1．（2011北京朝阳区期末）
已知数列的前n项和为，且, 则等于 (A)
（A） 4 （B）2 （C）1 （D） -2
2．（2011北京朝阳区期末）
已知数列满足：，定义使
为整数的数叫做企盼数，则区间内所有的企盼数的和为 2026
.
3．（2011北京朝阳区期末）
已知函数（，，为常数，）.
（Ⅰ）若时，数列满足条件：点在函数的图象上，求的前项和；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若，，（），
证明：；
（Ⅲ）若时，是奇函数，，数列满足，，
求证：.
解：（Ⅰ）依条件有.
因为点在函数的图象上，所以.
因为，
所以是首项是，公差为的等差数列. …………………… 1分
所以.
即数列的前项和. ……………………………… 2分
（Ⅱ）证明：依条件有 即解得
所以.
所以 ……………………………………… 3分
因为=
，
又，所以.
即. …………………………………………………… 5分
（Ⅲ）依条件.
因为为奇函数，所以.
即. 解得. 所以.
又，所以.
故. ……………………………………………………………6分
因为，所以. 所以时，有（）.
又，
若，则. 从而. 这与矛盾.
所以. …………………………………………………………… 8分
所以.
所以. ………………10分
所以
. …………………12分
因为，，所以. 所以.
所以. …14分
4. （2011北京丰台区期末）
已知函数，数列中，．当取不同的值时，得到不同的数列，如当时，得到无穷数列1，3，…；当时，得到常数列2,2,2，…；当时，得到有穷数列，0．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）设数列满足，．求证：不论取中的任何数，都可以得到一个有穷数列；
（Ⅲ）如果当时，都有，求的取值范围．
解：（Ⅰ）因为 ，且，
所以 ． 同理可得，即． ………………………3分
（Ⅱ）证明：假设为数列中的第项，即；则
；
；
………
；
， 即。
故不论取中的任何数，都可以得到一个有穷数列．
（Ⅲ）因为，且，
所以 ．
又因为当时， ，
即，
所以 当时，有．
5. （2011北京西城区期末）
| 设等比数列的前项和为，若，则下列式子中数值不能确定的是(D) | |||
| （A） | （B） | （C） | （D） |
已知数列，满足，其中.
（Ⅰ）若，求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，且.
（ⅰ）记，求证：数列为等差数列；
（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求首项应满足的条件.
解：（Ⅰ）当时，有
…………2分
. ………………3分
又因为也满足上式，所以数列的通项为.………………4分
（Ⅱ）（ⅰ）因为对任意的有， ………………5分
所以
，
所以数列为等差数列. ………………7分
（ⅱ）设，（其中为常数且），所以
所以数列均为以7为公差的等差数列. ………………9分
设，
（其中，为中的一个常数），
当时，对任意的有； ………………10分
当时，
………………11分
①若，则对任意的有，所以数列为单调减数列；
②若，则对任意的有，所以数列为单调增数列；
………………12分
综上：设集合，
当时，数列中必有某数重复出现无数次.
当时， 均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. ………14分
7. （2011巢湖一检）在等比数列中，，公比为q，前n项和为，若数列也是等比数列，则q等于(C)
A.2 B. C.3 D.
8. （2011巢湖一检）已知函数．
（Ⅰ）求证 ：的图象关于点成中心对称；
（Ⅱ）若；
（Ⅲ）已知： ,数列的前项和为时，对一切都成立，求的取值范围.
证明：(Ⅰ)在函数图象上任取一点，关于的对称点为，
∴， ∴①.
∵，即②.
将①代入②得，，
∴，∴也在图象上，∴图象关于点成中心对称.
(直接证得图象关于点成中心对称，也可给分)
……………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，
又∵时， ③
④
③+④得 ，∴. ……………………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知，当时，，
∴当时，；
∵当时，也适合上式，∴.
由得，，∴，即.
令，则，
又∵，∴，
∴当时，即时，最大，它的最大值是，∴.
9. (2011承德期末)下表给出一个“直角三角形数阵”满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为，则等于（ C ）
A． B．
C． D．1
10. (2011承德期末)数列的前100项的和等于.
11．(2011东莞期末)
设等差数列（）的前n项和为，该数列是单调递增数列，若，则的取值范围是(A)
A. B. C. D.
12．(2011东莞期末)
等比数列中, ,且依次成等差数列，则的前项和等于 63 ．
13．(2011东莞期末)
已知数列（）的各项满足：,（，）．
(1) 判断数列是否成等比数列；
（2）求数列的通项公式；
(3) 若数列为递增数列，求的取值范围.
解：（1）
，
．
当时，，则数列不是等比数列；
当时，，则数列是公比为的等比数列．
（2）由（1）可知当时，，
．
当时，，也符合上式，
所以，数列的通项公式为．
(3)
．
∵ 为递增数列，
∴恒成立．
①当为奇数时，有，即恒成立，
由得．
②当为偶数时，有，即恒成立，
由，得．
故的取值范围是．
14．（2011佛山一检）在等差数列中，首项公差，若，则(A)
A． B．
C． D．
15．（2011佛山一检）
设数列是首项为，公差为的等差数列，其前项和为，且成等差数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求.
解：（Ⅰ）∵，，
由成等差数列得，，即，
解得，故；
（Ⅱ），
法1：， ①
①得，， ②
①②得，
，
∴．
法2：，
设，记，
则，
∴， -
故．
16．（2011福州期末）已知实数成等比数列，且函数时取到极大值，则等于 （ A ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
17．（2011福州期末）数列是首项为2，公差为1的等差数列，其前项的和为
（Ⅰ）求数列的通项公式及前项和；
（Ⅱ）设，求数列的通项公式及前项和
解：（Ⅰ）依题意： 2分
= 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 5分
7分
9分
12分
18．（ 2011广东广雅中学期末）
已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中都是大于1的正整数，且，对于任意的，总存在，使得成立，则 ( C )
A． B． C． D．
19. （2011广州调研）
等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则 126 .
20．（2011哈尔滨期末）
若两个等差数列和的前项和分别是和，已知，则
（ D ）
A． B． C． D．
21．（2011哈尔滨期末）
设是公比为的等比数列，其前项积为，并满足条件，给出下列结论：
（1）；（2）；（3）；（4）使成立的最小自然数
等于，其中正确的编号为（1）（3）（4）.
22．（2011杭州质检）等差数列的前n项和为，已知，，
（第4题）
则 （ A ）
A．14 B． 19 C． 28 D．60
23．（2011杭州质检）已知函数
若数列满足，
且是递减数列，则实数a的取值
范围是 （ C ）
A． B． C． D．
24．（2011杭州质检）等比数列，，，…的第是 ．
25．（2011杭州质检）设n为正整数，，计算得，，，，观察上述结果，可推测一般的结论为 （nN*）．
26．（2011杭州质检）设数列的前n项和为，且，其中p是不为零的常数．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）当p=3时，若数列满足，，求数列的通项公式．
（1）证：因为Sn=4an– p（nN*）,则Sn – 1 = 4an – 1 – p（nN*， n2）,
所以当n2时，，整理得． 5分
由Sn=4an– p，令，得，解得．
所以是首项为，公比为的等比数列． 7分
（2）解：因为a1=1，则，
由，得 ， 9分
当n2时，由累加得
＝，
当n = 1时，上式也成立．
27．(2011湖北八校一联)
有下列数组排成一排：
如果把上述数组中的括号都去掉会形成一个数列：
则此数列中的第2011项是 （ B ）
A． B． C． D．
28．(2011湖北八校一联)
已知等比数列的各项都为正数，且当则数列
等于 。
29．(2011湖北八校一联)
已知数列
（I）李四同学欲求的通项公式，他想，如能找到一个函数 （A、B、C是常数），把递推关系变成后，就容易求出 的通项了，请问：他设想的的通项公式是什么？
（II）记都成立，求实数p的取值范围。
解：（Ⅰ）
,
所以只需,
,
,
.故李四设想的存在，.
,
5分
（Ⅱ）
, 7分
由，得 .
设，则
,
当时，
,（用数学归纳法证也行）
时， . 容易验证 ,时,,
,
的取值范围为 . 13分
30．（2011·湖北重点中学二联）已知数列是公差不为零的等差数列，成等比数列，则= 。
31．（2011·湖北重点中学二联）（本小题满分13分）
在数列
（I）若是公比为β的等比数列，求α和β的值。
（II）若，基于事实：如果d是a和b的公约数，那么d一定是a-b的约数。研讨是否存在正整数k和n，使得有大于1的公约数，如果存在求出k和n，如果不存在请说明理由。
解：（I）是公比的的等比数列
…………2分
即
又
………………4分
、是方程的两根
或…………6分
（II）假设存在正整数，使得与有大于1的公约数，
则也是即的约数
依题设，
是的约数…………8分
从而是与的公约数
同理可得是的约数依次类推，是与的约数……10分
，故
于是 ………………12分
又∵
是的约数和的约数
是即的约数
从而是即1的约数，这与矛盾
故不存在使与有大于1的公约数.
32、（2011·淮南一模）若数列的通项公式分别是，，且对任意 恒成立，则常数的取值范围是 ;
33、（2011·淮南一模）（本小题13分）
在数列中，任意相邻两项为坐标的点均在直线上，数列满足条件：， ()。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，求 成立的正整数的最小值。
解：（Ⅰ）依题意：
∴，（*）
∴，
∵， ∴. ∴ 数列{}是以2为首项，2为公比的等比数列.
∴ ，即为数列的通项公式。 ┉┉┉┉┉6分
（Ⅱ）
∴
∴
（3）-（4）得
10分
，即，
又当时，
当时，
故使成立的正整数的最小值为5 . ┉┉┉┉┉┉┉┉13分
34、. (2011·黄冈期末)已知数列中，是其前n项和，若=1，=2，且则_____6_____,
=____4021___ .
35．(2011·黄冈期末)（13分）已知数列满足，设数列的前n项和为，令
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：
1）解：由
得
得 整理得
从而有 是首项为1，公差为1的等差数列， ……………………6分
（2）证明：
即
……………………………13分
36. (2011·惠州三调)已知整数以按如下规律排成一列：、、、、，，，，，，……，则第个数对是（ ）
A． B． C． D．
【解析】C； 根据题中规律，有为第项，为第2项，为第4项，…，为第项，因此第项为．
37. (2011·惠州三调)（本题满分14分）
,是方程的两根, 数列是公差为正的等差数列，数列的前项和为,且.
(1)求数列,的通项公式;
(2)记=,求数列的前项和.
解：(1)由.且得 …………… 2分
, …………… 4分
在中,令得当时,T=,
两式相减得, …………… 6分
. …………… 8分
(2), ……………… 9分
,,
…………… 10分
=2
=, ………………13分
…………… 14分
38、(2011·锦州期末)设数列满足
，它的前项和为，则的最小为下列何值时S>1025 ( C )
（A）9 （B）10 （C）11 （D）12
39．（2011·金华十二校一联）设和是抛物线上的两个动点,且在和处的抛物线切线相互垂直, 已知由及抛物线的顶点所成的三角形重心的轨迹也是一抛物线, 记为．对重复以上过程,又得一抛物线，余类推．设如此得到抛物线的序列为，若抛物线的方程为，经专家计算得，
，
，
，
，
．
则= -1 ．
40．（2011·九江七校二月联考）（本小题满分12分）
已知数列中，，，其前项和满足（，
（1）求数列的通项公式；
（2）设为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．
解： (1）由已知，（，）， ………………2分
∴数列是以为首项，公差为1的等差数列．
∴ ……………4分
（2）∵，∴，要使恒成立，
∴恒成立，
∴恒成立，
∴恒成立． ……………………6分
（ⅰ）当为奇数时，即恒成立，
当且仅当时，有最小值为1，
∴ ……………8分
（ⅱ）当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值，
∴ …………10分
即，又为非零整数，则．
综上所述，存在，使得对任意，都有．…
41．(2011·南昌期末)已知数列的前项和为，且满足，则数列的公差是( C )
A． B． C． D．
42．(2011·南昌期末)已知下面数列和递推关系：
①数列{an}(an = n)有递推关系a n+2= 2an+1–an；
②数列有递推关系：
③数列有递推关系：
请猜测出数列的一个类似的递推关系：______.
43. (2011·南昌期末)（本小题满分14分）
已知各项均为正数的数列满足, 且,其中.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列满足,是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由.
(3) 令,记数列的前项积为,其中,试比较与9的大小,并加以证明.
21.解:(1)因为,即………1分
又,所以有,所以
所以数列是公比为的等比数列…………………………………………………2分
由得,解得
故数列的通项公式为…………………………………………4分
(2) =，所以，
若成等比数列，则，
即．…………………………………………………………5分
由，可得，所以，…7分
从而，又，且，所以，
此时．故当且仅当，.使得成等比数列………………8分
(3) 构造函数
则，…………………………………………………………9分
当时，，即在上单调递减，
所以，…………………………………………10分
所以，所以，…11分
记，
则，…………………………………………12分
所以：…………………13分
即，所以，所以………………………………………14分
44、(2011·日照一调)（本小题满分12分）
等比数列中，已知.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若分别为等差数列的第4项和第16项，试求数列的通项公式及前项和.
解：（Ⅰ）设的公比为,
由已知得，解得.所以. ……………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，则，,
设的公差为，则有 解得 ……………………8分
…………10分
且数列的前项和 ………12分
45、(2011·日照一调)（本小题共12分）
数列｛｝的首项=1，前项和为，点（, ）、（4, 10）都在二次函数的图象上, 数列满足.
（Ⅰ）求证: 数列｛｝是等差数列，并求数列的通项公式;
（Ⅱ）令cn=（） , =++.
试比较与的大小，并证明你的结论.
当时，＜，所以＜,
当时，＜ ，所以＜,
当时，＞，所以＞.………12分
46、（2011·三明三校二月联考）设等比数列的前项和为，已知，，则＝ 21 .
47． （2011·三明三校二月联考）（本题满分13分） 已知等差数列的首项，公差．且分别是等比数列的． （1）求数列与的通项公式；
（2）设数列对任意自然数均有：成立．求的值。
解：（1）∵a2=1+d ，a5=1+4d ，a14=1+13d，且a2、a5、a14成等比数列
∴ ∴
又∵. ∴
（2）∵ ① ∴ 即
又 ②
①－②：
∴ ∴
∴
48．(2011·汕头期末)在等比数列中，首项，，则公比为 ．
解：由题设可得，从而；
49．(2011·汕头期末)在中，是以为第三项，4为第七项的等差数列的公差，是以为
第三项，9为第六项的等比数列的公比，则 ．
解：．依设有，
所以.
50. (2011·汕头期末) (本小题满分14分)
已知数列满足如图所示的程序框图．
(Ⅰ)写出数列的一个递推关系式；
(Ⅱ)证明：是等比数列，
并求的通项公式；
(Ⅲ)求数列的前项和．
．解：（Ⅰ）由程序框图可知，， 2分
（Ⅱ）由，
且可知，数列是以为首项，2为公比的等比数列，可得，即，，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
， 9分
（Ⅲ）,
①,
②,
两式相减得
14分
51. （2011·上海普陀区高三期末）若数列对任意的都有，且，则= 40 .
52. （2011·上海普陀区高三期末）（本题满分20分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题10分.）
平面直角坐标系中，已知，…，是直线上的个点（，、均为非零常数）.
（1）若数列成等差数列，求证：数列也成等差数列；
（2）若点是直线上一点，且，求的值；
（3）若点满足，我们称是向量，，…，的线性组合,是该线性组合的系数数列.
当是向量，，…，的线性组合时，请参考以下线索：
① 系数数列需满足怎样的条件，点会落在直线上？
② 若点落在直线上，系数数列会满足怎样的结论？
③ 能否根据你给出的系数数列满足的条件，确定在直线上的点的个数或坐标？
试提出一个相关命题（或猜想）并开展研究，写出你的研究过程.【本小题将根据你提出的命题（或猜想）的完备程度和研究过程中体现的思维层次，给予不同的评分】
解：（1）证：设等差数列的公差为,
因为，
所以为定值，即数列也成等差数列.
（2）证：因为点、和都是直线上一点，故有()
于是，
| 令，则有. | |
| （3）（理科） 提出命题：（在本题大前提下）若点满足，则系数数列的和是点在直线上的充要条件. 证明：设，由条件， 先证充分性：“当时，点在直线上”. 因为， 故 而（），所以
当时，即有，即点在直线上. 再证必要性：“若点在直线上，则.” 因为， 故 而因为（），所以
又因为点在直线上，所以满足，故. 补充：由以上证明进一步可知，对于直线上任一点，若满足，则都有. |
54、（2011·上海长宁区高三期末）如图，连结的各边中点得到一个新的，又的各边中点得到一个新的，如此无限继续下去，得到一系列三角形，，，， 这一系列三角形趋向于一个点。已知，则点的坐标是（A ）
Ａ、 Ｂ、 Ｃ、Ｄ、
55、（2011·上海长宁区高三期末）（本题满分18分，第（1）小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知点，，…，（为正整数）都在函数的图像上，其中是以1为首项，2为公差的等差数列。
（1）求数列的通项公式，并证明数列是等比数列；
（2）设数列的前项的和，求；
（3）设，当时，问的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；
解：（1），（ ，
…………………………………………………. 2分
，，是等比数列。
…………………………………………………. 4分
(2)因为是等比数列，且公比，，。
…………………………………………………. 6分
当时， ；
…………………………………………………. 7分
当时，。
…………………………………………………. 9分
因此，。
…………………………………………………. 10分
（3），，
………………………………………………….12分
设，当最大时，则，
…………………………………………………. 14分
解得，，。
…………………………………………………. 16分
所以时取得最大值，因此的面积存在最大值。
…………………………………………………. 18分
56、 （2011·泰安高三期末）等差数列{an}的前n项和Sn，若a3+ a7- a10=8, a11- a4=4,则S13等于( A )
A.152 B.154 C.156 D.158
57. （2011·泰安高三期末）（本小题满分12分）
已知数列{an}和{bn}满足： a1=，an+1=an+n-4，bn=（-1）n（an-3n+21），其中为实数，n为正整数.
（Ⅰ）证明：对任意实数，数列{an}不是等比数列；
（Ⅱ）证明：当≠-18时，数列{bn}是等比数列.
解：（Ⅰ）证明 假设存在一个实数，使{an}是等比数列，则有a22= a1a3，……（2分）
即矛盾.
所以 对于任意，{an}不是等比数列. ………………………………………………（6分）
(Ⅱ)证明 因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3（n+1）+21］=(-1) n+1
=-……………………………………………………（10分）
又≠-18，所以b1=-(+18)≠0. ………………………………………………………（11分）
由上式知bn≠0，所以
故当≠-18时，数列{ bn}是以-(+18)为首项，-为公比的等比数列. ………（12分）
58．（2011中山期末）数列的前项和为，若，，则
23 ．
59．（2011中山期末）(本小题满分14分)
已知是各项为正数的等比数列， 且 ，
是和的一个等比中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若的公比，设，求数列的前项和．
解：（1）是各项为正数的等比数列，且
，
即：
由 或
当 时，舍去），
② 当 时，舍去），
（2）若 ，则:
+
+
两式相减得：
60. （2011苏北四市二调）（本小题满分16分）已知数列的前项和为，且满足，，其中常数．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）若，求数列的通项公式；
（3）对于（2）中数列，若数列满足（），在与 之间插入（）个2，得到一个新的数列，试问：是否存在正整数m,使得数列 的前m项的和?如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由.
解：（1）∵，∴，∴，
∴，∴， …………………………………4分
∵，∴，∴
∴，∴数列为等比数列．
（2）由（1）知，∴ ……………………………8分
又∵，∴，∴，∴ ……………………………10分
（3）由（2）得，即，
数列中，（含项）前的所有项的和是：
…………………12分
当k=10 时，其和是
当k=11 时，其和是
又因为2011-1077=934=4672，是2的倍数 ………………………………14分
所以当时，，
所以存在m=988使得 ……………………………………16分
61．（ 2011·温州八校联考）数列满足，记数列前n项的和为Sn，若对任意的 恒成立，则正整数的最小值为 （ A ）
A．10 B．9 C．8 D．7
62．（ 2011·温州八校联考）等比数列中，，函数，则函数f（x） 在点处的切线方程为 _____y=_____ 。
63．（ 2011·温州八校联考）将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。那么，所有的三位数中，奇和数有__100________个。
、 （2011·温州十校高三期末）
数列是等差数列，若，且，它的前项和有最大值，那么当取得最小正值时， （ C ）
（A） （B） （C） （D）
65、（2011·温州十校高三期末）我国的刺绣有着悠久的历史,下图（1）、（2）、（3）、（4）为刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮;现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形.则的表达式为
66、（2011·温州十校高三期末）设是等差数列，从中取3个不同的数，使这3个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列有 180 个
67. （2011烟台一调）等比数列{an}中，a3=6，前三项和，则公比q的值为( C )
A.1 B. C.1或 D.或
68. （2011烟台一调）设是从-1，0，1这三个整数中取值的数列，若，则中数字0的个数为( A )
A.11 B.12 C.13 D.14
69. （2011烟台一调）（本小题满分12分）
设数列的前项和为，且bn=2-2Sn；数列{an}为等差数列，且a5=14，a7=20.
（1）求数列的通项公式；
（2）若(=1,2,3…)，为数列的前项和.求.
解：（1）由，令，则，又
所以
当时，由，可得
即 所以是以为首项，为公比的等比数列，
于是
（2）数列为等差数列，公差,可得 从而
，
.
70．（2011镇江高三期末）在等比数列中,若,则的值是 4 .
71. （2011镇江高三期末）已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中都是大于1的正整数，且，对于任意的，总存在，使得成立，则 .
72. （2011镇江高三期末）已知公差大于零的等差数列的前项和，且满足：，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若,是某等比数列的连续三项，求值；
（3）是否存在常数，使得数列为等差数列，若存在，求出常数；若不存在，请说明理由.
（1）解：为等差数列，∵，
又，∴，是方程的两个根
又公差，∴，∴，.
∴ ∴
∴.…………5分
（2）由,是某等比数列的连续三项，，
即 ，
解得.
（3）由(1)知，,
假设存在常数，使数列为等差数列，
【法一】由，
得,
解得.
,易知数列为等差数列.
【法二】假设存在常数，使数列为等差数列，由等差数列通项公式可知，
得恒成立，可得.
,易知数列为等差数列.
【说明】本题考查等差、等比数列的性质，等差数列的判定，方程思想、特殊与一般思想、待定系数法.
Copyright © 2019-2025 51dongshi.net 版权所有
违法及侵权请联系：TEL:177 7030 7066 E-MAIL:11247931@qq.com 本站由北京市万商天勤律师事务所王兴未律师提供法律服务
