第三章附录：相关系数r 的计算公式的推导

设A、B分别表示证券A、证券B历史上各年获得的收益率；、分别表示证券A、证券B各年获得的收益率的平均数；P表示证券A和证券B构成的投资组合各年获得的收益率，其他符号的含义同上。

=

=

=

           =

           =

           =

           =

           =A××

           =A

对照公式（1）得：

=×× r

∴  r=

这就是相关系数r的计算公式。

投资组合风险分散化效应的内在特征

1.两种证券构成的投资组合为最小方差组合（即风险最小）时各证券投资比例的测定

公式（1）左右两端对A求一阶导数，并注意到A=1—A：

()′=2 A－2 (1－A)＋2 (1－A) r－2A r

令 ()′= 0  并简化，得到使取极小值的A：

A=     … …………………………………（3）

式中, 0≤A≤1,否则公式（3）无意义。

由于使()′=0的A值只有一个，所以据公式（3）计算出的A使为最小值。

以上分析清楚地说明：对于证券A和证券B，只要它们的系数r适当小（r的“上限”的计算，本文以下将进行分析），由证券A和证券B构成的投资组合中，当投资于风险较大的证券B的资金比例不超过按公式（3）计算的（1—A），会比将全部资金投资于风险较小的证券A的方差（风险）还要小；只要投资于证券B的资金在（1—A）的比例范围内，随着投资于证券B的资金比例逐渐增大，投资组合的方差（风险）会逐渐减少；当投资于证券B的资金比例等于（1—A）时，投资组合的方差（风险）最小。这种结果有悖于人们的直觉，揭示了风险分散化效应的内在特征。按公式（3）计算出的证券A和证券B的投资比例构成的投资组合称为最小方差组合，它是证券A和证券B的各种投资组合中方差（亦即风险）最小的投资组合。