数学建模_线性规划问题

进一步讨论: （1）若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资。

           （2）若每百箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划。

一、问题分析

为使生产两种饮料的获利最大，就应该充分的利用资源，在不超过原料及工人数量的情况下，使得厂商卖出饮料的收益最大，因此可以根据原料及工人数量的以及收益函数列出线性规划模型。

二、符号说明

X1→生产甲饮料的数量，单位：百箱

X2→生产乙饮料的数量，单位：百箱

Y→厂商卖出全部生产的两种饮料的收益

三、基本假设

1、假设影响饮料生产量的因素只有原料量、工人量以及其获利状况；其他，如：生产成本、生产效率等一律不予考虑。

2、假设由于某种特殊原因的，甲饮料最多生产8百箱。

3、假设甲、乙两种饮料的市场价格稳定，保持不变。

四、模型建立

由于工厂只有原料60千克，从而有约束方程6x1+5x2<=60

由于工厂只有工人150名，从而有约束方程 10x1+20x2<=150

根据假设2及结合实际情况，有0<=x1<=8, x2>=0

目标函数     受益最大  Max  Y=10x1+9x2

将上述模型整合得下述完整模型：

Max  Y=10x1+9x2

s.t

五、模型求解

为了方便使用matlab软件进行编程对上述线性规划问题进行求解，将上述模型标准化，如下：  M in  Y’=-10x1-9x2

s.t

matlab程序如下：

>> c=[-10,-9];

>> a=[6,5;10,20];

>> b=[60,150];

>> Aeq=[];

>> beq=[];

>> vlb=[0,0];

>> vub=8;

>> [x,fval]=linprog(c,a,b,Aeq,beq,vlb,vub)

得结果如下：x1=6.4286

            x2= 4.2857

        收益y1=102.8571

六、对上述问题的进一步讨论

（1）、若增加原料1千克，同时增加成本0.8万元

得线性规划模型如下：

M in  Y’=-10x1-9x2

s.t

matlab程序如下：

>> c=[-10,-9];

>> a=[6,5;10,20];

>> b=[61,150];

>> Aeq=[];

>> beq=[];

>> vlb=[0,0];

>> vub=8;

>> [x,fval]=linprog(c,a,b,Aeq,beq,vlb,vub)

得结果如下：x1= 6.7143            

x2= 4.1429

        收益y2= 104.4286-0.8= 103.6286

因收益y 2>y 1

所以进行这项投资。

（2）、若每百箱甲饮料获利增加1万元

得线性规划模型如下：

M in  Y’=-10x1-9x2

s.t

matlab程序如下：

>> c=[-10,-9];

>> a=[6,5;10,20];

>> b=[61,150];

>> Aeq=[];

>> beq=[];

>> vlb=[0,0];

>> vub=8;

>> [x,fval]=linprog(c,a,b,Aeq,beq,vlb,vub)

得结果如下：x1= 8.0000           

 x2= 2.6000        

收益y3= 111.4000

因收益y3>y1,所以改变生产计划。