2019-2020学年广东省揭阳市普宁市八年级(下)期末数学试卷(含答案解析)

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是

A.     B.     C.     D. 

2.下列各式中，从左边到右边的变形是因式分解的是

A.     B. 

C.     D. 

3.不等式的解集在数轴上表示正确的是

A. 

B. 

C. 

D. 

4.如图，在中，，，，点D，E分别是边AB，CB的中点，那么DE的长为

A.     B. 2    C. 3    D. 4

5.如图是“一带一路”示意图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，分别连接AB、AC、BC，形成一个三角形．若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在

A. 三条中线的交点处

B. 三条高所在直线的交点处

C. 三条角平分线的交点处

D. 三边的垂直平分线的交点处

6.如图，▱ABCD中，点O为对角线AC、BD的交点，下列结论错误的是

A.     B. 

C.     D. 

7.对于实数a、b、c中，给出下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则其中真命题有

A.     B.     C.     D. 

8.下列各分式中，最简分式是

A.     B.     C.     D. 

9.关于x的方程无解，则m的值为

A.     B.     C.     D. 5

10.如图，在中，，，AD平分交BC于点D，，垂足为若，则BC的长为

A. 3    B.     C.     D. 

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11.分解因式： ______ ．

12.分式方程的解为______．

13.若一个正多边形的每一个外角都是，则这个正多边形的内角和等于______ 度．

14.用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个大于或等于”时，应先假设            ．

15.如图，将等腰直角沿BC方向平移得到若，与重叠部分面积为2，则______．

16.如图，函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是______．

三、解答题（本大题共8小题，共62.0分）

18.解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

19.先化简，再求值：，其中．

20.在中，，，AB边的垂直平分线交AB于D，交BC于E，求证：．

21.已知平行四边形ABCD．

尺规作图：作的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；

在的条件下，求证：．

22.某学习平台为提高学生的积极性，推出学习积分，所得积分可兑换礼品．某品牌的圆珠笔每支需要40积分，笔芯每支需要10积分．现积分超市推出以下两种活动：

活动一：按兑换物品所需的积分打八折扣积分；

活动二：兑换一支圆珠笔送两支笔芯．

王叔叔有1000积分，想兑换这种圆珠笔10支，笔芯x支．

请你分别写出活动一、活动二兑换所需的积分，与笔芯支之间的函数关系式；

若只能选择一种兑换活动，请你帮助王叔叔判断选择哪种活动更优惠．

23.如图，等边中，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD和EF．

求证：四边形DCFE是平行四边形；

求的度数．

第一批口罩进货单价多少元？

若这两次购进防护口罩过程中所产生其他费用不少于600元，那么该超市这两批防护口罩的平均购进单价至少为多少元？

25.将▱OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点，点A在第一象限，，，AB与y轴交于点N．

如图，求点A的坐标；

如图，将平行四边形OABC绕点O逆时针旋转得到平行四边形，当点A的对应点落在y轴正半轴上时，求旋转角及点B的对应点的坐标；

将平行四边形OABC绕点A旋转得到平行四边形DAEF，使点B的对应点E落在直线OA上，请在图中画出旋转后的图形，并直接写出OE、AB、BC之间的关系．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：C

解析：解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；

B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；

C、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；

D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．

故选：C．

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．

2.答案：C

解析：

【分析】

本题考查了对因式分解的意义的理解，关键是能根据因式分解的意义进行判断从等式的左边到等式的右边是否是因式分解．

根据因式分解的意义：把一个多项式化成几个整式积的形式，左边是一个多项式，右边是整式的积的形式，进行判断即可．

【解答】

解：根据因式分解的意义：把一个多项式化成几个整式积的形式，

A.右边不是积的形式，故本选项错误；

B.右边最后不是积的形式，故本选项错误；

C.，符合因式分解的意义，故本选项正确；

D.结果是，故本选项错误．

故选：C．

3.答案：B

解析：解：不等式移项，得

，

系数化为1，得

；

不包括3时，应用空心圆表示，不能用实心的原点表示3这一点，

故选：B．

不等式的解集是，小于应向左画，且不包括3时，应用空心圆表示，不能用实心的圆点表示3这一点，据此可求得不等式的解集在数轴上的表示．

本题考查了在数轴上表示不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集时，大于向右，小于向左，有等于号的画实心圆点，没有等于号的画空心圆圈．

4.答案：B

解析：解：点D，E分别是边AB，CB的中点，

，

故选：B．

根据三角形中位线定理解答即可．

本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．

5.答案：D

解析：解：到A、B、C三地的距离相等，

中转仓的位置应选在三边的垂直平分线的交点处，

故选：D．

根据题意和线段垂直平分线的性质，可以解答本题．

本题考查线段的垂直平分线，解答本题的关键是明确题意，利用线段垂直平分线的性质解答．

6.答案：A

解析：解：四边形ABCD是平行四边形，

，，，

、C、D正确，

故选：A．

根据平行四边形的性质即可判断．

本题考查平行四边形的性质、记住平行四边形的性质是解题的关键，属于中考基础题．

7.答案：B

解析：解：若，则，所以为真命题；

若，当时，则，所以为假命题；

若，则，所以为真命题；

若，当时，则所以为假命题．

故选：B．

根据不等式的性质对各命题的真假进行判断．

本题考查了命题与定理：灵活应用不等式的性质是解决此类题目的关键．

8.答案：C

解析：解：原式，故A不是最简分式；

原式，故B不是最简分式；

原式，故C是最简分式；

原式，故D不是最简分式；

故选：C．

最简分式是指分子和分母没有公因式．

本题考查考查最简分式，要注意将分子分母先分解后，约去公因式．

9.答案：A

解析：

【分析】

此题考查了分式方程的解，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．

分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．

【解答】

解：去分母得：，

由分式方程无解，得到，即，

代入整式方程得：，

解得：，

故选A．

10.答案：D

解析：解：如图．过点D作于F．

平分，，，

，

在中，，，

，

在中，，，

，

，

故选：D．

如图．过点D作于首先证明，解直角三角形分别求出BD，DC即可解决问题．

本题考查角平分线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

11.答案：

解析：解：原式 

，

故答案为：．

先提取公因式2x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

12.答案：

解析：

【分析】

本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根，根据解分式方程的步骤，即可解答．

【解答】

解：方程两边都乘以，得：，

解得：，

检验：当时，，

所以分式方程的解为，

故答案为：．

13.答案：1800

解析：解：多边形的边数：，

正多边形的内角和：．

根据任何多边形的外角和都是，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．n边形的内角和是，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．

根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．

14.答案：三角形的三个内角都小于

解析：【解答】

解：用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个大于或等于”时，应先假设三角形的三个内角都小于．

熟记反证法的步骤，直接填空即可．

【分析】

解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：

假设结论不成立；

从假设出发推出矛盾；

假设不成立，则结论成立．

在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

15.答案：

解析：解：设，

根据等腰三角形的性质可知，重叠部分为等腰直角三角形，

则边上的高为x，

，解得舍去负值，

，

．

故答案为．

重叠部分为等腰直角三角形，设，则边上的高为x，根据重叠部分的面积列方程求x，再求．

本题考查了等腰直角三角形的性质，平移的性质．关键是判断重叠部分图形为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求斜边长．

16.答案：

解析：解：函数过点，

，

解得：，

，

不等式的解集为．

故答案为：．

首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可．

此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出A点坐标．

17.答案：

解析：解：点、，

，

由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：，

，

的直角顶点是第673个循环组的最后一个三角形的直角顶点，

，

的直角顶点的坐标为．

故答案为．

根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2020除以3，根据商为673余数为1，可知第20，20个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可．

本题主要考查了点的坐标变化规律，仔细观察图形得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点．图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．

18.答案：解：，

由得，

由得，

故不等式组的就为．

把解集在数轴上表示出来为：

解析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并把解集在数轴上表示出来即可．

此题考查的是解一元一次方程组的方法，解一元一次方程组应遵循的法则：“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．同时考查了在数轴上表示不等式的解集．

19.答案：解：

，

当时，原式．

解析：根据分式的加减法和乘法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．

本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．

20.答案：证明：，

，

又垂直平分AB

，

在中

，

．

解析：先根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线性质和等腰三角形性质求出，根据含30度角的直角三角形性质解答即可．

本题考查了线段垂直平分线的定义，等腰三角形的性质，以及直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．

21.答案：解：如图所示，AF即为所求；

四边形ABCD是平行四边形，

，，

，．

平分，

，

，

．

解析：作的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F即可；

先根据平行四边形的性质得出，，故，再由AF平分得出，故可得出，据此可得出结论．

本题考查的是作图基本作图，熟知角平分线的作法和性质是解答此题的关键．

22.答案：解：由题意可得，

，

；

当时，，得，

当时，，得，

当时，，得，

当时，，得，

当时，，得，

当时，选择活动一和活动二一样优惠，

当时，选择活动一更优惠，

当时，选择活动二更优惠．

解析：根据题意可以得到两种活动下兑换所需的积分，与笔芯支之间的函数关系式；

再利用分类讨论的方法即可得到王叔叔选择哪种活动更优惠．

本题考了一次函数的应用以及查一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式以及不等式，利用分类讨论的思想解答．

23.答案：证明：、E分别为AB、AC的中点，

为的中位线，

，，

，

，

，

四边形DCFE是平行四边形，

解：由得：四边形DCFE是平行四边形，

，

，

是等边三角形，D是AB的中点，

，CD平分，

，

．

解析：直接利用三角形中位线定理得出四边形DCFE是平行四边形即可；

由平行四边形的性质得出，则，由等边三角形的性质得出，即可得出．

此题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理和等边三角形的性质，证明四边形DCFE为平行四边形是解题的关键．

24.答案：解：设第一批口罩进货单价为x元，则第二批口罩进货单价为元，

依题意，得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，且符合题意．

答：第一批口罩进货单价为8元．

第一批购进数量为个，

第二批购进数量为个．

设该超市这两批防护口罩的平均购进单价为y元，

依题意，得：，

解得：．

答：该超市这两批防护口罩的平均购进单价至少为元．

解析：设第一批口罩进货单价为x元，则第二批口罩进货单价为元，根据数量总价单价结合第二批购进的数量是第一批的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

根据数量总价单价可求出第一批购进的数量，结合第二批购进的数量是第一批的3倍可求出第二批购进的数量，设该超市这两批防护口罩的平均购进单价为y元，根据总价单价数量结合这两次购进防护口罩过程中所产生其他费用不少于600元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

25.答案：解：如图，

在中，，

，

，

，，

；

如图，过点作轴于E，

，

，

四边形ABCO是平行四边形，

，

当点A的对应点落在y轴正半轴上时，旋转角为，

由旋转知，，，，

，

，，

，

；

如图3，

当顺时针旋转时，，

将平行四边形OABC绕点A旋转得到平行四边形DAEF，

，

四边形ABCO是平行四边形，

，

；

当逆时针旋转时，，

将平行四边形OABC绕点A旋转得到平行四边形，

，

四边形ABCO是平行四边形，

，

；

综上所述：或．

解析：利用含30度角的直角三角形的性质求出AN，ON即可得出结论；

先求出，，进而利用含30度角的直角三角形的性质求出，AE即可得出结论；

分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，由旋转的性质可求解．

本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些知识进行推理是本题的关键．