(完整版)高中数学参数方程大题(带答案)

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f

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r

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m 参数方程极坐标系

解答题

1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）

（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．

（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．

专题：坐标系和参数方程．

分析：（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；

（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以

sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．

解答：

解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，

故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．

对于直线l：，

由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；

（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．

P到直线l的距离为．

则，其中α为锐角．

当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．

当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．

点评：本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．　

2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：

，曲线C的参数方程为：（α为参数）．

（I）写出直线l的直角坐标方程；

（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．

考点：参数方程化成普通方程．

专题：坐标系和参数方程．

分析：（1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；

（2）首先，化简曲线C的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解．

解答：

解：（1）∵直线l的极坐标方程为：，

t

i m e a

n d

A

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i r b

e i n

g a

r e g o o d f o r

s o m ∴，

∴x ﹣y+1=0．

（2）根据曲线C 的参数方程为：

（α为参数）．

得

（x ﹣2）2+y 2=4，

它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，圆心到直线的距离为：

d=，∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值

=．

点评：本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题．

3．已知曲线C 1：

（t 为参数），C 2：

（θ为参数）．

（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若C 1上的点P 对应的参数为t=

，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：

（t 为参数）距离

的最小值．考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程．专题：计算题；压轴题；转化思想．

分析：（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C 1表示一个圆；曲线C 2表示

一个椭圆；

（2）把t 的值代入曲线C 1的参数方程得点P 的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C 2的参数方程设出Q 的坐标，利用中点坐标公式表示出M 的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M 到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值．解答：

解：（1）把曲线C 1：

（t 为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y ﹣3）2=1，

所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4，3），半径1的圆；

把C 2：（θ为参数）化为普通方程得：

+

=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原

点，焦点在x 轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；

（2）把t=代入到曲线C 1的参数方程得：P （﹣4，4），

把直线C 3：

（t 为参数）化为普通方程得：x ﹣2y ﹣7=0，

设Q 的坐标为Q （8cos θ，3sin θ），故M （﹣2+4cos θ，2+sin θ）

A

l l t

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i n g

s i

n t

h e i r b

e i n g a

r e

g o o d f o r

s o m 所以M 到直线的距离d=

=，（其中sin α=，cos α=）

从而当cos θ=，sin θ=﹣时，d 取得最小值

．

点评：此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题，灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式

化简求值，是一道综合题．

4．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C 的极坐标方程为

，直线l 的参数方程为（t 为参数），直线l 和圆C 交于A ，B 两点，P 是圆

C 上不同于A ，B 的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；

（Ⅱ）求△PAB 面积的最大值．

考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：

（Ⅰ）由圆C 的极坐标方程为

，化为ρ2=

，

把

代入即可得出．

（II ）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d ，再利用弦长公式

可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．

解答：

解：（Ⅰ）由圆C 的极坐标方程为

，化为ρ2=

，

把

代入可得：圆C 的普通方程为x 2+y 2﹣2x+2y=0，即（x ﹣1）2+（y+1）2=2．

∴圆心坐标为（1，﹣1），∴圆心极坐标为

；

（Ⅱ）由直线l 的参数方程

（t 为参数），把t=x 代入y=﹣1+2

t 可得直线l 的普通方程：

，

∴圆心到直线l 的距离

，

∴|AB|=2

=

=

，

点P 直线AB 距离的最大值为

，

．

点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、

三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

n

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A

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e

i

n

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g

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o

d

f

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r

s

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m 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．

考点：椭圆的参数方程；椭圆的应用．

专题：计算题；压轴题．

分析：

由题意椭圆的参数方程为为参数），直线的极坐标方程为．将椭圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．

解答：

解：将化为普通方程为（4分）

点到直线的距离

（6分）

所以椭圆上点到直线距离的最大值为，最小值为．（10分）

点评：此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．

6．在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．

（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；

（2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值．

考点：参数方程化成普通方程．

专题：计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．

分析：（1）将曲线C化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理，即可求弦长．

（2）运用圆的参数方程，设出M，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值．

解答：

解：（1）直线I的参数方程为（t为参数），消去t，

可得，3x+4y+1=0；

由于ρ=cos（θ+）=（），

即有ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，则有x2+y2﹣x+y=0，其圆心为（，﹣），半径为r=，

圆心到直线的距离d==，

故弦长为2=2=；

a

i n t

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i r b

e i n

g a

r e g o

o d f o r

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m （2）可设圆的参数方程为：（θ为参数），

则设M （，

），则x+y=

=sin （

），

由于θ∈R ，则x+y 的最大值为1．

点评：本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的

计算能力，属于中档题．

7．选修4﹣4：参数方程选讲

已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为

，曲

线C 的极坐标方程为

．

（Ⅰ）写出点P 的直角坐标及曲线C 的普通方程；（Ⅱ）若Q 为C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l ：

（t 为参数）距离的最小值．

考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．

分析：（1）利用x=ρcos θ，y=ρsin θ即可得出；

（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出，解答：

解 （1）∵P 点的极坐标为，

∴=3，

=

．

∴点P 的直角坐标把ρ2=x 2+y 2，y=ρsin θ代入可得，即

∴曲线C 的直角坐标方程为

．

（2）曲线C 的参数方程为

（θ为参数），直线l 的普通方程为x ﹣2y ﹣7=0

设

，则线段PQ 的中点

．

那么点M 到直线l 的距离

.

，

l l t

h

i n g

s i

n t

h e i r b

e i n g a r e g o o d

f o r

s o m ∴点M 到直线l 的最小距离为．

点评：本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的

单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．

8．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程（φ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐

标系．

（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的极坐标方程是ρ（sin θ+）=3，射线OM ：θ=与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点

为Q ，求线段PQ 的长．

考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：

（I ）圆C 的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x ﹣1）2+y 2=1．把x=ρcos θ，y=ρsin θ代入

化简即可得到此圆的极坐标方程．

（II ）由直线l 的极坐标方程是ρ（sin θ+

）=3，射线OM ：θ=．可得普通方程：直线l

，射线OM

．分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．

解答：

解：（I ）圆C 的参数方程

（φ为参数）．消去参数可得：（x ﹣1）2+y 2=1．

把x=ρcos θ，y=ρsin θ代入化简得：ρ=2cos θ，即为此圆的极坐标方程．（II ）如图所示，由直线l 的极坐标方程是ρ（sin θ+）=3

，射线OM ：θ=．

可得普通方程：直线l

，射线OM

．

联立，解得

，即Q

．

联立，解得

或

．

∴P

．

∴|PQ|=

=2．

l l t h i n g

s i n t h e

i r b e i n g a r e

g o

o 点评：本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础

知识与基本方法，属于中档题．

9．在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为

（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，

建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin （θ+

）=4

．

（1）求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；

（2）设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标．

考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．

分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式

x=ρcos θ、y=ρsin θ，把极坐标方程化为直角坐标方程．

（2）求得椭圆上的点

到直线x+y ﹣8=0的距离为

，可得d 的最小值，以及此时的α的值，从而求得点P

的坐标．解答：

解：（1）由曲线C 1：

，可得，两式两边平方相加得：，

即曲线C 1的普通方程为：

．由曲线C 2：

得：

，

即ρsin θ+ρcos θ=8，所以x+y ﹣8=0，即曲线C 2的直角坐标方程为：x+y ﹣8=0．

（2）由（1）知椭圆C 1与直线C 2无公共点，椭圆上的点

到直线x+y ﹣8=0的距离为

，

∴当

时，d 的最小值为

，此时点P 的坐标为

．

点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的

值域，属于基础题．

10．已知直线l 的参数方程是

（t 为参数），圆C 的极坐标方程为ρ=2cos （θ+

）．

（Ⅰ）求圆心C 的直角坐标；

（Ⅱ）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．

e a

n d A l l t h h e

i r b

e i n

g a r e g o o d f o r s 分析：（I ）先利用三角函数的和角公式展开圆C 的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用

ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，ρ2=x 2+y 2，进行代换即得圆C 的直角坐标方程，从而得到圆心C 的直角坐标．

（II ）欲求切线长的最小值，转化为求直线l 上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线l 上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可．解答：

解：（I ）∵

，∴

，

∴圆C 的直角坐标方程为

，

即

，∴圆心直角坐标为

．（5分）

（II ）∵直线l 的普通方程为，圆心C 到直线l 距离是

，

∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是

（10分）

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直

角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．

11．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的参数方程为，（t 为参数），

曲线C 1的方程为ρ（ρ﹣4sin θ）=12，定点A （6，0），点P 是曲线C 1上的动点，Q 为AP 的中点．（1）求点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程；

（2）直线l 与直线C 2交于A ，B 两点，若|AB|≥2

，求实数a 的取值范围．

考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．

分析：（1）首先，将曲线C 1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q 的轨迹C 2的

直角坐标方程；

（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围．

解答：解：（1）根据题意，得

曲线C 1的直角坐标方程为：x 2+y 2﹣4y=12，设点P （x ′，y ′），Q （x ，y ），根据中点坐标公式，得

，代入x 2+y 2﹣4y=12，

得点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程为：（x ﹣3）2+（y ﹣1）2=4，（2）直线l 的普通方程为：y=ax ，根据题意，得

，

t

i m e a n d

A

l l

r b e i n g a r e g o o d f o r

s o 解得实数a 的取值范围为：[0，]．

点评：本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等知识，考查比较综合，属于中档

题，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解．

12．在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ=4sin θ，ρcos （

）=2

．

（Ⅰ）求C 1与C 2交点的极坐标；

（Ⅱ）设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点，已知直线PQ 的参数方程为（t ∈R 为参数），求

a ，

b 的值．

考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．专题：压轴题；直线与圆．

分析：（I ）先将圆C 1，直线C 2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；

（II ）由（I ）得，P 与Q 点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线PQ 的直角坐标方程为x ﹣y+2=0，由参数方程可得y=x ﹣

+1，从而构造关于a ，b 的方程组，解得a ，b 的值．

解答：

解：（I ）圆C 1，直线C 2的直角坐标方程分别为 x 2+（y ﹣2）2=4，x+y ﹣4=0，解

得

或

，

∴C 1与C 2交点的极坐标为（4，

）．（2

，

）．

（II ）由（I ）得，P 与Q 点的坐标分别为（0，2），（1，3），故直线PQ 的直角坐标方程为x ﹣y+2=0，由参数方程可得y=x ﹣

+1，

t

i m

n d

A

l l t

h

i n g

s i n t h e

i r b

e i n g a

r e

s o 解得a=﹣1，b=2．

点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基

础题．

13．在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P （4，2）且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos θ（Ⅰ）写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）若曲线C 与直线相交于不同的两点M 、N ，求|PM|+|PN|的取值范围．

解答：

解：（I ）直线l 的参数方程为

（t 为参数）．

曲线C 的极坐标方程ρ=4cos θ可化为ρ2=4ρcos θ．

把x=ρcos θ，y=ρsin θ代入曲线C 的极坐标方程可得x 2+y 2=4x ，即（x ﹣2）2+y 2=4．（II ）把直线l 的参数方程为

（t 为参数）代入圆的方程可得：t 2+4（sin α+cos α）t+4=0．

∵曲线C 与直线相交于不同的两点M 、N ，

∴△=16（sin α+cos α）2﹣16＞0，∴sin αcos α＞0，又α∈[0，π），

∴．

又t 1+t 2=﹣4（sin α+cos α），t 1t 2=4．∴|PM|+|PN|=|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|=4|sin α+cos α|=

，

∵，∴

，

∴

．

∴|PM|+|PN|的取值范围是．

点评：本题考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆相交弦长问题，属于中档题．　

14．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为

（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐

标系，⊙C 的极坐标方程为ρ=2sin θ．（Ⅰ）写出⊙C 的直角坐标方程；

（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．

e a

n d

n g

s i

n t

h e

i r b e i n g a r e g o （II ）设P ，又C ．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次

函数的性质即可得出．

解答：解：（I ）由⊙C 的极坐标方程为ρ=2

sin θ．∴ρ2=2，化为x 2+y 2=

，

配方为

=3．

（II ）设P ，又C

．

∴|PC|=

=

≥2

，

因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P （3，0）．

点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推

理能力与计算能力，属于中档题．

15．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ=6cos θ，曲线C 2的极坐标方程为θ=（p ∈R ），曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点．

（Ⅰ）把曲线C 1，C 2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦AB 的长度．

考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．

分析：（Ⅰ）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，ρ2=x 2+y 2，进行代换即得曲线C 2及曲线

C 1的直角坐标方程．

（Ⅱ）利用直角坐标方程的形式，先求出圆心（3，0）到直线的距离，最后结合点到直线的距离公式弦AB 的长度．

解答：

解：（Ⅰ）曲线C 2：（p ∈R ）

表示直线y=x ，曲线C 1：ρ=6cos θ，即ρ2=6ρcos θ所以x 2+y 2=6x 即（x ﹣3）2+y 2=9（Ⅱ）∵圆心（3，0）到直线的距离

，

r=3所以弦长AB=

=

．

∴弦AB 的长度．

点评：本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距

等基本方法，属于基础题．

16．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin （θ+

）=

，

圆C 的参数方程为

，（θ为参数，r ＞0）

（Ⅰ）求圆心C 的极坐标；

e

a

n

d

A

l

l

t

h

i

n

g

s

i

n

t

h

e

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r

b

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o

o

d

f

o

r

s

o

专题：计算题．

分析：（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，

消去θ可得曲线C的普通方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可．

（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值，最后列出关于r的方程即可求出r值．

解答：

解：（1）由ρsin（θ+）=，得ρ（cosθ+sinθ）=1，∴直线l：x+y﹣1=0．

由得C：圆心（﹣，﹣）．

∴圆心C的极坐标（1，）．

（2）在圆C：的圆心到直线l的距离为：

∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，

∴．

r=2﹣

∴当r=2﹣时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．

点评：本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容．

17．选修4﹣4：坐标系与参数方程

在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．

（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；

（Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．

考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．

专题：计算题；压轴题．

分析：

（I）利用，以及x2+y2=ρ2，直接写出圆C1，C2的极坐标方程，求出圆C1，C2的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）；

（II）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C1与C2的公共弦的参数方程．

解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出，然后求出圆C1与C2的公共弦的参数方程．

t a d

A h i n 可知圆圆的极坐标方程为解，），

）解法一：由

，

，

的公共弦的参数方程为的公共弦的参数方程为）

代入

从而

的公共弦的参数方程为