2022届高三数学试题 模拟卷(2)(新高考地区专用)(原卷版)

数  学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．已知复数z满足，则的虚部为

A．1        B．

C．2        D．

2．已知集合，若，则实数的取值范围为

A．        B．

C．        D．

3．2021年7月，上海天文馆开馆．假设开馆后的1个月内，每天的游客人数X服从正态分布，则在此期间的某一天，该馆的游客人数不超过2210的概率为

（参考数据：若，则，

，）

A．0.99865        B．0.9973

C．0.9772        D．0.00135

4．矿山爆破时，在爆破点处炸开的矿石的运动轨迹可看作是不同的抛物线，根据地质、炸药等因素可以算出这些抛物线的范围，这个范围的边界可以看作一条抛物线，叫“安全抛物线”，如图所示．已知某次矿山爆破时的安全抛物线的焦点为，则这次爆破时，矿石落点的最远处到点的距离为

A．        B．2

C．        D．

5．某同学用一个半径为mm，圆心角为的扇形铁片卷成了一个简易的圆锥形状的容器（接缝处忽略不计），口朝上放在院子中间接雨水来测量降雨量（容器不漏），24h所收集的雨水的高度达到容器高度的一半，然后将这些雨水倒入底面半径为100mm的圆柱形量杯3中，则量杯中水面高度为

A．37.5mm        B．25mm

C．15mm        D．12.5mm

6．三棱锥中PA､PB､PC两两互相垂直，，，则其体积

A．有最大值4        B．有最大值2

C．有最小值2        D．有最小值4

7．已知，则下列选项错误的是

A．    B．

C．    D．

8．已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为

A．        B．4

C．8        D．或8

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．为了贯彻“双减”，实现德､智､体､美､劳全面发展的育人目标，某校制订了一套五育并举的量化评价标准，如图是该校甲､乙两个班在评比时的得分（各项满分10分，得分越高，成绩越好）折线图，则下列说法正确的是

A．甲班五项评比得分的极差为1.7

B．甲班五项评比得分的平均数小于乙班五项评比得分的平均数

C．甲班五项评比得分的中位数大于乙班五项评比得分的中位数

D．甲班五项评比得分的方差小于乙班五项评比得分的方差

10．已知数列中，，则下列说法正确的是

A．     B． 是等比数列

C．     D． 

11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A､的距离之比为定值且的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是

A．的方程为

B．在上存在点，使得到点的距离为5

C．在上存在点，使得

D．上的点到直线的最大距离为9

12．如图所示，在正方体中，过对角线的一个平面交棱于E，交棱于F，给出下面几个命题中真命题是

A．四边形有可能是正方形

B．平面有可能垂直于平面

C．设与DC的延长线交于M，与DA的延长线交于N，则M､N､B三点共线

D．四棱锥的体积为定值

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若的展开式中的系数是，则实数a的值是___________．

14．已知向量，满足，，，则与的夹角是___________．

15．已知双曲线：的左、右焦点分别为，．点在双曲线的渐近线上，线段的中点在轴上，且为等边三角形，则双曲线的离心率等于___________．

16．定义：如果函数在上存在，，满足，则称数，为的上的“对望数”，函数为上的“对望函数”，给出下列四个命题：

①二次函数在任意区间上都不可能是“对望函数”；

②为上的“对望函数”，则在上不单调；

③函数是上的“对望函数”；

④函数是上的“对望函数”；

其中正确命题的序号为___________（填上所有正确命题的序号）．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知数列前n项和为，且，记．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前n项和为，求．

18．（12分）

下面问题的条件①，②，③，④有多余，现请你在①，④中删去一个，并将剩下的三个作为条件解答这个问题．

已知中，是边的中点，你删去的条件是_____请写出用剩余条件解答本题的过程．

（1）求的长；

（2）的平分线交于点，求的长．

 注：如果选择删去条件①和条件④分别解答，按第一个解答计分．

19．（12分）

如图所示，在三棱锥中，，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）若点在棱上，且二面角为，求三棱锥的体积．

20．（12分）

已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的下顶点和上顶点分别为，，且，过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点．

（1）求椭圆C的标准方程；（2）当时，求△OMN的面积；

（3）求证：直线与直线的交点T恒在一条定直线上．

21．（12分）

某企业发明了一种新产品，其质量指标值为，其质量指标等级如下表：

（1）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取2件产品，求抽出的产品中至少有1件不是废品的概率；

（2）若从质量指标值的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求的件数X的分布列及数学期望；

（3）若每件产品的质量指标值m与利润y（单位：万元）的关系如下表（）：

22．（12分）

已知函数，为的导数．

（1）若为的零点，试讨论在区间的零点的个数；

（2）当时，，求实数m的取值范围．