题

（1）兄弟二人分吃一碗饺子，每人吃饺子的个数如下表：

   ②虽然当弟吃的饺子个数增多时，兄吃的饺子数()在减少，但与x是成反例吗？

（2）水池中有水若干吨，若单开一个出水口，水流速v与全池水放光所用时t如下表：

②这是一个反比例函数吗？

四．解答题：

1．已知一次函数和反比例函数（≠0）

（1）满足什么条件时这两个函数在同一坐标系xoy中图象有两个公共交点。

（2）设（1）中的两个公共点为A，B，则∠AOB是锐角还是钝角。

2．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线与直线在第二象限的交点，AB⊥轴于B且S△ABO=

（1）求这两个函数的解析式

（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积。

1.2反比例函数的图像和性质

学习目标：

1、体会并了解反比例函数的图象的意义

2、能描点画出反比例函数的图象

3、通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质

一、问题：反比例函数的图象又会是什么样子呢?

二、探索：

（1）作出反比例函数的图象．

（2）作出反比例函数的图象．

（3）反比例函数与的图象有什么共同特征?

三、观察函数的表格和图像说出y 与x之间的变化关系；

(1) 

试总结反比例函数的图象的性质：

练习：

1．用“＞”或“＜”填空：

　（1）已知和是反比例函数的两对自变量与函数的对应值．若　　　　　，      则　　 　　 　．

　（2）已知和是反比例函数的两对自变量与函数的对应值．若　　　　　，则　　 　　 　．

2．已知（　　  ），（　　  ），（ 　　 ）是反比例函数        的图象上的三个点，

   并且　　　           ，则           的大小关系是（　　）

　 （A）　　　　　　　　（B）                （C）　               （D）

3．已知（　　 ），（ 　  ），（ 　　  ）是反比例函数　       的图象上的三个点，则          

   的大小关系是 　　　　　　　　　　．

4．已知反比例函数       ．（1）当x＞5时，0　　y    1；

（2）当x≤5时，则y  　 1,或y＜　　（3）当y＞5时，x的范围是          。

四、比较正比例函数和反比例函数的性质

一．填空题：

1．已知反比例函数，当时，其图象的两个分支在第一、三象限内；

当时，其图象在每个象限内随的增大而增大；

2．若直线和双曲线在同一坐标系内的图象无交点，则、的关系是_________；

3． 若反比例函数的图象位于一、三象限内，正比例函数过二、四象限，则的整数值是________；

4．反比例函数的图象经过点P（，），且为是一元二次方程的两根，那么点P的坐标是________      _，到原点的距离为_________；

5．反比例函数的图象上有一点P（，），其坐标是关于t的一元二次方程的两个根，且点P到原点的距离为，则该反比例函数解析式为___     __  

二．选择题：

6．如果函数为反比例函数，则的值是                               （    ）

    A           B          C                D 

7．如图，A为反比例函数图象上一点，AB轴与点B，若，则为（    ）

          A              B             C              D 无法确定

8．若与成反比例，则与的函数关系式是   （    ）

    A. 正比例           B. 反比例        C. 一次函数            D. 二次函数

9．函数的图象经过（，，则函数的图象是    （    ）

10．在同一坐标系中，函数和的图像大致是                    （    ）

A               B                 C                    D

11．已知反比例函数的图像上有两点A(，)，B(，)，且，

则的值是                                                       （    ）

    A 正数           B 负数          C 非正数            D 不能确定

12．骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校。在课堂上，请学生画出自行车行进路程s千米与行进时间t的函数图像的示意图，同学们画出的示意图如下，你认为正确的是                                                （    ）

         A               B                  C                    D

三．解答题：

如图13－8－7已知一次函数和反比例函数

图象在第一象限内有两个不同的公共点A、B．

（1）求实数的取值范围；

（2）若ΔAOB的面积S＝24，求的值．

作业（2）

一．选择题：  

1、当＞0,＜0时，反比例函数的图象在                               （     ）

    （A）第一象限      （B）第二象限      （C）第三象限         （D）第四象限

2、下列函数中，是反比例函数的为                                       （     ）

   （A）      （B）      （C）          （D）

3、若函数的图象过点（3，-7），那么它一定还经过点                 （     ）

    （A）（3，7）    （B）（-3，-7）     （C）（-3，7）       （D）（2，-7）

4、若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值是    （     ）

     （A） 0         （B） 0或1          （C） 0或2        （D） 4

5、点A、C是反比例函数（k＞0）的图象上两点，AB⊥轴于B，CD⊥轴于D。

记Rt△AOB和Rt△COD的面积分别为S1、S2，则                                （     ）

   （A） S1＞S2          （B） S1＜S2           （C） S1 = S2             （D）不能确定

6、已知圆柱的侧面积是100cm2，若圆柱底面半径为r（cm2），高线长为h（cm），

则h关于r的函数的图象大致是                                                       （     ）

二、填空题：

1、为何值时，是反比例函数，即=            ；

2、已知函数的图象有两个交点，其中一个交点的横坐标为1，则两个函数图象的交点坐标是           ；

3、已知反比例函数图象与直线和的图象过同一点，则当＞0时，这个反比例函数值随的增大而         （填增大或减小）；

4、已知函数，当时，，则函数的解析式是             ；

5、在函数（为常数）的图象上有三个点（-2，），(-1，)，（，），函数值，，的大小为             ；

6、如图，面积为3的矩形OABC的一个顶点B在反比例函数

的图象上，另三点在坐标轴上，则=            .

7、反比例函数与一次函数的图象有一个交点是（-2，1），则它们的另一个交点的坐标是             .

三、解答题：

1、已知与成反比例，与成正比例，并且当=3时，=5，当=1时，=-1；求与之间的函数关系式.

2、 如图，矩形ABCD，AB = 3，AD = 4，以AD为直径作半圆，为BC上一动点，可与B，C重合，交半圆于，设，求出关于自变量的函数关系式，并求出自变量的取值范围.

 作业（3）

一．选择题：  

1．下列函数中，反比例函数是                                                （  　）

    A           B          C           D 

2．已知反比例函数的图像经过点（，），则它的图像一定也经过              （　  ）

    A  (－,－)          B  (,－)          C  (－，)        D（0，0）

3．如果反比例函数的图像经过点（－3，－4），那么函数的图像应在        （　　）

   A  第一、三象限　     B 第一、二象限 　    C 第二、四象限　    D 第三、四象限

4．若与－3成反比例，与成正比例，则是的                         （　　）

   A 正比例函数　　     B 反比例函数　　    C 一次函数　　     D 不能确定

5．若反比例函数的图像在第二、四象限，则的值是           （　　）

   A  －1或1  　    B  小于的任意实数        C  －1　　  　Ｄ 不能确定

6．函数的图象经过点（－4，6），则下列各点中在图象上的是        （    ）

   A （3，8）          B（3，－8）        C（－8，－3）        D（－4，－6）

7．正比例函数和反比例函数在同一坐标系内的图象为               （    ）

    A                     B                      C                    D

8．如图，A为反比例函数图象上一点，AB垂直轴于B点，若

S△AOB＝3，则的值为     （    ）

    A、 6          B、3          C、           D、不能确定    

9．如果与成反比例关系，与成正比例关系，则与成                  （    ）

    A．正比例关系      B反比例关系      C．一次函数关系       D．不同于以上答案

10．如图13－8－5，面积为2的ΔABC，一边长为，这边上的高为，则与的变化规律用图象表示大致是 （    ）

11．如图13－8－6所示，A（，）、B（，）、C（，）是函数的图象在第一象限分支上的三个点，且＜＜，过A、B、C三点分别作坐标轴的垂线，得矩形ADOH、BEON、CFOP，它们的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论中正确的是  （    ）

A．S1C．  S2< S3< S1                    D． S1=S2=S3

二、解答题 ：

已知：反比例函数和一次函数，其中一次函数的图像经过点（，5）.

（1）  试求反比例函数的解析式；

（2）若点A在第一象限，且同时在上述两函数的图像上，求A点的坐标；

1.3反比例函数的应用 

学习目标：

1、经历通过实验获得数据，然后根据数据建立反比例函数模型的一般过程，体会建模思想。

2、会综合运用反比例函数的解析式，函数的图像以及性质解决实际问题。

3、体验数形结合的思想。

一、忆一忆

1、什么是反比例函数？它的图像是什么？具有哪些性质？ 

2、小明家离学校3600米，他骑自行车的速度是x（米/分）与时间y（分）之间的关系式是

              ，若他每分钟骑450米，需      分钟到达学校。 

二、想一想

例1，设△ABC中BC的边长为x(cm) ,BC 边上的高AD为y(cm)，△ABC的面积为常数。已知y关于x 的函数图像过点（3，4）。

（1）求y关于x的函数解析式和△ABC的面积。

（2）画出函数的图像，并利用图像，求当时y 的值。

例2，正比例函数和反比例函数的图象如图所示。求这两个函数的解析式。

例3，如图，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=的图像相交于A、B两点。利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式。

例4，已知一次函数的图象经过反比例函数的图象上的A和B两点，A点的纵坐标为，B点的横坐标为2，求一次函数的解析式。

三、练一练

1，设每名工人一天能做某种型号的工艺品x 个。若某工艺厂每天要生产这种工艺品60个，则需工人y名。

（1）求y关于x的函数解析式。

（2）若一名工人每天能做的工艺品个数最少6个，最多8个，估计该工艺品厂每天需要做这种工艺品的工人多少人？ 

2，如图，在温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后气缸内气体的体积和气体对气缸壁所产生的压强。

（1）请根据表中的数据求出压强p(kpa)关于体积V(ml)函数解析式。

（2）当压力表读出的压强为72 kpa时，气缸内的气体压缩到多少ml？

1．如图：A，B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点。AC平行于轴，BC平行于轴，求△ABC的面积。

2．已知□ABCD中，AB = 4，AD = 2，E是AB边上的一动点，设AE=，DE延长线交CB的延长线于F，设CF =，求与之间的函数关系。

 3．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且A点的横坐标与B点的纵坐标都是；

（1）一次函数的解析式

（2）△AOB的面积。

4．如图：P是反比例函数图象上的一点，由P分别向轴和轴引垂线，阴影部分面积为，求函数的表达式。

5．点A是双曲线与直线在第二象限的交点，AB垂直轴于点B，且S△ABO=；（1）求两个函数的表达式

（2）求直线与双曲线的交点坐标和△AOC的面积。

反比例函数测试

基础达标验收卷

一、选择题：

1.已知反比例函数的图象经过点，则函数可确定为（    ）

A.            B.           C.            D. 

2.如果反比例函数的图象经过点，那么下列各点在此函数图象上的是（  ）

A.        B.            C.        D. 

3.如右图，某个反比例函数的图象经过点P，则它的解析式为（    ）

A.                B. 

C.                D. 

4.如右图是三个反比例函数，，在x轴上方的图象，由此观察得到、、的大小关系为（    ）

A.                B. 

C.                D. 

5.已知反比例函数的图象上有两点、且，那么下列结论正确的是（    ）

A.       B.         C.          D与之间的大小关系不能确定

6、已知反比例函数的图象如右图，则函数的图象是下图中的（  ）

7、已知关于x的函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（  ）

8、如图，点A是反比例函数图象上一点，AB⊥y轴于点B，

则△AOB的面积是（    ）

A. 1            B. 2            C. 3            D. 4

9、某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例. 右图表示的是该电路中电流I与电阻R之间的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（    ）

A.                B. 

C.                D. 

二、填空题：

1.我们学习过反比例函数. 例如，当矩形面积S一定时，长a是宽b的反比例函数，其函数关系式可以写为（S为常数，S≠0）.

请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数关系式.

实例：_________________________________________________；

函数关系式：___________________________________________.

2.右图是反比例函数的图象，那么k与0的大小关系是.

3.点在双曲线上，则k=______________.

4.近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例. 已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是_____________.

5.已知反比例函数的图象经过点，则a=__________.

三、解答题：

1.已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，

    求k，n的值.

2.已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点.

（1）分别求这两个函数的解析式.

（2）试判断点关于x轴的对称点是否在一次函数的图象上.

3.反比例函数的图象经过点.

（1）求这个函数的解析式；

（2）请判断点是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由.

4.在压力不变的情况下，某物承受的压强P（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其图象如右图所示.

（1）求P与S之间的函数关系式；

（2）求当S=0.5m2时物体所受的压强P.

5.如图，反比例函数与一次函数的图象交于A、B两点.

（1）求A、B两点的坐标；

（2）求△AOB的面积.

能力提高练习

一、学科内综合题

1.如右图，△OPQ是边长为2的等边三角形，若反比例函数的图象过点P，则它的解析式是_____________.

2.已知反比例函数和一次函数.

（1）若一函数和反比例函数的图象交于点，求m和k的值.

（2）当k满足什么条件时，这两个函数的图象有两个不同的交点？

（3）当时，设（2）中的两个函数图象的交点分别为A、B，试判断A、B两点分别在第几象限？∠AOB是锐角还是钝角（只要求直接写出结论）？

二、学科间综合题

3.若一个圆锥的侧面积为20，则下图中表示这个圆锥母线长l与底面半径r之间函数关系的是（    ）

三、实际应用题

4.某单位为响应发出的全民健身的号召，打算在长和宽分别为20米和11米的矩形大厅内修建一个60平方米的矩形健身房ABCD. 该健身房的四面墙壁中有两侧沿用大厅的旧墙壁（如图为平面示意图），已知装修旧墙壁的费用为20元/平方米，新建（含装修）墙壁的费用为80元/平方米. 设健身房的高为3米，一面旧墙壁AB的长为x米，修建健身房的总投入为y元.

（1）求y与x的函数关系式；

（2）为了合理利用大厅，要求自变量x必须满足8≤x≤12. 当投入资金为4800元时，问利用旧墙壁的总长度为多少米？

5、为了预防“甲型”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒. 已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示）. 现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为6毫克. 请根据题中所提供的信息，解答下列问题：

（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为：___________________，自变量x的取值范围是：______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为：___________________；

（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，学生才能回到教室；

（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效地杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？