2020年初三数学上期末试题(及答案)

一、选择题

1．毕业前期，某班的全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张.设某班共有名学生，那么所列方程为(  )

A． ．

C． ．

2．已知y关于x的函数表达式是，下列结论不正确的是（    ）

A．若，函数的最大值是5

B．若，当时，y随x的增大而增大

C．无论a为何值时，函数图象一定经过点

D．无论a为何值时，函数图象与x轴都有两个交点

3．现有一块长方形绿地，它的短边长为20 m，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加300 m2，设扩大后的正方形绿地边长为xm，下面所列方程正确的是(    )

A．x(x-20)=300 ．x(x+20)=300 ．60(x+20)=300 ．60(x-20)=300

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积是(    )

A． ． ．- ．

5．将抛物线y=2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（    ）

A．y=2（x﹣3）2﹣5 ．y=2（x+3）2+5

C．y=2（x﹣3）2+5 ．y=2（x+3）2﹣5

6．抛物线的对称轴为

A． ． ． ．

7．若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为(　　)

A．k＞﹣1 ．k≥﹣1 ．k＞﹣1且k≠0 ．k≥﹣1且k≠0

8．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为(     )

A．x(x－1)＝2070 ．x(x＋1)＝2070

C．2x(x＋1)＝2070 ．＝2070

9．“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（ ）

A．确定事件 ．必然事件 ．不可能事件 ．不确定事件

10．以为根的一元二次方程可能是（     ）

A． ． ． ．

11．二次函数y=3(x–2)2–5与y轴交点坐标为(   )

A．(0，2) ．(0，–5) ．(0，7) ．(0，3)

12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为(  )

A．10 ．8 ．5 ．3

二、填空题

13．关于的的一个根是，则它的另一个根是___．

14．抛物线y=2(x−3)2+4的顶点坐标是__________________．

15．设、是方程的两个实数根，则的值为_____．

16．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加______m.

17．在一个不透明的口袋中装有5个红球和3个白球，他们除颜色外其他完全相同，任意摸出一个球是白球的概率为________．

18．一元二次方程有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c是整数，则c=_____．（只需填一个）．

19．某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁、三保障”的住房保障工作，去年已投入5亿元资金，并计划投入资金逐年增长，明年将投入7.2亿元资金用于保障性住房建设，则这两年投入资金的年平均增长率为________.

20．某校组织“优质课大赛”活动，经过评比有两名男教师和两名女教师获得一等奖，学校将从这四名教师中随机挑选两位教师参加市教育局组织的决赛，挑选的两位教师恰好是一男一女的概率为____．

三、解答题

21．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．

（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；

（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？

（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？

22．有四张完全相同的卡片，正面分别写有四个角度现将这四张卡片洗匀后，背面朝上；

（1）若从中任意抽取一张，求抽到锐角卡片的概率；

（2）若从中任意抽取两张，求抽到两张角度恰好互余卡片的概率；

23．如图，BC是半圆O的直径，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E．

（1）求证：△DCE∽△DBC；

（2）若CE=，CD=2，求直径BC的长．

24．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣(n﹣1)＝0有两个不相等的实数根．

(1)求n的取值范围；

(2)若n为取值范围内的最小整数，求此方程的根．

25．关于的一元二次方程有实数根．

（1）求的取值范围；

（2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．D

解析：D

【解析】

【分析】

根据题意得：每人要赠送（x-1）张贺卡，有x个人，然后根据题意可列出方程：（x-1）x=1980．

【详解】

解：根据题意得：每人要赠送（x-1）张贺卡，有x个人，

∴全班共送：（x-1）x=1980，

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送(x-1)张贺卡，有x个人是解决问题的关键．

2．D

解析：D

【解析】

【分析】

将a的值代入函数表达式，根据二次函数的图象与性质可判断A、B，将x=1代入函数表达式可判断C，当a=0时，y=-4x是一次函数，与x轴只有一个交点，可判断D错误.

【详解】

当时，，

∴当时，函数取得最大值5，故A正确；

当时，，

∴函数图象开口向上，对称轴为，

∴当时，y随x的增大而增大，故B正确；

当x=1时，，

∴无论a为何值，函数图象一定经过(1,-4)，故C正确；

当a=0时，y=-4x，此时函数为一次函数，与x轴只有一个交点，故D错误；

故选D.

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质，以及一次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

3．A

解析：A

【解析】

【分析】

设扩大后的正方形绿地边长为xm，根据“扩大后的绿地面积比原来增加300m2”建立方程即可．

【详解】

设扩大后的正方形绿地边长为xm，

根据题意得x（x-20）=300，

故选A．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系．

4．A

解析：A

【解析】

【分析】

先根据勾股定理得到AB=，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD-S△ABC=S扇形ABD．

【详解】

∵∠ACB=90°，AC=BC=1，

∴AB=，

∴S扇形ABD=，

又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，

∴Rt△ADE≌Rt△ACB，

∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD−S△ABC=S扇形ABD=，

故选A.

【点睛】

本题考查扇形面积计算，熟记扇形面积公式，采用作差法计算面积是解题的关键.

5．A

解析：A

【解析】

把向右平移3个单位长度变为：，再向下平移5个单位长度变为：．故选A．

6．B

解析：B

【解析】

【分析】

根据顶点式的坐标特点，直接写出对称轴即可．

【详解】

解∵：抛物线y=-x2+2是顶点式，

∴对称轴是直线x=0，即为y轴．

故选：B．

【点睛】

此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h．

7．C

解析：C

【解析】

【分析】

根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围．

【详解】

∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0，

∴k＞﹣1，

∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数，

∴k≠0，

则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0，

故选C.

【点睛】

本题考查了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断，熟练掌握抛物线与x轴交点的个数与b2-4ac的关系是解题的关键.注意二次项系数不等于0.

8．A

解析：A

【解析】

【分析】

【详解】

解：根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，

∴全班共送：（x﹣1）x=2070，

故选A．

【点睛】

本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．

9．D

解析：D

【解析】

试题分析：“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机事件，属于不确定事件，

故选D．

考点：随机事件．

10．A

解析：A

【解析】

【分析】

根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．

【详解】

设x1，x2是一元二次方程的两个根，

∵

∴x1+x2=3，x1∙x2=-c，

∴该一元二次方程为：，即

故选A.

【点睛】

此题主要考查了根据一元二次方程的根与系数的关系列一元二次方程．

11．C

解析：C

【解析】

【分析】

由题意使x=0,求出相应的y的值即可求解.

【详解】

∵y=3（x﹣2）2﹣5, ∴当x=0时，y=7, ∴二次函数y=3（x﹣2）2﹣5与y轴交点坐标为(0,7).

故选C.

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是二次函数图象上的点满足其解析式.

12．A

解析：A

【解析】

【分析】

连接OC，先根据垂径定理求出PC的长，再根据勾股定理即可得出OC的长．

【详解】

连接OC，

∵CD⊥AB，CD=8，

∴PC=CD=×8=4，

在Rt△OCP中，设OC=x，则OA=x，

∵PC=4，OP=AP-OA=8-x，

∴OC2=PC2+OP2，

即x2=42+（8-x）2，

解得x=5，

∴⊙O的直径为10．

故选A．

【点睛】

本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

二、填空题

13．6【解析】【分析】【详解】解：设方程另一根为x1把x＝－2代入方程得（－2）2＋2a－3a＝0解得a＝4∴原方程化为x2－4x－12＝0∵x1＋（－2）＝4∴x1＝6故答案为6点睛：本题考查了一元二

解析：6

【解析】

【分析】

【详解】

解：设方程另一根为x1，

把x＝－2代入方程得（－2）2＋2a－3a＝0，

解得a＝4，

∴原方程化为x2－4x－12＝0，

∵x1＋（－2）＝4，

∴x1＝6．

故答案为6．

点睛：本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1＋ x2＝，x1·x2＝．也考查了一元二次方程的解．

14．(34)【解析】【分析】根据二次函数配方的图像与性质即可以求出答案【详解】在二次函数的配方形式下x-3是抛物线的对称轴取x=3则y=4因此顶点坐标为（34）【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质

解析：(3,4)

【解析】

【分析】

根据二次函数配方的图像与性质，即可以求出答案.

【详解】

在二次函数的配方形式下，x-3是抛物线的对称轴，取x=3,则y=4，因此，顶点坐标为（3，4）.

【点睛】

本题主要考查二次函数的图像与性质.

15．-2017【解析】【分析】根据根与系数的关系可得出将其代入中即可得出结论【详解】∵是方程的两个实数根∴∴故答案为：-2017【点睛】本题考查了根与系数的关系牢记两根之和等于两根之积等于是解题的关键

解析：-2017

【解析】

【分析】

根据根与系数的关系可得出，，将其代入中即可得出结论．

【详解】

∵、是方程的两个实数根，

∴，，

∴．

故答案为：-2017．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．

16．4-4【解析】【分析】根据已知建立平面直角坐标系进而求出二次函数解析式再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度即可得出答案【详解】建立平面直角坐标系设横轴x通过AB纵轴y通过AB中点O且通过C点则通过画

解析：4-4

【解析】

【分析】

根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．

【详解】

建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，

抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为 

通过以上条件可设顶点式，其中可通过代入A点坐标 

代入到抛物线解析式得出：所以抛物线解析式为 

当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：

当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，

可以通过把代入抛物线解析式得出：

 解得：  

所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了 

故答案是： 

【点睛】

考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．

17．【解析】【分析】【详解】解：∵在一个不透明的口袋中装有5个红球和3个白球∴任意从口袋中摸出一个球来P（摸到白球）==

解析： 

【解析】

【分析】

【详解】

解：∵在一个不透明的口袋中装有5个红球和3个白球，

∴任意从口袋中摸出一个球来，P（摸到白球）= =.

18．123456中的任何一个数【解析】【分析】【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根∴△=解得∵c是整数∴c=123456故答案为123456中的任何一个数【点睛】本题考查根的判别式；根与系数的

解析：1，2，3，4，5，6中的任何一个数．

【解析】

【分析】

【详解】

解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴△=，解得，

∵，，c是整数，

∴c=1，2，3，4，5，6．

故答案为1，2，3，4，5，6中的任何一个数．

【点睛】

本题考查根的判别式；根与系数的关系；开放型．

19．20【解析】【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）再根据题意列出方程5(1+x)2＝72即可解答【详解】设这两年中投入资金的平均年增长率是x由题意得：5(1+x)2＝72解得：x1＝0

解析：20%.

【解析】

【分析】

一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），再根据题意列出方程5(1+x)2＝7.2，即可解答.

【详解】

设这两年中投入资金的平均年增长率是x，由题意得：

5(1+x)2＝7.2，

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2(不合题意舍去).

答：这两年中投入资金的平均年增长率约是20%.

故答案是：20%.

【点睛】

此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程.

20．【解析】【分析】根据列表法求出所有可能及可得出挑选的两位教师恰好是一男一女的结果数而利用概率公式计算可得【详解】解：所有可能的结果如下表：男1男2女1女2男1（男1男2）（男1女1

解析：

【解析】

【分析】

根据列表法求出所有可能及可得出挑选的两位教师恰好是一男一女的结果数而利用概率公式计算可得．

【详解】

解：所有可能的结果如下表：

所以其概率为挑选的两位教师恰好是一男一女的概率为=，

故答案为．

【点睛】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

三、解答题

21．（1）y=﹣20x+1600；

（2）当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；

（3）超市每天至少销售粽子440盒．

【解析】

试题分析：（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；

（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；

（3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解．

试题解析：（1）由题意得，==；

（2）P===，∵x≥45，a=﹣20＜0，∴当x=60时，P最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；

（3）由题意，得=6000，解得，，∵抛物线P=的开口向下，∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润，又∵x≤58，∴50≤x≤58，∵在中，＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x=58时，y最小值=﹣20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒．

考点：二次函数的应用．

22．（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）利用四张卡片有三张锐角卡片即可得出答案；

（2）利用列表法得出多少可能结果，找到两张角度恰好互余卡片的可能结果即可得出答案.

【详解】

解：（1）一共有四张卡片，其中写有锐角的卡片有三张，

因此（抽到写有锐角卡片）

（2）列表如下：

所以（抽到两张角度恰好互余卡片）

【点睛】

本题考查了概率的求法，根据题意得出总数与可能的结果数是解题的关键.

23．（1）见解析；（2）2

【解析】

【分析】

（1）由等弧所对的圆周角相等可得∠ACD=∠DBC，且∠BDC=∠EDC，可证△DCE∽△DBC；

（2）由勾股定理可求DE=1，由相似三角形的性质可求BC的长．

【详解】

（1）∵D是弧AC的中点，

∴，

∴∠ACD=∠DBC，且∠BDC=∠EDC，

∴△DCE∽△DBC；

（2）∵BC是直径，

∴∠BDC=90°，

∴DE1．

∵△DCE∽△DBC，

∴，

∴，

∴BC=2．

【点睛】

本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明△DCE∽△DBC是解答本题的关键．

24．(1)n＞0；(2)x1＝0，x2＝2．

【解析】

【分析】

(1)根据方程有两个不相等的实数根可知 ，即可求出 的取值范围；

（2）根据题意得出 的值，将其代入方程，即可求得答案.

【详解】

(1)根据题意知， 

解之得：；

(2)∵ 且为取值范围内的最小整数，

∴，

则方程为，

即，

解得．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程根的判别式，明确和掌握一元二次方程 的根与的关系（①当 时，方程有两个不相等的实数根；②当 时方程有两个相等的实数根；③当 时，方程无实数根）是解题关键.

25．（1）；（2）的值为．

【解析】

【分析】

（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可；

（2）利用（1）中的结论得到的最大整数为2，解方程解得，把和分别代入一元二次方程求出对应的，同时满足．

【详解】

解：（1）根据题意得，

解得；

（2）的最大整数为2，

方程变形为，解得，

∵一元二次方程与方程有一个相同的根，

∴当时，，解得；

当时，，解得，

而，

∴的值为．

【点睛】

本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．