小学生数学论文。有趣的长方形

单位 温州市龙湾区海滨第二小学

作者：叶旭东

指导老师：娄旭初

摘要：

本文是以数一个大长方形中的小长方形为主，再加大难度，进行减一小段的计算。本文先是讲怎么算没有缺边的，再讲比较简单的缺边。最后，加大难度，在同一个图形的不同地方缺边。这一边缺在不同的位置，数出来的长方形的个数是不同的。

关键词：长方形      个数      缺失

正文：

一、提出问题

在上奥数课时，老师给我们画了一个图形（如图1）。这个图形看上去是长方形，可是里面却被分成了一块一块的。老师让我们数里面有多少个长方形。我们用搭配问题很快就算出来了。回家后，我想：如果这个图形少了一小段，那该怎么数呢？这一小段少在不同的地方算出来的结果相同吗？我决定自己思考这个问题。

二、解决问题

（一）完整的图形

1、简单图形

像搭配的问题一样，3件衣服和3条裤子能搭配出3×3=9种配法。长方形是由长和宽组成的，有多少种长乘以多少种宽，就能求出有多少个长方形了。

一排上有4个点，分别标上ABCD字母（如图2）。A能和B、C、D3点配出3种长。B不能再和Ａ配了，只能和C、D配，所以只能配出2条。同理，C只能和D配。所以有3+2+1=6种长。同理，有2+1=3种宽。所以有6×3=18个长方形。

2、复杂图形

那么，数字大了这个方法还好用吗？我用长23点宽22点试了一次。长22+21+20……+1就能求出有多少种长。但是这个怎么算呢？我们用等差数列的方法来算。（22+1）÷2等于12.5。有22个12.5。所以，23×22÷2就能算出有多少种长。同理， 22×21÷2就能算出有多少种宽。（23×22÷2）×（22×21÷2）就能求出有几个长方形。

3、结论

如果长有m个点，宽有n个点，就是[m×（m-1）÷2]×[n×（n-1）÷2]即能算出有几个长方形。

（二）缺失的图形

在解释了完整的图形中长方形个数的点数，我开始研究有边缺失的图形。因为难度问题，我仅对缺了其中一边的长方形个数情况进行了分析。情况要比完整的图形复杂很多。

1、情况分析

因为长方形是可以旋转的，所以横向和竖向其实只是摆放位置的不同，只需要讨论一种。在这里我选择竖向的线段缺失进行讨论。

只在竖向上讨论时，仍有两种情况（如图3）：

一种是缺失在不同线段上的同一个位置（如A1A2、B1B2、C1C2）。还有一种是缺失在同一条线段上的不同位置。（如A1A2、A2.A3、A3A4）。

为了讨论方便，我们把A点所在的线称为a线，其他字母同理。

2、缺失在不同线段的同一位置

（1）试算缺失B1B2的情况（如图4）

我们先认为图4是一个完整的图形，按公式可得：

 [6×（6-1）÷2]×[5×（5-1）÷2 ]=150(个)

当B1B2边去除后,失去的宽有:B1B2、B1B3、B1B4、B1B5、B1B65条宽。而在b线上产生缺失之后，其实a线c线d线e线并有受的影响，能与这5条宽配的长有B1A1、B1C1、B1D1、B1E14条。也就是少了5×4=20个长方形。这个图形中有150-20=130个长方形。

（2）试算缺失C1C2的情况（如图5）

同理，在完整的情况下应是150个长方形。

当C1C2去除后，失去的宽有：C1C2、C1C3、C1C4、C1C5.C1C65条。而能与这5条宽配的长有C1A1、C1B1、C1D1、C1E14条。也就是少了5×4=20个长方形。这个图形中也是150-20=130个长方形。

    （3）总结

在上面两次分析中，可以得出，其实缺失在B1B2和缺失在C1C2的情况分析是一模一样的，所以可以说：若缺失线段在不同线段上的同一位置，结果是一样的。

所以，实际上我们只需要对一条线段进行讨论。

 3、缺在同一线段的不同位置

下面我们以b线为讨论对象展开讨论。因为根据对称的性可知，缺失B1B2和缺失B5B6是一样的，缺失B2B3和缺失B4B5是一样的，所以我们针对缺失B1B2 、B2B3、 B3B4做出讨论。

（1）试算缺失B1B2的情况

从上可知，缺失B1B2有130个长方形。

    （2）试算缺失B2B3的情况（如图6）

先当图6是一个完整的图形，可知有150个长方形。

当 B2B3去除后，失去的宽有：B1B3、B1B4、B1B5、B1B6；B2B3、B2B4、B2B5、B2B6这样2×4=。而能与这宽配的长仍然是有B2A2、B2C2、B2D2、B2E24条。也就是少了8×4=32个长方形。

所以，这个图形中有150-32=118个长方形。

（3）试算缺失B2B3的情况(如图7)

同理，在完整的情况下，也是有150个长方形。

当B3B4去除后，我发现，b线上的点被分成了两组。上面的B1、B2、B3为一组；下面的B4、B5、B6为一组。在组内并没有线段受到缺失B2B3的影响，而组间交叉产生的线段都受到了影响，如B1B5、B2B6、B3B4等。也就说其实是少了3×3=9条宽。少了9种宽，少了4种长，所以就少了9×4=36个长方形。

所以，这个图形中有150-36=114个长方形。

    （4）结论

综上可知，在只缺失一条线段的前提下，缺失不同线段的同一位置，少掉的长方形数量是一样的；缺失在同一线段的不同位置，少掉的长方形数量是不一样的。

（三）用字母对缺失边情况的广泛讨论

在只缺失一条边的前提下，少掉的长方形数量其实只是受到少掉的长和宽的影响，所以分两方面讨论是可以得出结论的。

1、缺少掉的长（横向，如图8）

假设横向有m个点，因为只少了其中一段，所以只有一点受到影响，如图7我们称这点A。那么只有与A点搭配的线段才受到影响，而除A点外还有（m-1）个点与它搭配。所以有（m-1）种长受到了影响。

以m=100为例，就是有99种长受到了影响。

2、缺少掉的宽（竖向，如图9）

假设有竖向有n个点，而缺失的位置不同会对结果造影响，假设它缺失的位置在x与x+1点之间。我们称1至x点为a组，称x+1到n点为b组。由上面的分析可知，组内的点互相搭配并没有并到线段（x，x+1）的影响，而只有当a组跨到b组的组间的搭配时才受到而且一定受到影响。

这时就又是一个搭配问题，即a组点与b组点能搭配出多少种不同的宽。简单可知，a组内有x个点，b组内有（n-x）个点，所以可以搭配出x（n-x）种不同的宽。

以n=100，x=75（即第75到76点间的线段缺失）为例，有75×（100-75）=1875种宽受到影响。

（四）研究后续

因为时间和水平的关系，我只对缺失了一边的情况做出了研究，而实际的情况可能要比我现阶段的结论复杂很多。在缺失多条线段的情况下，会产生更加多的可能。我以缺失两条为例，总结了以下的情况：缺失在同一边上（如图10-1）；缺失在不同的边上，但方向一样（如图10-2）；缺失在不同的边上并且方向不一样（如图10-3）。

而缺失多边的情况比上述的情况还要更复杂。我将把这个问题做为一个长期的研究课题继续开展下去。

三、总结

1、在图形完整的情况下，如果长方形的长和宽上分别有m、n个点（m、n为非零自然数），就可以用[m×（m-1）÷2]×[n×（n-1）÷2]这道公式算出有多少个长方形。

2、在只缺失一条线段的前提下，缺失不同线段的同一位置，少掉的长方形数量是一样的；缺失在同一线段的不同位置，少掉的长方形数量是不一样的。

3、在只缺失一条线段的前提下，假设长上有m个点，无论缺在哪里，都有（m-1）条长受到影响。

4、在只缺失一条线段的前提下，假设宽上有n个点，而缺失在x和（x+1）点之间，那就有x（x+1）条宽受到影响。

5、在分析整个问题时，我们课本上学过的搭配问题起到了非常大的作用。一些看似简单的方法在合理的使用时，可以产生巨大的作用。

6、一个问题往往越思考，就会变得越难。不断深入的过程，就打游戏时过了一关又有一关那样，其实也是非常有意思的。