高中三角函数常见题型与解法

一、思想办法

1、三角函数恒等变形的基本战略.

（1）常值代换：特别是用“1”的代换,如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等.

（2）项的分拆与角的配凑.如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=

（α+β）－β,β=

2β

α+－

2β

α-等.

（3）降次与升次.即倍角公式降次与半角公式升次.

（4）化弦（切）法.将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）.

（5）引入帮助角.asinθ+bcosθ=2

2b

a+sin(θ+ϕ),这里帮

助角ϕ所在象限由a、b的符号确定,ϕ角的值由tanϕ=

a

b确定.

（6）万能代换法.巧用万能公式可将三角函数化成tan

2

θ的有理式.

2、证明三角等式的思路和办法.

（1）思路：利用三角公式进行化名,化角,改动运算结构,使等式两边化为同一形式.

（2）证明办法：综合法、阐发法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法.

3、证明三角不等式的办法：比较法、配办法、反证法、阐发法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等.

4、解答三角高考题的战略.

（1）发明差别：不雅察角、函数运算间的差别,即进行所谓的“差别阐发”.

（2）寻找联系：运用相关公式,找出差别之间的内在联系.

（3）合理转化：选择恰当的公式,促使差别的转化.

二、注意事项

对于三角函数进行恒等变形,是三角知识的综合应用,其题目类型多样,变更似乎庞杂,处理这类问题,注意以下几个方面：

1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少,三角函数名称尽可能少,角尽可能小和少,次数尽可能低,分母尽可能不含三角式,尽可能不带根号,能求出值的求出值.

2、三角变换的一般思维与经常使用办法.

注意角的关系的研究,既注意到和、差、倍、半的相对性,如 ααββαββαα22

122)()(⨯=⨯=+-=-+=．也要注意题目中所给的各角之间的关系.

注意函数关系,尽量异名化同名、异角化同角,如切割化弦,互余互化,常数代换等.

熟悉常数“1”的各类三角代换：

6sin 24tan 0cos 2sin sec cos tan sec cos sin 12222π

π

π

ααβαβα====⋅=-=+=等.

注意万能公式的利弊：它可将各三角函数都化为2

tan θ的代数式,把三角式转化为代数式．但往往代数运算比较繁.

熟悉公式的各类变形及公式的规模,如 sin α = tan α· cos α,2cos 2cos 12αα=+,2

tan sin cos 1ααα=-等. 利用倍角公式或半角公式,可对三角式中某些项进行升降幂处

理,如2sin 2cos 12αα=-,22cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ααα,2

2cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-ααα等．从右到左为升幂,这种变形有利用根式的化简或通分、约分；从左到右是降幂,有利于加、减运算或积和（差）互化.

3、几个重要的三角变换：

sin α cos α可凑倍角公式； 1±cos α可用升次公式； 1±sin α 可化为⎪⎭

⎫ ⎝⎛-±απ2cos 1,再用升次公式； ()ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a （其中 a

b =ϕtan ）这一公式应用广泛,熟练掌握.

4、单位圆中的三角函数线是三角函数值的几何暗示,四种三角函数y = sinx 、y = cosx 、y = tanx 、y =cotx 的图像都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的,因此应熟练掌握三角函数线并能应用它解决一些相关问题．

5、三角函数的图像的掌握体现在：掌控图像的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基来源根底理以及快速、准确地作图.

6、三角函数的奇偶性结论：

① 函数y = sin(x ＋φ)是奇函数πϕk =⇔()Z ∈k .

② 函数y = sin(x ＋φ)是偶函数()Z ∈+=⇔k k 2ππϕ. ③ 函数y =cos (x ＋φ)是奇函数()Z ∈+=⇔k k 2

π

πϕ. ④函数y = cos(x ＋φ)是偶函数()Z ∈=⇔k k πϕ.

7、三角函数的单调性

三、典型例题与办法

题型一三角函数的概念及同角关系式

此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意需要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取.

1、三角函数的六边形法例.

2、几个经常使用关系式：

（1）

,三式知一求二. （2）21sin 1sin 2αα⎛⎫+=+ ⎪⎝

⎭. （3）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝

⎭时,有sin tan x x x <<. 3、诱导公式（奇变偶不变,符号看象限）.

4、

. 5、熟记关系式sin cos cos 444

x x x πππ

⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

. 【例1】记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=（）

B 、﹣21k k -

C 、21k k -

D 、﹣21k k

- 解： 222sin 801cos 801cos (80)1k =-=--=-,

∴tan100tan80︒=-2

sin801.cos80k k

-=-=-.故选B 评注：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式,并突出了弦切互化这一转化思想的应用.同时熟练掌握三角函数在各象限的符号.

【例2】cos300︒=（）

A 、3、-12C 、1

2D 3解：()1cos300cos 36060cos 602︒=︒-︒=︒=

评注：本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识. 练习：

1、sin585°的值为（ ）

A 、2

2-、2

2C 、32-D 、32

2、下列关系式中正确的是（ ）

A 、000sin11cos10sin168<<

B 、000sin168sin11cos10<<

C 、000sin11sin168cos10<<

D 、000sin168cos10sin11<<

3、若4sin ,tan 05

θθ=->,则cos θ=． 4、 “2()6k k Z παπ=+∈”是“1cos 22

α=”的（ ） A 、充分而不需要条件 B 、需要而不充分条件

D 、既不充分也不需要条件

5

、cos 2sin tan ( )ααα+==若则

A 、12

B 、2

C 、12-

D 、2-

题型二 化简求值

这类题主要考查三角函数的变换.解此类题应按照考题的特点灵活地正用、逆用,变形运用和、差、倍角公式和诱导公式,进行化简、求值.

【例3】已知α为第三象限的角,3cos 25α=-,则tan(2)4π

α+=. 解： α为第三象限的角∴ππ+k 2<α<ππ232+k

∴ππ24+k <2α<ππ34+k (Z K ∈)

又 3

cos 25α=-<0,∴4sin 25

α=, ∴tan(2)4πα+=41tan tan 2134471tan tan 2143παπα-+==--+. 评注：本题主要考查了同角三角函数的关系和二倍角公式的灵活运用.是一道综合性较强的题目.

【例4】已知2tan =θ,求（1）

θθθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.

解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+

=++θθθθθθ

θθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ22222

2cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin 评注：利用齐次式的结构特点（如果不具备,通过机关的办法得到）,

进行弦、切互化,就会使解题过程简化. 练习：

1、已知tan 2θ=,则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=

A 、43

- B 、54

C 、34

- D 、45

2、函数()sin cos f x x x =最小值是（ ）

A 、-1

B 、12

- C 、12

D 、1

3、 “1sin 2

α=”是“1cos 22α=”的（ ）

A 、充分而不需要条件

B 、需要而不充分条件

C 、充要条件

D 、既不充分也不需要条件

题型三 函数

的图像及其性质

图像变换是三角函数的考察的重要内容,解决此类问题的关头是理解A 、

的意义,特别是ω的判定,以及伸缩变换对的影响.

【例5】为了得到函数sin(2)3

y x π

=-的图像,只需把函数

sin(2)6

y x π

=+

的图像（ ）

A 、向左平移4

π个长度单位 B 、向右平移

4

π

个长度单位 C 向左平移2π个长度单位 D 向右平移

2

π个长度单位

解： sin(2)6

y x π=+=sin 2()12

x π

+

,

sin(2)3y x π=-=sin 2()6

x π

=-,

∴

将sin(2)6

y x π

=+的图像向右平移

4

π

个长度单位得到sin(2)3

y x π

=-的图像,

故选B.

评注：本题主要考查三角函数的图象变换中的平移变换、伸缩变换,特别是函数sin()y A x ωϕ=+中的ω对函数图像变更的影响是历年考生的易错点,也是考试的重点.

【例6】设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)+2的图像向右平移3

4π个单

位后与原图像重合,则ω的最小值是（ ）

A 、2

3

B 、43

C 、32

D 、3 解： 将y=sin(ωx+3π)+2的图像向右平移

3

4π个单位后为

4sin[()]233y x ππω=-

++4sin()233x πωπ

ω=+-+

∴

43

ωπ

=2k π, 即32k ω= 又 0ω>, k≥1 故32

k ω=

≥32

, 所以选C

评注：本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性,考查了同学们对三角函数图像知识灵活掌握的程度.

【例7】函数

()(1)cos f x x x =的最小正周期为（ ）

A 、2π

B 、

32

πC 、πD 、

2

π 【答案】A

【解析】由

()(1)cos cos 2sin()6

f x x x x x x π

=+==+可得最小

正周期为2π,

【例

8】函数

22cos sin 2y x x

=+的最小值是

_____________________ . 【答案】

1【解析】

()cos 2sin 21)14

f x x x x π

=++=++,所以最小值为：1【例9】若函数

()(1)cos f x x x =,02

x π

≤<,则()f x 的最大值

为（ ）

A 、1

B 、

2C 1D 2

【答案】B

【解析】因为

()(1)cos f x x x ==cos x x =2cos()3

x π

-

当3

x π

=是,函数取得最大值为2. 故选B.

练习：

1、将函数sin y x =的图像向左平移ϕ(0≤ϕ＜2π)的单位后,得到函数sin()6

y x π

=-的图像,则ϕ等于（）

A 、6π

B 、

56

π C 、

76

π D 、

116

π

2、若将函数)0)(4

tan(>+=ωπ

ωx y 的图像向右平移6

π

个单位长度后,与函数)6

tan(π

ω+=x y 的图像重合,则ω的最小值为（）

A 、61

B 、41

C 、31

D 、

2

13、将函数sin 2y x =的图像向左平移4

π

个单位,再向上平移1个单位,所得图像的函数解析式是( )

A 、cos 2y x =

B 、22cos y x =

C 、)4

2sin(1π

++=x y D 、

22sin y x =

4、已知函数)0,)(4

sin()(>∈+=w R x wx x f π

的最小正周期为π,)

(x f y =的图像向左平移||ϕ个单位长度,所得图像关于y 轴对称,则ϕ

的一个值是（ ） A 、2π B 、

8

3π C 、4π D 、

8

π 5、已知函数()sin()(,0)4

f x x x R π

ϖϖ=+∈>的最小正周期为π,为了得到

函数()cos g x x ϖ=的图像,只要将()y f x =的图像（ ）

A 、向左平移8π

个单位长度 B 、向右平移8

π个单位长度C 、向左平移4π个单位长度 D 、向右平移4

π个单位长度

6、已知a 是实数,则函数()1sin f x a ax =+的图像不成能是 ( )

7、已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示,2()2

3

f π

=-,则(0)f =

（ ）

A 、23-

B 、23

C 、－12

D 、

1

2

8、函数sin()y A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数,0,0A ω>>）在闭区间[,0]π-上

的图像如图所示,则ω=.9、已知函数y=sin （ωx+ϕ）（ω>0, -π≤ϕ<π）的图像如图所示,则 ϕ=________________

10、已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示,则712

f π

⎛⎫=

⎪⎝⎭

. 11、已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图像如图所示,则ω ＝

12、已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>,()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π,则()f x 的单调递增区间是（）A 、5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B 、511[,],1212

k k k Z ππππ++∈C 、[,],36

k k k Z ππππ-+∈ D 、2[,],63k k k Z ππππ++∈

13、如果函数3sin(2)y x ϕ=+的图像关于点4(,0)3

π

中心对称,那么||ϕ 的最小值为（）

A 、6

π B 、4

π

C 、3π

D 、

2π 14、已知函数))(2

sin()(R x x x f ∈-=π

,下面结论错误的是（）

A 、函数)(x f 的最小正周期为2π

B 、函数)(x f 在区间[0,]2

π

上是增函数 C 、函数)(x f 的图像关于直线x ＝0对称 D 、函数)(x f 是奇函数 15、若4

2

x ππ

<<

,则函数3tan 2tan y x x =的最大值为.

16、已知函数2()sin 22sin f x x x =- （1）求函数()f x 的最小正周期.

（2）求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合.

17、已知函数21

1()sin 2sin cos cos sin()(0)2

2

2

f x x x π

φφφφπ=+-+<<,其图像

过点1

(,)62

π.

（Ⅰ）求φ的值；

（Ⅱ）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的12

,纵坐标不变,得到函数()y g x =的图像,求函数()g x 在[0,]4

π

上的最大值和

最小值.

18、设函数2()cos(2)sin 3

f x x x π

=++.

（1）求函数()f x 的最大值和最小正周期.

（2）

1

1,,cos ,(),,sin 3

2

4

c A B C ABC B f C A ∆==-设为的三个内角，若且为锐角求. 19、设函数2()sin(

)2cos 1468

x x

f x ππ

π=--+.

（1）求()f x 的最小正周期.

（2）若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称,求当

4

[0,]3

x ∈时()y g x =的最大值.

20、设函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为23

π. （1）求ω的最小正周期.

（2）若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移2

π

个单位长度得到,求()y g x =的单调增区间. 21、已知函数()b a x x a x a x f ++--=2cos sin 32

2cos 的定义域为⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡20π，,

值域为 [ －5,1 ],求常数a 、b 的值. 22、已知函数y=2

1cos2x+

2

3

sinx·cosx+1（x∈R）. （1）当函数y 取得最大值时,求自变量x 的集合；

（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

题型四 三角函数与解三角形

此类题主要考查在三角形中三角函数的利用. 解三角形的关头是在转化与化归的数学思想的指导下,正确、灵活地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内角和等公式定理.

【例10】在△ABC 中,内角A,B,C 的对边辨别是a,b,c,若

223a b bc -,sin 23sin C B =,则A=（ ）

A 、

030 B 、060 C 、0120 D 、0150 解：由正弦定理得

232322c b

c b R R

=⇒=

所以

cosA=2222

+c -a 22b c bc bc

+=

=22

bc +=

,所以A=300

评注：解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算.

通过恰当地使用正弦、余弦定理将有关的边角确定,从而解决问题.

【例11】在锐角三角形ABC,A 、B 、C 的对边辨别为a 、b 、c,6cos b a C a

b

+=,则

tan tan tan tan C C

A B

+=________. 解： 22

6cos 6cos b

a C a

b C a b a

b

+=⇒=+

=

44

2122

22

2==⋅-+c

c ab c ab c b a 评注：三角函数与解三角形的综合性问题,是近几年高考的热点,在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低,估量以后这类题型仍会保存,不会有太大改动.解决此类问题,要按照已知条件,灵活运用正弦定理或余弦定理,求边角或将边角互化. 练习：

1、在锐角ABC ∆中,1,2,BC B A ==则

cos AC

A

的值等于,AC 的取值规模

为.

2、在ABC ∆中,A C AC BC sin 2sin ,3,5===. （Ⅰ）求AB 的值.（Ⅱ）求)4

2sin(π

-A 的值.

3、在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边辨别为,,a b c ,且满

足

cos

25

A =,3A

B A

C ⋅=.

（I ）求ABC ∆的面积；（II ）若6b c +=,求a 的值．

4、在ABC ∆中,角,,A B C 的对边辨别为,,,3

a b c B π

=

,4

cos ,5

A b ==

（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积．

5、在ABC ∆中,A B 、为锐角,角A B C 、、所对的边辨别为a b c 、、,

且

sin A B =

=

（I ）求A B +的值；（II

）若1a b -=,求a b c 、、的值.

6、设函数2()2sin cos cos sin sin (0)2

f x x x x φ

φφπ=+-<<在π=x 处取最小

值.

(1)求ϕ的值； (2)在

∆

ABC 中,c b a ,,辨别是角A,B,C 的对边,已知

,2,1==b a 2

3

)(=

A f ,求角C.

7、设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长辨别为

,,a b c ,2

3

cos )cos(=

+-B C A ,ac b =2,求B.

题型五 三角函数与平面向量

【例13】平面直角坐标系有点]4

,4[),1,(cos ),cos ,1(π

π-∈x x Q x P .

（1）求向量OP 和OQ 的夹角θ的余弦用x 暗示的函数)(x f ； （2）求θ的最值.

解：（1

）θcos ⋅=⋅OQ OP , 即 x x x f 2cos 1cos 2)(+=

)4

4(π

π≤≤-x

（2）x

x cos 1

cos 2cos +

=

∴θ , 又 ]2

23,2[cos 1cos ∈+

x x ,

]1,322[

cos ∈∴θ , 0min =∴θ , 3

2

2arccos

max =θ. 说明：三角函数与向量之间的联系很紧密,解题时要时刻注意.

【例14】已知向量m=(sinA,cosA),n=

1)-,m·n＝1,且A 为锐角.

（Ⅰ）求角A 的大小；

（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.

解：（Ⅰ） 由题意得3sin cos 1,m n A A =-=12sin()1,sin().6

6

2

A A ππ-=-=

由A 为锐角得 ,66

3

A A πππ

-==

（Ⅱ） 由（Ⅰ）知1

cos ,2

A =

所以2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22

f x x x x s x =+=-+=--+ 因为x∈R,所以[]sin 1,1x ∈-,因此,当1sin 2

x =时,f(x)有

最大值32

.

当sin 1x =-时,()f x 有最小值-3,所以所求函数()f x 的值

域是3

32⎡⎤

-⎢⎥⎣

⎦，.

练习：

1、设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-.（1）若a 与2b c -垂直,求tan()αβ+的值；（2）求||b c +的最大值；（3）若tan tan 16αβ=,求证：a ∥b .

2、已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2).a b θθθ=-=

（Ⅰ）若//a b ,求tan θ的值；（Ⅱ）若||||,0,a b θπ=<<求θ的值.

=,(2,2)

=--.

p b a

n B A

=,(sin,sin)

(,)

m a b

（1）若m//n,求证：ΔABC为等腰三角形；

若m⊥p,