第8章 正交试验设计的方差分析例题

例8-4  运动发酵单细胞菌是一种酒精生产菌。为了确定其发酵培养基的最佳配方，进行了四因素三水平正交试验，试验指标为酒精浓度（g/ml）。表8-12给出了因素水平表，要求考察交互作用A×B、A×C和A×D。查附表7可得，本试验应选用L27(313)正交表，表头设计应按照“L27(313)二列间的交互作用表”进行。本例只考虑一级交互作用（p=1），所以每个三水平交互作用应占(m-1)P=(3-1)1=2列，即A×B、A×C，和A×D在L27(313)正交表中各占二列。

表8-12  因素水平表

  因素

由交互作用表可知，将因素A、B安排在第1、2列之后，第3、4列为A×B交互作用列；再将C安排在第5列后，A×C交互作用在第6、7列；最后将D安排在第9列，则A×D交互作用类落在第8、10列（当然也可将D安排在第8列，则第9、10列为A×D交互作用列）。

表8-13  试验方案及结果分析 L27(313)

1.计算各列各水平的Kij值(K1j,K2j,K3j)和K(K,K,K)

各列各水平对应的试验数据之和K1j,K2j,K3j ,及其平方和K, K, K ,列于表8-13中,例如

K1A ==0.20+0.50*2+1.50+1.10+1.20*2+1.60*2=9.40=K11 ，  K= 88.36 

K2A ==0.40+0.50+……+6.15=33.05= K21 ，           K=1092.30

K3A ==0.40+0.30+……+2.80=25.80= K31 ，     K =665.

表示A×B的有两列,即第3,4列,计算后可知

K13 =32.75,   K23 =17.90;   K33 =17.60

K14 =26.40;   K24 =24.55,   K34 =17.30

2.计算各列的偏差平方和(Sj)及其自由度(fj)

由式(8-4),可知:

Sj=

r=n/m=27/3=9;

CT=T2/n=1/27×68.252=172.52 

所以 Sj=( K1j2+K2j2+K3j2)-172.53

SA=S1=(K112 +K212+K312)-172.52

=(88.36+1092.30+665.)-172.52

=32.62

SB=S2=……=67.90,   S3=……=16.67 ,     S4=……=5.14

所以SA×B=S3+S4=21.81

Sc=S5=……=2.48,     S6=……=3.04,    S7=……=3.60

所以SA×C =S6+S7=6.

S8=……=5.13 ;     S10=……=1.21

所以SA×D=S8+S10=6.34

SD=S9=……=7.43

S11=……=2.33,S12=……=0.35,S13=……=0.55

所以Se=S11+S12+S13=3.23

因为第j列的自由度为 fj=m-1=3-1=2,(j=1,2,……13)，所以

fA = fB = fC =fD=2

fA×B= f3 +f4=2+2=4, fA×C = f6 +f7 =2+2=4

fA×D = f8 +f10 =2+2=4, fe= f11 +f12 +f13 =2×3=6

验算: 

1ST的验算

QT==0.2²+0.5²+…+2.8²=320.98

ST =QT －CT=320.98-172.52=148.46

另外ST==32.62+67.90+…+0.55=148.45

2fT的验算

fT=n-1=27-1=26

另外   fT =13fi  =13×(m-1)=13×(3-1)=26

∴计算过程无误.     

3.计算方差    

Vj =         

VA=SA/fA=32.62/2=16.31

同理可得  

VB=33.95,VC=1.24,VD=3.72

    VA×B=5.45,VA×C=1.66,VA×D=1.59

    Ve=0.538

 ∵均大于2,且fe=6＞1, ∴无需校正Ve!

二、显著性检验   （计算过程省略）

1.    计算 Fj 

FA= VA/Ve=16.31/0.538=30.32,

∵Fj=Vj/Ve, 

∴同理可得, FB=63.10, FA×B=10.13, FC=2.30, FA×C=3.09

2.查 Fɑ

Fɑ(f因,fe)=fɑ(2,6),Fɑ(f交,fe)=Fɑ(4,6)

当ɑ=0.05时,查得 F0.05(2,6)=5.14, F0.05(4,6)=4.53;

当ɑ=0.01时,查得 F0.01(2,6)=10.92, F0.01(4,6)=9.15.

3.显著性检验

∵FA=30.32和FB=63.10均大于F0.01(2,6)=5.14,

∴因素A和B均高度显著(用**表示);

又∵FA×B=10.13＞F0.01(4,6)=9.15,

∴交互作用A×B也高度显著（用**表示）；

又∵FD=6.91,∵介于F0.05(2,6)和F0.01(2,6)之间,

∴因素D显著(用*表示);

又∵FC=2.30＜F0.05(2,6)=5.14,以及FA×C=3.09和FA×D=2.96均小于F0.05(4,6)=4.53,

∴因素C及交互作用A×C和A×D均不显著.

根据F值大小,可知各因素及交互作用对试验指标影响的主次顺序为:

B,A,A×B,D,A×C,A×D,C.

4.列方差分析表 

表8-14  方差分析表

方差

    因素A、B及交互作用A×B都高度显著，但因在主次顺序中，A×B排在A、B之后，因此应优先考虑A、B的优水平。A和B的优水平确定了，其搭配也就随之确定，不必再通过A、B的二元表确定A与B搭配。通过比较试验指标和K值大小，可知A和B的优水平，分别为A2和B3。

    因素D作用显著，但D与A的交互作用A×D不显著,故可不考虑交互作用,通过比较K值可知D的优水平为D3。

    因素C作用不显著，可以降低成本和操作方便等方面来考虑选取最适水平。对本例通过比较K值确定C的优水平为C2。因此，最优水平组合为A2B3C2D3，即最优工艺条件为葡萄糖浓度15%，酵母膏浓度1.0%、培养温度30℃和培养基pH值7.0。

最后，最好能在最佳条件A2B3C2D3下，再实施一次试验，测定试验指标值（即酒精浓度），在L27（313）正交表中，没有A2B3C2D3这一组试验。在正常情况下，A2B3C2D3组合条件下的试验指标值，应大于表8—13中的最大xi值，即第17号试验的x17=7.70。

8.4 混合型正交表的方差分析

    混合型正交表的方差分析与等水平正交表的方差分析无本质的区别，只是用公式时，要注意各列水平数的差别。

例8-5  试对例7-2试验数据进行方差分析。

    课本中为简化计算，对表7-5（p144）的试验数据xi作了线性变换，实际上没有必要。在不对xi作变换的情况，请同学们自己再做一次方差分析，作为课外作业去完成。且求Sj时，对二水平因素用通式和简化式分别计算！

    总的偏差平方和

          ST==-CT

            fT=n-1

因素的偏差平方和Sj分两种类型进行计算：

1、对于四水平因素

    Sj=     

(对二水平因素,也可用这一通式计算，建议全部用通式计算，以免产生混乱！)

    m=4,r=n/m=8/4=2

fj=m-1

2、对于二水平因素，简化计算公式为：

                  Sj=(K1j-K2j)2  ，   n=8

                   fj=m-1，    m=2

(方差分析和显著性检验，见书上p181)

讨论：

（1）方差分析法与极差分析法得出的各因素主次顺序相同，都是A、C、B;

（2）由方差分析可知，因素A显著，因素C不显著，而因素B对试验结果无影响(即将SB并入Se中,及 Se+SB，fe+fB)；

（3）主要因素A的优水平A3；不显著因素C，可根据具体情况确定其水平，为缩短加工时间，可选C1水平，但从指标值看，还的选C2为好；对试验结果无影响的因素B，选B1或B2均可，从试验的指标可知，A3B1C2为最佳工艺条件，（即5号试验）。因此，此时指标值最大。（251cm3/100g）

  （极差分析结果：A3B1C2或A3B2C2

    方差分析结果：A3B1C2或A3B2C2）

8.5 重复试验和重复取样的方差分析（因时间有限，不讲解！）

       在实际工作中，用正交表安排试验时，为了提高试验及其统计分析的精确性和可靠性，往往采取重复试验和重复取样，在安排试验时，将同号试验重复做若干次，从而得到在同一条件下若干次试验的数据，叫做重复试验，若在一个试验中，同时抽取若干个样品进行测试，则叫做重复取样。

8.5.1重复试验的方差分析

    在用正交表安排试验时，若表上各列已被因素及交互作用占满，没有空列，也无经验误差。这时，为了估计试验误差，一般选用更大的正交表以外，还可以重复试验，由于正交本身的需要，有时虽然正交表的所有列并未被因素及交互作用占满，但也要做重复试验。 

重复试验的方差分析与无重复试验的方差分析比较，有以下几点不同：

（1）假设每号试验重复数为S，在计算K1j，K2j……Kmj时，是以各号试验下“S个试验指标数据之和”进行计算；

（2）重复试验时，总偏差平方和ST及其自由度fT按下式计算：

ST=

fT=ns-1

式中：

n---试验条件数，即正交表的总试验号；

s---各号试验重复数

xit---第i号试验第t次重复试验数据（i=1，2，……n；t=1，2，……s）；

T----所有试验数据之和（包括重复试验）；

                      T=

（3）重复试验时，各列偏差平方和（Sj）计算公式中的“水平重复数”改为“水平重复数乘以试验重复数”，修正项CT也有变化，Sj的自由度fj 仍为水平数减1。

Sj=   ， CT=，    r=

fj=m-1

（4）重复试验时，总误差平方和包括空列误差Se1和重复试验误差Se2，即

Se=Se1+Se2

其总的自由度fe等于Se1的自由度fe1与Se2的自由度fe2之和，即：

fe=fe1+fe2

Se2及fe2的计算公式如下

Se2=

fe2=n(S-1)

(5)重复试验时，用Ve=Se/fe检验各因素及其交互作用的显著性。当正交表的各列都已排满因素及交互作用而无空列时（即Se1=0和fe1=0）用Ve2=Se2/fe2 来检验因素及交互作用的显著性。

例8-6（p183）   四因素四水平正交试验，每号试验重复三次，由附表7可知，对四因素四水平试验，选L16（45）正交表最合适，本例不考虑因素间的交互作用，因素水平如表8-17所示，而表8-18为试验方案与试验结果计算表。

一、计算（简略）

1.计算各列水平Kij值（K1j，K2j，K3j，K4j）和K

如 K11 =6+12.5+17.5+19.2=55.2

   K =55.22=3047.04

K45  =19.2+19.5+18.9+19.2=76.8

K =76.82=58.24

2计算各列偏差平方和（Sj）及其自由度（fj）

Sj=  ， CT=，    r=

==

如

SA=S1=( K + K + K312 + K412)-1912.69

=×(3047.04+6528.+7656.25+6320.25)-1912.6=49.99

同理可得 SB =S2=33.42    Sc=S3=29.01

         SD =S4=13.54    Se1=S5=9.65 

Se2=

=

=(22+22+……+6.52 +6.92)-1/3×(62 +12.52+……+20.42)=2050.32-2048.31=2.01

所以Se=Se1+Se2=9.65+2.01=11.66

fj=m-1=4-1=3

fA= fB= fC= fD=3 

fe1=f5=4-1=3

fe2=n(S-1)=16×(3-1)=32

fe=fe1+fe2=3+32=35

验算：

1ST   

    ST=

         =

         =2050.32-1912.69=137.62

另外   ST=

         =49.99+33.42+29.01+13.54+9.65+2.01=137.62

②fT       

    fT=ns-1=16

另外   fT=

        =3

3.计算方差   VJ=

      VA=      VB=

      VC=    VD=

      Ve=

二、显著性检验

1.计算F值     Fj

2.查Fɑ值

3.显著性检验

   因为，FA、FB、FC、FD均大于F0.01（3，35），所以，A、B、C、D四个因素均高度显著，方差分析表如表8-19所示（P186）。

三、确定最优条件

    ∵四个因素的作用均高度显著，且由F值大小可知因素作用的主次顺序为A、B、C、D

    ∴通过比较Kij值，可知各因素的优水平为A3、B4、C3、D3，故最优水平组合为A3B4C3D3，表8-18的试验方案中无该水平组合的试验，所以应在最优水平组合下，再安排实施一次试验，并且其试验指标值应大于表8-18中的最大指标值。

8.5.2    重复取样的方差分析

    由于重复试验使试验次数成倍增加而增加试验费用，故在实际工作中，更常用的是采用重复取样方法来提高试验的可靠性，重复取样与重复试验在误差偏差平方和的计算上完全一样，但重复取样的误差，反映的是原材料和产品的不均匀性与试样的测量误差，即局部（试验）误差；而重复试验的误差，反映的是整个试验过程中的各种干扰引起的误差，即整体误差。

    通常，局部误差比整体误差要小，原则上不能用来检验各因素水平间是否存在差异，否则，会得到几乎全部因素及交互作用都是显著的不正确结论。但是，若符合下面两种情况，则可以把重复取样得到的局部误差Se2当作试验误差Se，进行统计检验。

（1）正交表中各列已排满，无空列提供一次误差（Se1），这时，为了少做试验而用重复取样误差（Se2）作为试验误差（Se），检验各因素交互作用的显著性，若检验结果有一半左右的因素及交互作用不显著，就可以认为这种检验是合理的；

（2）若重复取样得到的局部（试验）误差（Se2）与整体（试验）误差（Se1）相差不大，也就是说，要求两类误差的F值：

    对于给定的信度α，有F < Fα（fe1，fe2），说明Se1与Se2的误差不显著，这时，就可以将Se2和Se1合并作为试验误差，即

            Se=Se1+Se2；

            Fe=fe1+fe2

但是，若F＞Fα(fe1，fe2)，则两类误差有显著差异，不能合并使用。

例8-7  三因素三水平正交试验，不考虑交互作用，因此，选用L9（34）正交表最合适。因素水平表见表8-20，试验方案见表8-21（see p188）。重复取样三次，即s=3.

解：

一、计算

1.计算各列水平的Kij值（K1j，K2j和K3j）和Kij2

如:K11=0.655+0.657+0.787=2.099,K=2.0992=4.406

   K13=0.760+1.305+0.657=2.722,K=2.7222=7.409

   K和K的计算结果,列于表8-21中.

2.计算各列偏差平方和（Sj）及自由度（fj）检验：

  SA= S1=1/9×(7.684+15.413+4.406)-2.866=0.190

 同理可得: SB= S2 =0.008, Sc = S3 =0.0188

  Se1 = S4 =0.00622

             n=9,s=3

=(0.2782+0.2512+……+0.2592)-1/3*(0.7602+1.1622+……+0.7872) 

    =3.100-3.0=0.0110

fj  = m-1=3-1=2      fA  = fB=fC  =2

fe1 = f4  =3-1=2

fe2= n(s-1)=9×(3-1)=18

验算：

ST    

ST ==3.100-2.866=0.234

      SA+ SB + SC + Se1 + S e2=……=0.234

fT       

fT =ns-1=9×3-1=26

fA+fB +fC + fe1+ fe2 =……=26

 所以计算无误

3.比较两类误差

        F=(Se1/fe1)/(Se2/fe2)=(0.00622/2)/(0.0110/18)=5.09

因为 F0.01(2,18)=6.01＞5.09，所以两类误差可以合并使用。

    Se=Se1+Se2=0.00622+0.0110=0.01722

    Fe=fe1+fe2=2+18=20

4.计算方差

Vi=Si/fi

    VA=SA/fA  =0.190/2=0.095

同理,VB=0.00445, VC =0.0094 ,Ve=0.000861 

二、显著性检验    

    Fj=Vj/Ve

1.求Fj

FA =VA /Ve=0.095/0.000861=110.34

FB=VB/Ve=0.00445/0.000861=5.168

FC=VC/Ve=0.0094/0.000861=10.92

2.查Fα

Fα=( f因 ,fe)= Fα(2,20)

α=0.01 时,F0.01(2,20)=5.85

α=0.05时,F0.05(2,20)=3.49

3.显著性检验

因为 FA＞F0.01

所以因素B高度显著;

又因为F0.05＜FB＜F0.01,所以B显著;

又因为FC＞F0.01所以因素C高度显著

方差分析表见表8-22(p.190)

三、最优工艺条件的确定

由表8-22可见,因素A,C高度显著,因素B显著,根据Fj值的大小可知,因素的主次顺序为ACB.通过比较Kij值可知各因素的最优水平为A2B2C2故最优水平组合为A2,B2,C2。

表8-21的试验方案中,没有A2B2C2水平组合的试验,故最好能够再实施一次最优水组合A2B2C2的试验,并且其试验指标值应大于表8-21中的最大指标值.

8.6 不饱和正交表的方差分析简介

一、饱和表与不饱和表

在讨论“正交表的分类及特点”时，我们已经讲过，对于等水平正交表Ln(mk)，若满足

     n=1+

则称该正交表为饱和正交表,相应的试验称为饱和正交试验。

上式可改写为

n-1=     因为   fj=m-1=mj-1；

一般情况下，设有等水平正交表Ln(mk)或混合水平正交Ln(m1k1*m2k2)，若其自由度满足

       f=

或

                  f=

则称正交表为饱和正交表；若自由度

  f=＜n-1

或  f=＜n-1

则称该正交表为不饱和正交表

   标准正交表(see p124)全部是饱和表.在非标准表中,二水平非标准表都是饱和表(∵fj=mj-1=2-1=1,f==k*1=k=n-1即n=k+1),其它水平非标准表都是不饱和表,如L18(37)L50(511)等.

    混合型正交表无标准表与非标准表之分。混合型正交表中有些是饱和表，如L16（4×212）：

     在k1=1，m1=4，k2=12，m2=2时， 

f==

=k1×（m1-1）+k2×（m2-1）

=15

因为n=16, 所以f=n-1=15.

而有些混合型正交表则是不饱和表，如L18（2×37）：

      在k1=1，m1=2，k2=7，m2=3时，

f==

=k1×（m1-1）+k2×（m2-1）

=15

∵n=18，∴ f＜n-1=17

二、注意事项

1、∵f不饱和＜f饱和

∴选用不饱和正交表进行正交试验时，只能安排较少的因素或只能安排水平较少的因素，故试验效率降低。

2、我们前面讨论的都是饱和的方差分析

（1）尽量不选用不饱和表，即尽可能选用饱和表安排试验。

（2）对于不饱和表的方差分析，即使因素间无交互作用，也不能用空列直接计算试验误差。

    有关不饱和正交表的方差分析方法，在实际工作中应用较少，这里不作介绍。