云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试 理科数学

数学（理科）

一、选择题：第小题5分，共60分。

1.复数z1=3+i,z2=1-i,则复数的虚部为          （      ）

  A.2       B.-2i         C.-2         D.2i

2. 设全集,集合, ,则=（      ）

A.         B.          C.       D. 

3、函数的最大值为              (      )

A.        B.        C.        D. 

4、椭圆的中心在原点，焦距为，一条准线为，则该椭圆的方程为(  )    

 A．      B.    C.   D. 

5、已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(  )    

   A. 3            B. 2              C. 1               D. 

6、已知某程序框图如图所示，则输出的i的值为（     ）

A．7      B．8    C．9     D．10

7、某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，

上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课

（第5和第6节不算连上），那么这位教师一天的

课的所有排法有（   ）

A．474种             B．77种          C．462种        D．79种

8、一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的

等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（   ）

A.         B.   

 C.          D. 

9．设表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题： 

    ①若∥，且则；          ②若∥，且∥.则∥；

    ③若，则∥m∥n； 

    ④若且n∥,则∥m.

    其中正确命题的个数是(       )

    A．1            B．2           C．3         D．4

10．已知向量，若，则的最小值为（   ）

    A．           B．12             C．6             D． 

A                    B                     C                    D

11.已知对数函数是增函数,则函数的图象大致是（    ）

12.已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为，P到直线的距离为，则的最小值  (     )

A．     B．      C．     D． 

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）

13.展开式中常数项为                 

14.已知函数,若,则.

15．若变量x、y满足，若的最大值为，则                 

16．已知等差数列的公差为，项数是偶数，所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则这个数列的项数为______________  ； 

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．

17．（本小题满分12分）已知函数

       （Ⅰ）当时，求函数的最小值和最大值；

    （Ⅱ）设的内角的对应边分别为，且，

若向量与向量共线，求的值。

18．（本小题满分12分）

      某校从6名学生会干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加市中学生运动会志愿者。

   （Ⅰ）所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望。

   （Ⅱ）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率

19．（本小题满分12分）

   在直三棱柱中， 

  ∠ACB=90°,Ｍ是的中点，Ｎ是的中点

  （Ⅰ）求证：MN∥平面；

  （Ⅱ）求点到平面BMC的距离； 

  （Ⅲ）求二面角的平面角的余弦值大小。

20．（本小题满分12分）已知椭圆上任一点P，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在PQ上，且，点M的轨迹为C.

   （Ⅰ）求曲线C的方程；

   （Ⅱ）过点D（0，－2）作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点且平行于轴的直线上一动点，满足（O为原点），问是否存在这样的直线l， 使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由

21．（本小题满分13分）设函数（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

   （Ⅱ）若函数f(x)在x∈[－1，1]内没有极值点，求a的取值范围；

   （Ⅲ）若对任意的a∈[3,6]，不等式在x∈[－2,2]上恒成立，求m的取值范围.

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分

22．（本小题满分10分）《选修4-4：坐标系与参数方程》

   在直角坐标系xOy中，直线的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为

  ．

 （I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴 正    半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线的位置关系；

 （II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线的距离的最小值．

23．（本小题满分10分）《选修4-5：不等式选讲》

  已知函数．

 （I）证明：；

 （II）求不等式的解集．

高2013届高三上学期期中考试题解析

一、选择题：第小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

17． 。

∵，∴，

∴，从而。

则的最小值是，最大值是。

（2），则，

∵，∴，∴，解得。

∵向量与向量共线，∴，

由正弦定理得，　　 ①

由余弦定理得，，即　　②

由①②解得。

18. 解：（I）ξ得可能取值为 0,1,2；由题意P(ξ=0)=, P(ξ=1)=, P(ξ=2)=                  …………3分

∴ξ的分布列、期望分别为：

 Eξ=0×+1×+2 ×=1                …………6分

（II）设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为C

     男生甲被选中的种数为,男生甲被选中，女生乙也被选中的

   种数为                                

     ∴P(C)=                             …………11分

     在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为   ……12分

19．（1）如图所示，取B1C1中点D，连结ND、A1D

     ∴DN∥BB1∥AA1

   又DN＝

     ∴四边形A1MND为平行四边形。

     ∴MN∥A1 D  又 MN 平面A1B1C1   AD1平面A1B1C1

     ∴MN∥平面--------------------------4分

(2)因三棱柱为直三棱柱， ∴C1 C ⊥BC，又∠ACB=90°∴BC⊥平面A1MC1

在平面ACC1 A1中，过C1作C1H⊥CM，又BC⊥C1H，故C1H为C1点到平面BMC的距离。在等腰三角形CMC1中，C1 C=2,CM=C1M=

∴.--------------------------8分

(3)在平面ACC1A1上作CE⊥C1M交C1M于点E，A1C1于点F,

则CE为BE在平面ACC1A1上的射影，

∴BE⊥C1M, ∴∠BEF为二面角B-C1M-A的平面角,

在等腰三角形CMC1中，CE=C1H=,∴tan∠BEC=

∴ cos∠BEC=.

二面角的平面角与∠BEC互补，所以二面角的余弦值为--------------------12分

法2：（1）同上。如图所示建系，

（2）可得，, ,设是平面BMC的法向量，C1点到平面BMC的距离h。

可求得一个法向量为，, 

（3）可知是平面    的法向量，设是

平面的法向量，求得一个法向量

设是为二面角的平面角,则，又因为二面角的平面角是钝角，所以。

20．

因为，所以四边形OANB为平行四边形， 

    假设存在矩形OANB，则

    即，

    所以，       …………10分

    设N（x0，y0），由，得

    ，即N点在直线，

    所以存在四边形OANB为矩形，直线l的方程为    

21．解：（Ⅰ）∵f′(x)=3x2+2ax－a2=3(x－)(x+a),

又a>0，∴当x<－a或x>时f′(x)>0；

当－a∴函数f(x)的单调递增区间为（－∞，－a），(，+∞)，单调递减区间为

(－a，).(4分）

（Ⅱ）由题设可知，方程f′(x)=3x2+2ax－a2=0在[－1，1]上没有实根

∴，解得a>3.                              （8分）

（Ⅲ）∵a∈[3,6]，∴由（Ⅰ）知∈[1，2]，－a≤－3

又x∈[－2,2]

∴f(x)max=max{f(－2),f(2)}

而f(2)－f(－2)=16－4a2<0

f(x)max=f(-2)= －8+4a+2a2+m （10分）

   又∵f(x)≤1在[－2，2]上恒成立

∴f(x)max≤1即－8+4a+2a2+m≤1

即m≤9－4a－2a2,在a∈[3，6]上恒成立

∵9－4a－2a2的最小值为－87

∴m≤－87.                        （13分）

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解：（I）把极坐标系下的点化为直角坐标，得P（0，4）。

因为点P的直角坐标（0，4）满足直线的方程，

所以点P在直线上，

（II）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为，

从而点Q到直线的距离为

，

由此得，当时，d取得最小值，且最小值为

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

解：（1）

    当   所以   ………5分

   （II）由（I）可知，

    当的解集为空集；

    当；

    当.综上，不等式  …………10分