2022-2023学年山东省青岛二中高一(下)期末数学试卷【答案版】

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝1+i （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点的坐标是（ ） A ．（0，1）

B ．（0，﹣1）

C ．（﹣1，0）

D ．（1，0）

2．已知平面向量a →

=(√3，−1)，|b →

|=4，且(a →

−2b →

)⊥a →

，则|a →

−b →

|=（ ） A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

3．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n B ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α

C ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β

D ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β

4．如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台，上、下底面边长分别为15cm 和10cm ，高为15cm ．“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”．则该“升”的“平升”约可装（1000cm 3＝1L ）（ ）

A ．1.9L

B ．2.2L

C ．2.4L

D ．4.6L

5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为S ＝a 2+b 2﹣c 2，则tan C 的值为（ ） A ．1

4

B ．1

2

C ．2

D ．4

6．△ABC 中，点M 为AC 上的点，且AM →

=3MC →

，若BM →

=λBA →

+μBC →

(λ，μ∈R)，则μ﹣λ＝（ ） A ．−1

3

B ．−12

C ．1

3

D ．1

2

7．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，设直线l 与BD ，B 1C 分别交于点P ，Q ，且l ⊥BD ，l ⊥B 1C ，则线段PQ 的长为（ ）

A ．

√23

B ．

√33

C ．

√63

D ．

√66

8．为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ） A ．0.96

B ．0.94

C ．0.79

D ．0.75

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知平面向量a →

=(1，1)，b →

=(−3，4)，则下列说法正确的是（ ） A ．cos〈a →

，b →

〉=

√210

B ．b →

在a →方向上的投影向量为(

√2

2

，√2

2)

C ．与b →

垂直的单位向量的坐标为(45

，35

)或(−45

，−35

) D ．若向量a →

+λb →

与非零向量a →

−λb →

共线，则λ＝0

10．有一组从小到大排列的样本数据x 1，x 2，…，x n ﹣1，x n （n ≥4），若将第1个数据减1，最后一个数据加2，其余数据不变，得到新的一组数据x 1﹣1，x 2，…，x n ﹣1，x n +2，则下列统计量中，相比原来的数据变大的有（ ） A ．极差

B ．中位数

C ．平均数

D ．方差

11．一个质地均匀的正四面体4个表面上分别有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M 为“第一次向下的数字为1或2”，事件N 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（ ） A ．事件M 与事件N 互斥

B ．事件M 发生的概率为1

2

C ．事件M 与事件N 相互

D ．事件M +N 发生的概率为1

12．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别是棱BC ，CC 1的中点，点M 满足BM →

=tBA →

，t ∈[0，1]，下列结论正确的是（ ） A ．若t ＝1，则A 1B 1∥平面MPQ

B ．若t ＝1，则过点M ，P ，Q 的截面面积是9

2

C ．若t =1

2，则点A 1到平面MPQ 的距离是

√3

6

D ．若t =1

2，则AB 与平面MPQ 所成角的正切值为√22

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．抽取某校高一年级10名女生，测得她们的身高（单位：cm ）数据如下：163 165 161 157 162 165 158 155 1 162，据此估计该校高一年级女生身高的第25百分位数是 ．

14．在△ABC 中，AB ＝2，∠BAC =60°，BC =√6，D 为BC 上一点，AD 为∠BAC 的平分线，则AD ＝ ．

15．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑（bi ēn ào ）．已知四面体A ﹣BCD 为鳖臑，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AB =1

2BC =13

CD ，若此四面体的体积为1，则其外接球的表面积为 ．

16．已知正方形ABCD 的边长为2，O 为对角线的交点，动点M 在线段AD 上，点M 关于点O 的对称点为点N ，则AM →

⋅AN →

的最大值为 ．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C +√3a sin C ﹣b ﹣c ＝0． （1）求角A ；

（2）若a ＝2，△ABC 的面积为√3，求b ，c ．

18．（12分）某海域的东西方向上分别有A ，B 两个观测点（如图），它们相距25√6海里．现有一艘轮船在D 点发出求救信号，经探测得知D 点位于A 点北偏东45°，B 点北偏西75°，这时位于B 点南偏西45°且与B 相距80海里的C 点有一救援船，其航行速度为35海里/小时． （1）求B 点到D 点的距离BD ；

（2）若命令C 处的救援船立即前往D 点营救，求该救援船到达D 点需要的时间．

19．（12分）青岛二中高一年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中b ＝3a ．

（1）估计测试成绩的上四分位数和平均分；

（2）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在[80，100]内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在[80，90）内的概率．

20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，P A ⊥CD ，AD ＝1，CD ＝4．

（1）证明：AD ⊥平面PCD ；

（2）若PD ＝3，求直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值．

21．（12分）甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为2

3

，乙每轮猜对的概率为3

4

．在每轮比赛中，甲和乙猜对与

否互不影响，各轮结果也互不影响．

（1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；

（2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率．

22．（12分）已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是梯形，P A ⊥平面ABCD ，BC ∥AD ，AB =√2，CD ＝1，AD ＝2BC ＝2，P A ＝1．

（1）求点A 到平面PBC 的距离；

（2）求平面PBA 于平面PBC 的夹角的大小．

2022-2023学年山东省青岛二中高一（下）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝1+i （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点的坐标是（ ） A ．（0，1） B ．（0，﹣1） C ．（﹣1，0） D ．（1，0）

解：（1﹣i ）z ＝1+i ，

则z =1+i 1−i =(1+i)

2

(1−i)(1+i)=i ，

则z =−i ，

故z 在复平面内对应的点的坐标是（0，﹣1）． 故选：B ．

2．已知平面向量a →

=(√3，−1)，|b →

|=4，且(a →

−2b →

)⊥a →

，则|a →

−b →

|=（ ） A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

解：由平面向量a →=(√3，−1)，可得|a →

|=√3+1=2， 由(a →

−2b →

)⊥a →

，可得a →

•（a →

−2b →

）＝0， 即a →2

＝2a →•b →=4， 则a →•b →=2，

|a →

−b →

|=√(a →

−b →

)2=√a →

2−2a →

⋅b →

+b →

2=√4−2×2+16=4， 故选：C ．

3．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n B ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α

C ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β

D ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β

解：m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．

对于A ，若m ⊥α，n ⊥α，则由线面垂直的性质定理得m ∥n ，故A 正确；

对于B ，若α⊥β，m ⊥β，则由面面垂直、线面垂直的性质得m ⊂α或m ∥α，故B 错误； 对于C ，若α⊥β，m ⊂α，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故C 错误； 对于D ，若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α与β相交或平行，故D 错误． 故选：A ．

4．如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台，上、下底面边长分别为15cm 和10cm ，高为15cm ．“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”．则该“升”的“平升”约可装（1000cm 3＝1L ）（ ）

A ．1.9L

B ．2.2L

C ．2.4L

D ．4.6L

解：由台体的体积公式可知，

V =1

3×15×(102+152+√102×152)=2375(cm 3)，2375cm 3≈2.4L ， 故选：C ．

5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为S ＝a 2+b 2﹣c 2，则tan C 的值为（ ） A ．14

B ．1

2

C ．2

D ．4

解：因为△ABC 的面积为S ＝a 2+b 2﹣c 2， 所以1

2

absinC =a 2+b 2−c 2，

又∵cosC =a 2+b 2

−c 2

2ab

， ∴2abcosC =1

2

absinC ，则tan C ＝4． 故选：D ．

6．△ABC 中，点M 为AC 上的点，且AM →

=3MC →

，若BM →

=λBA →

+μBC →

(λ，μ∈R)，则μ﹣λ＝（ ） A ．−13

B ．−12

C ．1

3

D ．1

2

解：因为AM →

=3MC →

，所以AM →

=34

AC →

=34

（BC →

−BA →

），

所以BM →

=BA →

+AM →

=BA →

+34（BC →−BA →）=14BA →+34BC →

，

因为BM →=λBA →+μBC →

(λ，μ∈R)， 所以λ=14，μ=3

4， 故μ−λ=1

2． 故选：D ．

7．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，设直线l 与BD ，B 1C 分别交于点P ，Q ，且l ⊥BD ，l ⊥B 1C ，则线段PQ 的长为（ ）

A ．

√23

B ．

√33

C ．

√63

D ．

√66

解：由题意可得PQ 为异面直线BD ，B 1C 的距离， 连接B 1D 1，D 1C ，

由BD ∥B 1D 1，BD ⊄平面D 1B 1C ，B 1D 1⊂平面D 1B 1C ， 所以BD ∥平面D 1B 1C ，

则PQ 即为直线BD 和平面D 1B 1C 的距离，即B 到平面D 1B 1C 的距离，设为h ， 由V B−B 1D 1C =V D 1−BB 1C ，可得1

3h •

√34

×（√2）2=13×1×1

2×1×1， 解得h =

√3

3

．

故选：B ．

8．为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ） A ．0.96

B ．0.94

C ．0.79

D ．0.75

解：该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：8001200+800

×9+

12001200+800

×8=8.4（小时），

该地区中学生每天睡眠时间的方差为：8001200+800×[1+(9−8.4)2]+

12001200+800

×[0.5+(8−

8.4)2]=0.94． 故选：B ．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知平面向量a →

=(1，1)，b →

=(−3，4)，则下列说法正确的是（ ） A ．cos〈a →

，b →

〉=√210

B ．b →

在a →

方向上的投影向量为(

√2

2

，√2

2)

C ．与b →垂直的单位向量的坐标为(4

5，3

5)或(−4

5，−3

5) D ．若向量a →

+λb →

与非零向量a →

−λb →

共线，则λ＝0 解：对于选项A ，因为a →

=(1，1)，b →

=(−3，4)， 所以|a →

|=

√12

+12

=√2，|b →

|=√(−3)2+42=5，a →

⋅b →

=1×(−3)+1×4=1，

则cos〈a →，b →

〉=

a →⋅b

→

|a →||b →

|

=

1

√2×5

=√210，故A 正确； 对于选项B ，b →

在a →

方向上的投影向量为|b →

|cos〈a →

，b →

〉⋅a →

|a →|

=5×√210⋅a →

2=12a →

=（12，12），故B 错误；

对于选项C ，设与b →

垂直的单位向量的坐标（x 0，y 0），则有{−3x 0+4y 0=0

x 02+y 02=1

，

解得{x 0=45y 0=35

或{x 0=−4

5y 0=−

35

，

所以与b →

垂直的单位向量的坐标为(45，35)或(−45，−3

5)，故C 正确； 对于选项D ，显然a →

与b →

不共线，

因为a →

+λb →

=（1﹣3λ，1+4λ），a →

−λb →

=（1+3λ，1﹣4λ）， 且向量a →

+λb →

与向量a →

−λb →

共线，

所以（1﹣3λ）（1﹣4λ）﹣（1+3λ）（1+4λ）＝0， 解得λ＝0，故D 正确． 故选：ACD ．

10．有一组从小到大排列的样本数据x 1，x 2，…，x n ﹣1，x n （n ≥4），若将第1个数据减1，最后一个数据加2，其余数据不变，得到新的一组数据x 1﹣1，x 2，…，x n ﹣1，x n +2，则下列统计量中，相比原来的数据变大的有（ ） A ．极差

B ．中位数

C ．平均数

D ．方差

解：极差比原数据大3，故A 正确； 中位数不变，故B 不正确； x =

x 1+x 2+x 3+⋯+x n n ，x 1=x 1−1+x 2+x 3+⋯+x n +2n =x 1+x 2+x 3+⋯+x n +1

n

， 所以平均数变大，故C 正确；

因为最小的数据变小，最大的数据变大，其余数据不变，显然新数据较原数据相对于各自的平均值波动变大，

由方差的意义易知方差也变大了，故D 正确． 故选：ACD ．

11．一个质地均匀的正四面体4个表面上分别有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M 为“第一次向下的数字为1或2”，事件N 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（ ） A ．事件M 与事件N 互斥

B ．事件M 发生的概率为1

2

C ．事件M 与事件N 相互

D ．事件M +N 发生的概率为1

解：当两次抛掷的点数为（1，4）时，事件M 与事件N 同时发生，所以事件M 与事件N 不互斥，故A 错误；

由题意可得P(M)=

24=1

2

，故B 正确； 事件M 与事件N 同时发生的情况有（1，2），（1，4），（2，1），（2，3）共4种， 所以P(MN)=416=1

4

， 又P(N)=

816=12

， 所以P （MN ）＝P （M ）•P （N ），故事件M 与事件N 相互，故C 正确； P(M +N)=P(M)+P(N)−P(MN)=12+12−14=3

4

，故D 错误． 故选：BC ．

12．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别是棱BC ，CC 1的中点，点M 满足BM →

=tBA →

，t ∈[0，1]，下列结论正确的是（ ） A ．若t ＝1，则A 1B 1∥平面MPQ

B ．若t ＝1，则过点M ，P ，Q 的截面面积是9

2

C ．若t =12

，则点A 1到平面MPQ 的距离是

√36

D ．若t =1

2，则AB 与平面MPQ 所成角的正切值为

√22

解：对A ，B 选项，若t ＝1，则M 与A 重合，如图所示：

延长B 1B 与QP 交于点E ，易知A 1B 1不平行AE ， ∴A 1B 1不平行平面MPQ ，∴A 选项错误； 连接MD 1，QD 1，则根据题意易知MD 1∥PQ ， ∴过点M ，P ，Q 的截面为等腰梯形PQD 1M ，

又根据题意易得PM ＝QD 1=√5，PQ =√2，D 1M =2√2，

∴易得等腰梯形PQD 1M 的高为√5−12=3

2

，

∴等腰梯形PQD 1M 的面积为12

×(√2+2√2)×

√2

=9

2

，∴B 选项正确；

对C ，D 选项，若t =12

，则M 为AB 的中点，连接A 1C 1，如图所示：

易知A 1C 1∥MP ，∴A 1到平面MPQ 的距离等于C 1到平面MPQ 的距离d ， 则根据等体积法思想可得：V C 1−MPQ =V M−PQC 1，

又PM ＝PQ =√2，MQ =√5+1=√6，∴S △MPQ =1

2×√6×√(√2)2−(6

2)2=√3

2， ∴1

3×S △MPQ ×d =

13

×S △PQC 1×MB ，

∴13×

√32×d =13×12

×1×1×1，∴d =√3

3，∴C 选项错误； 又易知BC 1∥PQ ，∴B 到平面MPQ 的距离等于C 1到平面MPQ 的距离d =√3

3， 又MB ＝1，设AB 与平面MPQ 所成角为θ，则sin θ=d MB =√3

3，

∴cos θ=√63，∴tan θ=sinθcosθ=√2

2，∴D 选项正确． 故选：BD ．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．抽取某校高一年级10名女生，测得她们的身高（单位：cm ）数据如下：163 165 161 157 162 165 158 155 1 162，据此估计该校高一年级女生身高的第25百分位数是 158 ． 解：10×25%＝2.5，第25百分位数是从小到大第3个数为158． 故答案为：158．

14．在△ABC 中，AB ＝2，∠BAC =60°，BC =√6，D 为BC 上一点，AD 为∠BAC 的平分线，则AD ＝ 2 ．

解：由余弦定理可得cos ∠BAC =AB 2+AC 2

−BC 2

2AB⋅AC

，而AB ＝2，∠BAC =60°，BC =√6，

所以1

2

=

4+AC 2−62×2AC

，整理可得：AC 2﹣2AC ﹣2＝0，

解得AC =√3+1或AC ＝1−√3（舍），

AD 为∠BAC 的平分线，所以∠BAD ＝∠CAD ＝30°， 因为S △ABC =12

AB •AC sin ∠BAC =

12×2×（√3+1）×√32=1

4

×2×（3+√3）， 而S △ABC ＝S △BAD +S △CAD =1

2

AB •AD •sin ∠BAD +12AC •AD •sin ∠CAD =12AD ×12×（AB +AC ）=14

（3+√3）•AD ，

所以1

4×2×（3+√3）=

1

4

×（3+√3）AD ，解得AD ＝2． 故答案为：2．

15．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑（bi ēn ào ）．已知四面体A ﹣BCD 为鳖臑，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AB =1

2BC =13

CD ，若此四面体的体积为1，则其外接球的表面积为 14π ．

解：由已知，因为AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，可令AB =12BC =13

CD =x ， 所以V ABCD =13AB ⋅S △BCD =13AB ⋅12⋅CD ⋅BC =16

x ⋅6x 2=1，所以x ＝1， 所以AB ＝1，BC ＝2，CD ＝3，

由已知，鳖臑的外接球可还原在以AB ，CD ，BC 为长宽高的长方体中，设其外接球半径为R ， 所以其外接球的半径R =

√12+(2)2+(3)2

2

=√14

2，

所以其外接球的表面积S =4πR 2=4π⋅(√14

2)2=14π．

故答案为：14π．

16．已知正方形ABCD 的边长为2，O 为对角线的交点，动点M 在线段AD 上，点M 关于点O 的对称点为点N ，则AM →

⋅AN →

的最大值为 1 ． 解：建立如图的平面坐标系， 则A （﹣1，1），

设M （﹣1，b ），（﹣1≤b ≤1），则N （1，﹣b ），

则AM →

⋅AN →

=（0，b ﹣1）•（2，﹣b ﹣1）＝（b ﹣1）（﹣b ﹣1）＝﹣（b ﹣1）（b +1）＝﹣b 2+1， 则当b ＝0时，y ＝﹣b 2+1取得最大值1，即，AM →

⋅AN →

的最大值为1． 故答案为：1．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C +√3a sin C ﹣b ﹣c ＝0． （1）求角A ；

（2）若a ＝2，△ABC 的面积为√3，求b ，c ． 解：（1）△ABC 中，∵a cos C +√3a sin C ﹣b ﹣c ＝0，

利用正弦定理可得sin A cos C +√3sin A sin C ＝sin B +sin C ＝sin （A +C ）+sin C ， 化简可得√3sin A ﹣cos A ＝1，∴sin （A ﹣30°）=1

2， ∴A ﹣30°＝30°，∴A ＝60°． （2）若a ＝2，△ABC 的面积为1

2bc •sin A =

√3

4

bc =√3，∴bc ＝4 ①．

再利用余弦定理可得a 2＝4＝b 2+c 2﹣2bc •cos A ＝（b +c ）2﹣2bc ﹣bc ＝（b +c ）2﹣3•4， ∴b +c ＝4 ②．

结合①②求得b ＝c ＝2．

18．（12分）某海域的东西方向上分别有A ，B 两个观测点（如图），它们相距25√6海里．现有一艘轮船在D 点发出求救信号，经探测得知D 点位于A 点北偏东45°，B 点北偏西75°，这时位于B 点南偏西

45°且与B 相距80海里的C 点有一救援船，其航行速度为35海里/小时．

（1）求B 点到D 点的距离BD ；

（2）若命令C 处的救援船立即前往D 点营救，求该救援船到达D 点需要的时间．

解：（1）由题可知，AB ＝25√6，∠DBA ＝90°﹣75°＝15°，∠DAB ＝90°﹣45°＝45°，

所以∠ADB ＝180°﹣45°﹣15°＝120°，

在△ABD 中，由正弦定理可得

BD sin∠DAB =AB sin∠ADB ， 即BD sin45°=25√6sin120°

， 所以BD =25√6sin45°sin120°=25√6×√22√32

=50海里； （2）在△BCD 中，∠CBD ＝180°﹣75°﹣45°＝60°，BC ＝80，BD ＝50，

由余弦定理可得，

CD 2＝BC 2+BD 2﹣2BC •BD cos ∠CBD ＝00+2500﹣2×80×50×

12=4900， 所以CD ＝70海里，

所以所需时间为70

35=2小时，

所以B 点到D 点的距离BD ＝50海里，救援船到达D 点需要的时间为2小时．

19．（12分）青岛二中高一年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中b ＝3a ．

（1）估计测试成绩的上四分位数和平均分；

（2）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在[80，100]内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在[80，90）内的概率．

解：（1）由频率分布直方图可知（a +0.015+0.035+b +a ）×10＝1，可得b +2a ＝0.05，

由题可得{b +2a =0.05b =3a

⇒{a =0.01b =0.03， 前三组的频率之和为0.1+0.15+0.35＝0.6＜0.75，前四组的频率之和为0.6+0.3＝0.9＞0.75，

则75%分位数m ∈[80，90），且m ＝80+0.75−0.60.9−0.6=85，

平均数为：55×0.1+65×0.15+75×0.35+85×0.3+95×0.1＝76.5；

（2）成绩在[80，90）和[90，100]内的人数之比为3：1，

故抽取的4人中成绩在[80，90）内的有3人，设为a ，b ，c ，成绩在[90，100]内的有1人，设为D ， 再从这4人中选2人，这2人的所有可能情况为（a ，b ），（a ，c ），（a ，D ），（b ，c ），（b ，D ），（c ，D ），共6种，

这2人成绩均在[80，90）内的情况有（a ，b ），（a ，c ），（b ，c ），共3种，

故这2人成绩都在[80，90）内的概率为P =36=12． 20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，P A ⊥CD ，AD ＝1，CD ＝4．

（1）证明：AD ⊥平面PCD ；

（2）若PD ＝3，求直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值．

解：（1）∵PD ⊥平面ABCD ，AD 、DC ⊂平面ABCD ，

∴PD ⊥AD ，PD ⊥DC ．

又P A ⊥CD ，P A 、PD ⊂平面P AD ，P A ∩PD ＝P ，

∴CD ⊥平面P AD ．

而AD ⊂平面P AD ，

∴CD ⊥AD ．

而DC 、PD ⊂平面PCD ，且DC ∩PD ＝D ，

∴AD ⊥平面PCD ．

（2）由（1）知PD 、DA 、DC 两两垂直，如图所示以D 为中心建立空间直角坐标系，

则A （1，0，0）、B （1，4，0）、C （0，4，0），P （0，0，3），PA →=(1，0，−3)、PB →

=(1，4，−3)、PC →=(0，4，−3)，

设面PBC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则有{PB →⋅n →=0PC →⋅n →=0，即{x +4y −3z =04y −3z =0， 令y ＝3，则z ＝4，x ＝0，即n →=(0，3，4)

设直线P A 与平面PBC 所成角为θ，则sinθ=|cos〈n →，PA →〉|=|n →⋅PA →

|n →|⋅|PA →||=12510

=6√1025．

21．（12分）甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为23，乙每轮猜对的概率为3

4．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．

（1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；

（2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率．

解：（1）因为甲每轮猜对的概率为2

3， 所以甲两轮至少猜对一个数学名词的概率P ＝1﹣（1−23）2=；

（2）“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词，包括两轮比赛中甲猜对2个，乙猜对一个，和甲猜对1个，乙猜对2个，

所以所求概率为P =(23)2×2×34×(1−34)+2×23×(1−23)×(34)2=5

12．

22．（12分）已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是梯形，P A ⊥平面ABCD ，BC ∥AD ，AB =√2，CD ＝1，AD ＝2BC ＝2，P A ＝1．

（2）求平面PBA于平面PBC的夹角的大小．

解：取AD的中点F，连接CF，

∵AB=√2，CD＝1，AD＝2BC＝2，

∴AF＝FD＝1，

∵BC∥AD，∴四边形ABCF是平行四边形，

则CF＝AB=√2，

则DF2+CD2＝1+1＝2＝CF2，

即△CDF是直角三角形，

∴CD⊥AD，

过A作直线AE∥CD，交CB的延长线于E，

则AE⊥AD，

连接PE，

∵P A⊥平面ABCD，P A⊂平面P AE，

∴平面P AE⊥平面ABCD，

过A作AM⊥PE与M，

则AM⊥平面PCE，即AM是A到平面PBC的距离，则Rt△P AE中，P A＝1，AE＝CD＝1，则PE=√2，

则PE•AM＝P A•AE，得√2AM＝1，得AM=√2

2，即A到平面PBC的距离是

√2

2

．

建立以A为坐标原点的空间直角坐标系如图：

则P （0，0，1），A （0，0，0），B （1，1，0），C （1，2，0），

则AP →=（0，0，1），AB →=（1，1，0），BC →=（0，1，0），PB →

=（1，1，﹣1）， 设平面P AB 的法向量为m →=（x ，y ，z ），平面PBC 的法向量为n →=（a ，b ，c ），

由{m →⋅AP →=0m →⋅AB →=0

，即{z =0x +y =0，设x ＝1，则y ＝﹣1，即m →=（1，﹣1，0）， 由{n →⋅BC →=0n →⋅PB →=0，即{b =0a +b −c =0，即{b =0a =c ，设a ＝1，则c ＝1，即n →=（1，0，1）， 则cos ＜n →，m →＞=m →⋅n →

|m →||n →|=12×2=12， 则＜n →，m →

＞=60°，

∴平面PBA 于平面PBC 的夹角是60°．