等比数列教案

一、教学目标

1、知识与技能

（1）掌握等比数列的定义；

（2）掌握等比数列的通项公式及其推导；

（3）会灵活运用等比数列解题.

2、过程与方法

（1）在学习知识的过程中，结合例题与练习，进一步熟练理解及掌握等比数列的定义；

（2）通过探索等比数列的通项公式及其推导过程与应用，学会观察、猜想、分析、归纳、证明等能力，并能在具体的问题情境中，发现并灵活运用数列的等比关系；

（3）通过体会等比数列与等差数列等数学知识之间的联系，学会运用类比、函数方程等思想方法.

3、情感态度与价值观

（1）联系生活实例，充分感受等比数列是反映现实生活的模型及其应用的广泛性，体会等比数列是来源于生活实践，并应用于生活实践的，从而提高学习兴趣；

（2）在等比数列的探索和证明过程中，体会由特殊到一般的认识事物的规律，养成既善于大胆猜想又严谨求实的科学的态度.

二、教学重点与难点

1、教学重点

理解等比数列的定义，掌握等比数列的通项公式.

2、教学难点

理解等比数列通项公式的推导，会灵活应用定义及通项公式解决实际问题.

三、教学设计

1、情境设计

用必修五第二章第四节的四个具体实例，设置问题情境，激发学生学习动机，引导学生发现这些数列的共同特点，从而引入等比数列的定义.

2、教学内容的处理

（1）给出几组数列，让学生判断它们是否为等比数列，并根据定义让学生理解等比数列的每一项及公比均不为零的特性，加深与强化对等比数列定义的理解与掌握.

  （2）对于等比数列通项公式的推导可由等差数列通项公式类比得出，加深学生对不完全归纳法和叠乘法的理解与认识.

3、教学方法

通过个人思考与小组合作合作交流相结合，采取启发式、合作式、探究式及讲练结合的课堂教学方法.

四、教学过程

（一）创设问题情境（预计2分钟）

必修五第二章第四节的四个例子：

细胞模型、庄子的“一尺之锤”、计算机病毒与银行利息问题.

教学互动：教师启发引导，通过学生的积极思考，发现问题，之后教师进行分析.

设计意图：培养从实际问题中抽象出数列模型的能力及运用数学知识解决问题的能力.

（二）新课引入（预计3分钟）

1、将上述四个问题的结果写成数列的形式：

问题1：①

问题2：②

问题3：③

问题4： .

2、观察：以上①、②、③、四个数列有什么共同特点？

发现：① 

②

 ③

3、共同特点：从第二项起，数列的每一项与它的前一项的比都等于同一个常数.

教学互动：教师引导学生观察这四个数列，让学生发现这四个数列的共同特点.

设计意图：由实际问题迁移到数学问题，并通过观察分析，由共同特点引入等比数列定义.

（三）形成概念（预计10分钟）

1、等比数列定义：

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示.

2、提问：如何用数学语言描述等比数列定义？

数学语言描述： 

3、思考题（引出等比数列定义的限定条件）

如果，那么数列是否为等比数列？

注意：

（1）等比数列定义的限定条件： 

（2）由定义可推出，但不一定能推出为等比数列（要考虑是否等于）.

4、基本练习（PPT展示）

判断下列数列是否为等比数列，若是，请给出它们的公比；若不是，请说明原因. 

①

②

③

④

答案：①②③是等比数列，其公比分别为（①②③④是无穷数列，是有穷数列；①④是递增数列，是递减数列，②是摆动数列，③是非零常数列）.

教学互动：教师提问，由学生回答.

注意：要求给出公比是为了防止学生片面理解公比只能为正数.

（四）循序渐进（预计12分钟）

. 等比数列通项公式

1、已知等比数列的首项和公比，怎样写出它的通项公式？

（1）回忆等差数列通项公式和类比方法：

等差数列通项公式   ；

类比方法     和 → 积 → 乘方，差→ 商→ 开方（运算升级）.

（2）猜想等比数列的通项公式：.

2、推导与证明：

（1）不完全归纳法

……

观察发现，当时，也可写成上述形式，即所以，对于第一项还应补充说明.

注：此法存在不严密性.

（2）叠乘法

          n-1个式子     相乘

考虑n=1时，      上式也成立.

（3）思考拓展题：除了以上两种方法，是否还有其它的推导证明方法？

. 通项公式的推广（一般形式）

1、通项公式的推广

问题1：等比数列通项公式是否有更一般的形式？如果首项未知，如何求

类比：等差数列通项公式的推广：，

猜想：等比数列通项公式的推广： 

2、公式推广的证明

问题2：怎么证明？

留给学生课后自己完成（可提示学生，运用通项公式及方程思想来进行证明即可得出）.

答案：由通项公式得，将两式相除得

3、通项公式及其推广的常见变形

（变形可直接运用）.

. 通项公式的图象

问题3：如何根据以下两个等比数列的通项公式画出图象：

，，你能观察出它们的图象特征吗，请给出说明.

（1）先给学生充分的时间，让学生自己在下面动手画图象，之后教师借助于多媒体，利用多媒体直观、形象的特点，用几何画板作出以上两个数列的图象.）

（2）再让学生观察图象，进而发现通项公式与函数的关系，即

结论：等比数列的图象是其对应函数的图象上的孤立点.

注：等比数列是一类特殊的函数，是建立在定义域为正整数集上的函数.

. 等比中项

问题4：你能否通过类比等差中项猜想出等比中项？

1、等比中项定义：

如果在与中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做与的等比中项.

2、数学语言描述：

思考：此时与的符号有什么特点？

（五）例题讲解（预计10分钟）

1、探索解题的基本思想与方法步骤

例1若一个等比数列的第项和第项分别是和，求它的第项和第项.

（方法一）分析:要求第项和第项，必先求公比,可利用方程思想进行求解.

即  两式相除，即得代入等式，可求出（，）

（方法二）分析：要求公比,可直接运用变形公式来解题， 

例2  在等比数列中, 

解:（1）由通项公式的推广公式可得， 

   （2）由等比中项定义，得

所以

2、归纳解题的思想方法：

（1）运用方程知三求一的思想（已知方程四个量中的任三个，可求出第四个量）.

（2）先化简变形，或直接运用变形公式，代值计算.

（3）若已知而未知，则可以直接运用通项公式的推广公式解题.

（4）若已知等比数列的第项和第项，要求第项，可以由等比中项立即得出.

（六）练习巩固（预计5分钟）

1、 已知一个等比数列的第项是，公比是，求它的第项.

（考查内容：等比数列的通项公式，即直接运用通项公式来解题即可求出.）

2、 已知一个等比数列的第项是，第项是，求它的第项与第项.

（考查内容：等比数列通项公式，通项公式的推广，等比中项.）

需要强调的是，本题采用等比中项解题是最迅速最简便的方法.

答案：1、2、

（七）课堂小结（预计3分钟）

师生一起回顾本节课所学内容，并总结如下：

1.本节课研究了等比数列的定义，得到了通项公式及其推广（重点内容）；

2.注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比（思想方法）；

3.用函数观点与方程思想认识通项公式，并加以应用（思想方法）.

之后结合以下表格，以PPT展示给学生看，让学生对表格进行填写.

注：表格黑色部分原本为空，是在学生完成后所给出的答案.

必做题：习题2.4 A组第1,7,8题及B组第1题.

补充题：已知在等比数列中，，，要求用本节课所学知识求出的值.

思考题：1.对于上述补充题，有没有更加简便的计算方法？

        2.如果、是项数相同的等比数列，那么是等比数列吗？

六、板书设计