数学建模与数学实验

      实验报告

班级 : 数学师范153

姓名 ：付爽

学号 ：**********

实验名称 : 数列极限与函数极限

               基础实验

  基础实验一  数列极限与函数极限

    第一部分  实验指导书解读

一、实验目的

从刘徽的割圆术、裴波那奇数列研究数列的收敛性并抽象出极限的定义；理解数列收敛的准则；理解函数极限与数列极限的关系。

二、实验使用软件

  Mathematic 5.0

三．实验的基本理论即方法

1割圆术

中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率。刘徽先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积；其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积。

“割之弥细，所失弥少。割之又割以至不可割，则与圆合体而无所失矣。”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想。

以表示单位圆的圆内接正多边形面积，则其极限为圆周率。用下列Mathematica程序可以从量和形两个角度考察数列{}的收敛情况：

        m=2;n=15;k=10;

For[i=2,i<=n,i++, l[i_]:=N[2*Sin[Pi/(3*2^i)],k]; (圆内接正多边形边长)

          s[i_]:=N[3*2^(i-1)*l[i]*Sqrt[1-(l[i])^2/4],k];    (圆内接正多边形面积)

          r[i_]:=Pi-s[i]; d[i_]:=s[i]-s[i-1];

          Print[i,"  ",r[i],"  ",l[i],"  ",s[i],"  ",d[i]]

          ]

        t=Table[{i,s[i]},{i,m,n}]   (数组)

  ListPlot[t]    (散点图)

2裴波那奇数列和黄金分割

  由有著名的裴波那奇数列。

如果令，由递推公式可得出

   ，；

。

用下列Mathematica程序可以从量和形两个角度考察数列{}的收敛情况：

         n=14,k=10;

         For[i=3,i<=n,i++, t1=(Sqrt[5]+1)/2; t2=(1-Sqrt[5])/2;

             f[i_]:=N[(t1^(i+1)-t2^(i+1))/Sqrt[5],k]; (定义裴波那奇数列通项)

              rn=(5^(1/2)-1)/2-f[i-1]/f[i];Rn=f[i-1]/f[i];dn=f[i-1]/f[i]-f[i-2]/f[i-1];

              Print[i,"       ",rn,"       ",Rn,"       ",dn];

          ]

         t=Table[{i,f[i-1]/f[i]},{i,3,n}]

     ListPlot[t]

3收敛与发散的数列

数列当时收敛，时发散；数列发散。

4函数极限与数列极限的关系

用Mathematica程序

  m=0;r=10^m;x0=0;

  f[x_]=x*Sin[1/x]

  Plot[f[x],{x,-r,r}]

Limit[f[x],x->x0]

观察的图象可以发现，函数在点处不连续，且函数值不存在，但在点处有极限。

    令，作函数的取值表，画散点图看其子列的趋向情况

  k=10;p=25;

  a[n_]=1/n;

  tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}]

  ListPlot[tf]

  Limit[f[a[n]],n→Infinity,Direction→1]

分别取不同的数列(要求)，重做上述过程，并将各次所得图形的分析结果比较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。

对于，类似地考察在点处的极限。

三、实验准备

    认真阅读实验目的与实验材料后要正确地解读实验，在此基础上制定实验计划（修改、补充或编写程序，提出实验思路，明确实验步骤），为上机实验做好准备。

四、实验思路提示

3.1考察数列敛散性

    改变或增大，观察更多的项（量、形），例如，分别取50，100，200，…；扩展有效数字，观察随增大数列的变化趋势，例如，分别取20，30，50；或固定50；或随增大而适当增加。对实验要思考，例如，定义中的指标与柯西准则中的指标间的差异；数列收敛方式；又例如，如何估计极限近似值的误差。

3.2考察函数极限与数列极限的关系

改变函数及极限类型，例如，考虑六种函数极限，既选取极限存在也选取极限不存在的例子；改变数列，改变参数观察更多的量，考察形的变化趋势；扩展有效数字，提高计算精度。要对实验思考，归纳数列敛散与函数敛散的关系。

  第二部分  实验计划

实验主要是从观察数列的敛散性，观察函数值的变化趋势来理解极限的概念，进一步体会实验的准则

1.割圆术 

中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率 。刘徽先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积；其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积。 

“割之弥细，所失弥少。割之又割以至不可割，则与圆合体而无所失矣。”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想。 

以nS表示单位圆的圆内接正1 2 3  n多边形面积，则其极限为圆周率 。用下列

Mathematica程序可以从量和形两个角度考察数列{nS}的收敛情况： 

        m=2;n=15;k=10; 

        For[i=2,i<=n,i++, l[i_]:=N[2*Sin[Pi/(3*2^i)],k];   (圆内接正1

23  n多边形边长) 

          s[i_]:=N[3*2^(i-1)*l[i]*Sqrt[1-(l[i])^2/4],k];    (圆内接正1

23  n多边形面积)           r[i_]:=Pi-s[i]; d[i_]:=s[i]-s[i-1]; 

          Print[i,"  ",r[i],"  ",l[i],"  ",s[i],"  ",d[i]]           ] 

        t=Table[{i,s[i]},{i,m,n}]   (数组) 

  ListPlot[t]    (散点图

   2裴波那奇数列和黄金分割

    由有著名的裴波那奇数列。

如果令，由递推公式可得出

   ，；

。

用下列Mathematica程序可以从量和形两个角度考察数列{}的收敛情况：

         n=14,k=10;

         For[i=3,i<=n,i++, t1=(Sqrt[5]+1)/2; t2=(1-Sqrt[5])/2;

             f[i_]:=N[(t1^(i+1)-t2^(i+1))/Sqrt[5],k]; (定义裴波那奇数列通项)

              rn=(5^(1/2)-1)/2-f[i-1]/f[i];Rn=f[i-1]/f[i];dn=f[i-1]/f[i]-f[i-2]/f[i-1];

              Print[i,"       ",rn,"       ",Rn,"       ",dn];

          ]

         t=Table[{i,f[i-1]/f[i]},{i,3,n}]

     ListPlot[t]

，；

。

3.收敛与发散的数列

数列当时收敛，时发散；数列发散。

4.函数极限与数列极限的关系

用Mathematica程序

  m=0;r=10^m;x0=0;

  f[x_]=x*Sin[1/x]

  Plot[f[x],{x,-r,r}]

Limit[f[x],x->x0]

观察的图象可以发现，函数在点处不连续，且函数值不存在，但在点处有极限。

    令，作函数的取值表，画散点图看其子列的趋向情况

  k=10;p=25;

  a[n_]=1/n;

  tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}]

  ListPlot[tf]

  Limit[f[a[n]],n→Infinity,Direction→1]

分别取不同的数列(要求)，重做上述过程，并将各次所得图形的分析结果比较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。

对于，类似地考察在点处的

   三 实验过程与结果

设{xn}为实数列，a 为定数，若对任给的正数b,总存在正整数N，使得当n > N 时，有|xn - a|程序结果运行如下:

裴波那奇数列和黄金分割

1.考察数列敛散性

 改变或增大，观察更多的项（量、形），例如，分别取50，100，200，…；扩展有效数字，观察随增大数列的变化趋势，例如，分别取20，30，50；或固定50；或随增大而适当增加。对实验要思考，例如，定义中的指标与柯西准则中的指标间的差异；数列收敛方式；又例如，如何估计极限近似值的误差。

2.考察函数极限与数列极限的关系

改变函数及极限类型，例如，考虑六种函数极限，既选取极限存在也选取极限不存在的例子；改变数列，改变参数观察更多的量，考察形的变化趋势；扩展有效数字，提高计算精度。要对实验思考，归纳数列敛散与函数敛散的关系。

例：

用Mathematica程序

  m=0;r=10^m;x0=0;

  f[x_]=x*Sin[1/x]

  Plot[f[x],{x,-r,r}]

Limit[f[x],x->x0]

观察的图象可以发现，函数在点处不连续，且函数值不存在，但在点处有极限。

令，作函数的取值表，画散点图看其子列的趋向情况

  k=10;p=25;

  a[n_]=1/n;

  tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}]

  ListPlot[tf]

  Limit[f[a[n]],n→Infinity,Direction→1]

分别取不同的数列(要求)，重做上述过程，并将各次所得图形的分析结果比较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。

对于，类似地考察在点处的极限。

四 实验结论

1.以表示单位圆的圆内接正多边形面积，则其极限为圆周率。用下列Mathematica程序可以从量和形两个角度考察数列{}的收敛情况

2.由有著名的裴波那奇数列。

令，由递推公式可得

3.数列当时收敛，时发散；数列发散。

4.分别取不同的数列(要求)，重做过程，并将各次所得图形的分析结果比较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。对于