八年级数学--难题、易错题汇总

1、如果abc=1,求证++=1

解：原式=++

      =++

      =

      =1

2、已知+=，则+等于多少？

解：+=

=

2()=9

2+4+2=9

2（）=5

=

+=

3、 如图5—19，已知CE、CB分别是△ABC和△ADC的中线，且AB=AC．求证：CD=2CE．

分析  用加倍法．为了证明CD=2CE，考虑CE是△ABC底边AB上的中线，故把CE延长到F，使CF=2CE，把原来证CD=2CE转化为证明CD=CF，如此把线段“倍半”的数量关系转化为证两条线段的相等关系．

证明  如图5—20，延长CE至F，使EF=CE，连结BF，可证△EBF≌△EAC．

∴BF＝AC＝AB＝BD．

又∠CBF＝∠CBA+∠ABF＝∠BCA+∠CAB＝∠CBD，BC公用，

∴△CBF≌△CBD．（SAS）

∴CF＝CD，即2CE＝CD．

4、如图5—22，在△ABC中，BD=DC，ED⊥DF．求证：BE＋CF＞EF．

分析  本题算延长FD到G，使FD=DG，构造新△EDG，通过证明△BDG≌△CDF，达到转移线段位置的目的（如图5-22将BE+CF转移为BE+BG，将EF转移为EG）

证明  延长FD到G，使DG=DF，连结BG．

∵∠BDG=∠CDF，BD=DC．

∴△BDG≌△CDF

∴BG=CF

连结EG

∵ED⊥DF，又DG=DF

∴EG=EF

在△EBG中，BE+BG>EG，

∴BE+CF>EF.

5、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．

求：∠APB的度数．

6、如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD. 

7.如图，AD是△ABC的角平分线，∠B=2∠C，∠1=∠C，

点E在AC上．

求证：AC=AB+BD．

.证明：∵∠4=∠1+∠C，∠1=∠C，

∴∠4=2∠C．       

∵∠B=2∠C，      

∴∠B=∠4．        …………………… 1分

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠2=∠3．        

∵AD=AD，        

∴△ABD≌△AED．    …………………… 3分

∴AB=AE，BD=ED．    …………………… 4分

∵∠1=∠C，

∴ED=EC．              …………………… 5分

∴EC=BD．

∴AC=AE+EC=AB+BD．   …………………… 6分

8、△ABC中，AB＝AC，∠BAC=900,D、E在BC上，且∠DAE=450,若BD=3,CE=4

求DE的长。

解：作点B关于AD的对称点，连结OD、OE、OA

　　　∴∠BAD＝∠OAD，AB＝AO，BD＝OD

　　　∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°

　　　∴∠BAD＋∠CAE＝∠OAD＋∠OAE

　　　∴∠CAE＝∠OAE

　　　∵AB＝AC，∴AC＝AO

　　在△OAE与△CAE中，　

　　　　　　　　　　　　　AO＝AC

∠OAE＝∠CAE

　　　　　　　　　　　　　AE＝AE

　　　∴△OAE≌△CAE（SAS）

　　　∴∠AOE＝∠C　　又∵∠B＝∠AOD

　　　　OE＝CE

　　　∴∠DOE＝∠B＋∠C＝90°

　　　∴DE＝＝＝5

9.已知：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点是边的中点，连结与相交于点．

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）与的大小关系如何？试证明你的结论．

（1）证明：，，是等腰直角三角形．．

在和中，

，，且，

．又，，

．．

（2）证明：在和中   平分，

．又，

．．又由（1），知，．

（3）．证明：连结．

是等腰直角三角形，．又是边的中点，垂直平分．

．在中，是斜边，是直角边，．

10.如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M。

    （1）求证：△EGM为等腰三角形；

    （2）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论。

解：（1）∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，

图6

∴AC=AB，∠ACB=∠ABC=45°．

又∵AD=AE，∠CAD=∠BAE．

∴△ACD≌△ABE．（SAS）

∴∠1=∠2                                                   

∵∠BAC=90°，∴∠3+∠2=90°．

∵FG⊥CD，∴∠1+∠4=90°．

∴∠3=∠4．

∴∠GEM=∠GME

∴EG=MG，△EGM为等腰三角形．                                

（2）答：线段BG、AF与FG的数量关系为BG=AF+FG                 

证法一：过点B作AB的垂线，交GF的延长线于点N

∵BN⊥AB，∠ABC=45°．

∴∠FBN=45°=∠FBA

∵FG⊥CD

∴∠BFN=∠CFM=90°－∠DCB

∵AF⊥BE

∴∠BFA=90°－∠EBC，∠5+∠2=90°

由（1）可得∠DCB=∠EBC，

∴∠BFN=∠BFA．

又∵BF=BF．

∴△BFN≌△BFA．（ASA）

∴NF=AF，∠N=∠5．                                               

又∵∠GBN+∠2=90°

∴∠GBN=∠5=∠N

∴BG=NG                                                          

又∵NG=NF+FG，

∴BG=AF+FG                                                     

证法二：设CD、BE的交点为N，连结AN（见图7），先证AF=BN，再证FG=NG。

图7

证法三：过点C作AC的垂线，交AF的延长线于点H（见图8）。先证AH=BE，再证FM=FH。

11、 .如图，在中，．

（1）请你用直尺和圆规分别作出和的平分线和，

分别交BC和AB于点D、E，与相交于点．

（2）请你判断并写出与之间的数量关系，

然后证明关系成立．

解:（1）作图，必须用圆规。否则扣分………………4分

　（2）与之间的数量关系为．……………5分

证法一：过点分别作于点，于点．……………6分

∵，且，分别是，的平分线，

∴   ．    ………8分

，……………10分

∴，

又，

∴．……………11分

∴．

∴．……………12分

证法二： 如图，在上截取，连结．……………6分

　　∵，为公共边，可证． 

　　∴，．……………7分

　　由，分别是的平分线，

　　可得．……………9分

　　∴．

∴．……………10分

由及为公共边，可得． ……………11分

∴． 

∴．……………12分

12、如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠ BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论。

答：相等。                    …………………………………………………… 1分

证明：∵AE是∠BAC的平分线，且EF⊥AB于F，EG⊥AC于G

∴EF＝EC                …………………………………………………… 4分

连EB、EC，∵ED⊥BC于D，D是BC的中点，∴EB＝EC    ………… 8分

∴Rt△EFB≌Rt△EGC，∴BF=CG        …………………………………… 10分