四川省成都石室中学(四中)2017年自主招生数学答案

一、选择题

1—5：CAB B D 6—10：CAACD 二、填空题

11. （1）3 （2） -5 12. y =2（x +2）2-1

13. 60

49y x

=-

14. 15. 2

2

d

16. 5 17. ①③④

三、解答题

18.（1）令2234

x x

t x x +=+- ∴1112312t t +=

⇒121,4x x =-=-

345,2

x x ±=

（2）22

x x ≥-⎧⎨<-⎩ 120,2x x ==-

19.

cos cos cos cos A B A B n ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩

2

21n -⨯= ∴1

2

n =

20.(1,2)D (4,0)B

（1）28

:33

BD l y x =-+

（2）:2AC l y x =+ ∴212,55E ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴22252325

CE AE ⎛

⎫- ⎪⎝⎭==+ （3

）AC =

∴25CE == D 到AC l 的距离d

2

d =

=

∴14

225CED S == 21.（1）∵B 产品售价为25~45之间

∴9025

9045

x x -≥⎧⎨-≤⎩ ⇒4565x ≤≤

当4565x ≤≤时，

()()()30200.2109020W x x x =--+⨯--=()2

0.240420x --+

① 当40x >时，W 随x 的增大而减小 ∴当x=45时，W 取最大值

此时，()2

max 0.24540420W =-⨯-+=415（万元） ② 当5065x ≤≤时，

()()()300.115109020W x x x =--++⨯--=()2

0.140410x --+

在X=50时，取最大值

max 0.1100410400W =-

⨯+=（万元） （2）由题：2

0.182********W x x =-+++-

2

0.1 83585x x =-+-≥ ⇒ 2060x ≤≤

已知5070x ≤≤

∴509060m ≤-≤⇒3040m ≤≤ 22.（1）ABF ACF ∠=∠,EM AC ⊥作

E M A M a ==

,

AE OE == =3CM a ∴1

tan tan 33a ABF ACF a ∠=∠== （2）证明：∵CD AB ⊥∴弧AC 等于弧AD

∴AGR ABM ∠=∠ ∴∆AMK ∽∆ABG ∴MK ⊥AB ∴MK ∥CD

∴BM BK

CM EK = 即BM EK BK CM ⋅=⋅

（3）∵3,5OE OC ==∴4CE DE == 作HP ⊥AB 交AB 于P

∴32EP PO ==

，1

22

HP CE ==24tan 772

MAK ∠== 41

tan 82MBK ∠==

∴83MK =，163BK =

，BM BC =

=

CM BC BM =-=设MN x =∵MK ∥CD ∴MN MK CN CD =

⇒x MN ==

23.（1

）CD =设AP=x ，BP=2-x

∴(2

2

2

19(2)x x +++-=⇒2230x x -+=无解

∴不能找到P

（2）设PQ 交DC 于G 点，若为平行四边形，则G 为DC 中点

作QH ⊥BC ，∠ADC=∠DCH ，即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH ∵PD ∥CQ ，

1

2

DG PD GC CQ == ∴ADP QCH ∠=∠ ∴Rt ADP ∆∽Rt HCQ ∆

∴2AD=HC=2 BH=3+2=5，当PQ ⊥AB 时，取最小值，为5

（3）设PQ 与AB 相交于G ∵PE ∥BQ,AE=nPA

∵1

1PA AG BQ BG n ==

+

作QH ∥CD,交CB 的延长线于H

过点C 作CK ⊥CD ，交QH 的延长线于K

∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，

∴∠D ＝∠QHC ，∠DAP ＋∠PAG ＝∠QBH ＋∠QBG ＝90° ∠PAG ＝∠QBG ，

∴∠QBH ＝∠PAD 。∴△ADP ∽△BHQ ，∴，

∵AD ＝1，∴BH ＝n ＋1。∴CH ＝BH ＋BC ＝3＋n ＋1＝n ＋4。 过点D 作DM ⊥BC 于M ，则四边形ABND 是矩形。

∴BM ＝AD ＝1，DM ＝AB ＝2。∴CM ＝BC －BM ＝3－1＝2＝DM 。 ∴∠DCM ＝45°。∴∠KCH ＝45°。

∴CK ＝CH •cos45°＝ (n ＋4)，

∴当PQ ⊥CD 时，PQ 的长最小，最小值为

(n ＋4)。

24.

（1）(2,0)A - (4,0)B 设抛物线：()()24y a x x =+-

代入c =

a =

∴23y x =-

顶点(D （2）设直线CD 的解析式为：y=kx+b

则b k b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩

，解得：k b ⎧=⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩

， 故直线CD

的解析式为：y x =

则点E 的坐标为（-8,0），点F 的坐标为：（4

，

则OE=8，

BF=∵

),B(4,0),∴

,OB=4,∴EB=12, ∴由勾股定理得：

EF=

∴

如图1，

过点F 作FG ⊥ y 轴于点G ，则∆COE ~∆CGF,此时点G 的坐标为：（0

，

如图2，

过点F作GF⊥CD,交y轴于点G,则∆COE~∆CFG,∴

CE CO

CG CF

=

∴33

8

CG

=,∴，∴OG=∴点G的坐标为：（0，

若CG⊥FG，则∆COE~∆CGF,∴

GF CG CF

OE CO CE

==,∴

222

222

GF CG CF

OE CO CE

==

设G（x,y）,由两点间的距离公式为：

222

(

CG x y

=+22

3

x y

=++

22222

(4)(16848

GF x y x x y

=-+-=+-++-

2

3

CF=,2

OE=,2

256

3

CE=,2

3

OC=

22

3

256

3

333

256

33

x y

=

⎪

⎪

⎨

⎪++

⎪=

⎪

⎪

⎩

变形为：

22

22

84848

16

x x y

x y

⎧-++-=-

⎪

⎨

+=-

⎪

⎩

解得：1

1

x

y

=

⎧⎪

⎨

=

⎪⎩

2

2

2

x

y

=

⎧⎪

⎨

=

⎪⎩

（舍去）

∴G（0，

综上所述G点的坐标是（0，、（0，

（3）①∵抛物线是轴对称图形，DM 是对称轴，∴DA=DB

∵tan DM DAB AM ∠=

==∴∠DAB=60°

,∴∆DAB 是等边三角形， ∴∠ADB=60° ∵∠DNT=90°，∴∠DTN=∠MDN=30°，∴DN=4.5，DT=9

∴111114.593

DN DT +=+= ② 1113DN DT += 理由：作NH ⊥DT 于H

∵12DNT S DT NH =

∴1sin 602DNT S DT DN =︒

∴DNT S DT DN =

∵

DNT DMT DMN S S S =+ ,

11112222

DN DT DM DN DM =⨯+

∴1111

42222DT DN DT DN =⨯⨯⨯

∴)

DN DT DN =+ ∴3()DT DN DT DN =+ ,∴1113DN DT +=