八年级数学竞赛讲座：实数的概念及性质

数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的．

从有理数到无理数，经历过漫长曲折的过程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后，数域就由有理数域扩充到实数域，这样，实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系．

由于引入开方运算，完善了代数的运算．平方根、立方根的概念和性质，是学习二次根式、一元二次方程等知识的基础．平方根、立方根是最简单的方根，建立概念的方法，以及它们的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础．

    有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质：

1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数的形式，这里、是互质的整数，且．

2．有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数．

例题求解 

【例1】若a、b满足3=7，则S＝的取值范围是        ．

   (全国初中数赛试题)

思路点拨  运用、的非负性，建立关于S的不等式组．

   注： 古希腊的毕达哥拉斯学派认为，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比．但是该学派的成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示，这严重地冲击了当时希腊人的传统见解，这一事件在数学史上称为第一次数学危机．希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受，相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入海中处死． 

【例2】 设是一个无理数，且a、b满足ab－a－b+1=0，则b是一个(    ) 

  A．小于0的有理数    B．大于0的有理数  C．小于0的无理数  D．大于0的无理数

    (武汉市选拔赛试题)

思路点拨  对等式进行恰当的变形，建立a或b的关系式．

【例3】已知a 、b是有理数，且，求a、b的值．

思路点拔  把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a、b的方程组．

【例4】(1) 已知a、b为有理数，x，y分别表示的整数部分和小数部分，且满足axy+by2＝1，求a+b的值． (南昌市竞赛题)

(2)设x为一实数，表示不大于x的最大整数，求满足=x+1的整数x的值．(江苏省竞赛题)

思路点拨  (1)运用估算的方法，先确定x，y的值，再代入xy+by2＝1中求出a、b的值；(2)运用的性质，简化方程．

注： 设x为一实数，则表示不大于x的最大整数，]又叫做实数x的整数部分，有以下基本性质：

 (1)x－1<≤x  (2)若y< x，则≤ (3)若x为实数，a为整数，则= + a．

【例5】 已知在等式中，a、b、c、d都是有理数，x是无理数，解答：

(1)当a、b、c、d满足什么条件时，s是有理数；

(2) 当a、b、c、d满足什么条件时，s是无理数．

    ( “希望杯”邀请赛试题)

   思路点拨  (1)把s用只含a、b、c、d的代数式表示；(2)从以下基本性质思考：

设a 是有理数，r是无理数，那么①a+r是无理数；②若a ≠0，则a r也是无理数；③

r的倒数也是无理数，解本例的关键之一还需运用分式的性质，对a、b、c、d取值进行详细讨论．

注：要证一个数是有理数，常证这个数能表示威几十有理数的和，差，积、商的形式；要证一个数是无理数，常用反证法，即假设这个数是有理数，设法推出矛盾．

学力训练

1．已知x、y是实数， ，若，则a=       ． 

    (2002年个数的平方根是和，那么这个数是       ．

3．方程的解是       ． 

4．请你观察思考下列计算过程：∵112＝121，∴；同样∵1112=12321，∴；…由此猜想       ．

    (济南市中考题)

5．如图，数轴上表示1、的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是(    )

A．  B．  C．  D．

    (江西省中考题)

6．已知x是实数， 则的值是(    )

  A．   B．  C．  D．无法确定的

       ( “希望杯”邀请赛试题)

7．代数式的最小值是(    )

  A．0      B．   C．1    D．不存在的

    ( “希望杯”邀请赛试题)

8．若实数a、b满足，求2b+a－1的值．

(山西省中考题)

9．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．

 ，；，；，；…

  (1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；

  (2)推算出OA10的长；

  (3)求出Sl2+S22+S32+…+S210的值．    (烟台市中考题)

10．已知实数 a、b、c满足，则a(b+c)=      ．

11．设x、y都是有理数，且满足方程，那么x－y的值是    ．

    ( “希望杯’邀请赛试题)

12．设a是一个无理数，且a、b满足ab+a－b＝1，则b=     ．

    (四川省竞赛题)

13．已知正数a、b有下列命题：

    ①若a=1，b＝1，则；  ②若，则；

    ③若a＝2，b=3，则；  ④若a=1，b=5，则．

    根据以上几个命题所提供的信息，请猜想，若a=6，b=7，则      ．

    (黄冈市竞赛题)

14．已知：，那么代数式的值为(    )

A．     B．  C．   D．

    (重庆市竞赛题)

15．设表示最接近x的整数(x≠n+0.5，n为整数)，则+++…+的值为(    ) 

   A．5151     B．5150    C．5050    D．5049

( “五羊杯”邀请赛试题)  

16．设a  A．     B．     C．    D．3

    (全国初中数学竞赛题)

17．若a、b、c为两两不等的有理数，求证：为有理数．

18．某人用一架不等臂天平称一铁块a的质量，当把铁块放在天平左盘中时，称得它的质量为300克，当把铁块放在天平的右盘中时，称得它的质量为900克，求这一铁块的实际质量．

    (安徽省中考题)．

19．阅读下面材料，并解答下列问题： 

    在形如ab=N的式于中，我们已经研究过两种情况：

    ①已知a和b，求N，这是乘方运算，②已知b和N，求a，这是开方运算．

    现在我们研究第三种情况；已知a和N，求b，我们把这种运算叫做对数运算．

    定义：如果ab=N (a>0，a≠1，N>0)，则b叫做以a为底的N的对数，记作b=logaN．

  例如：因为23=8，所以log28=3；因为2-3=，所以log2=－3．

  (1)根据定义计算:

  ①log3 81=    ；②log33=     ；③log3l=      ；④如果logx 16=4，那么x=     ．

  (2)设ax=M，ay＝N，则logaM=x；logaN＝y(a>0，a≠1，N>0，M，N均为正数)．

  用logAM，logAN的代数式分别表示logaMN及loga，并说明理由．

    (泰州市中考题)

20．设，a、b、c、d都是有理数，x是无理数．求证：

    (1)当bc=ad时，y是有理数；

(2)当bc≠ad时，y是无理数．

  设△ABC的三边分别是a、b、c，且，试求AABC的形状．