江西省南昌市2017届高三第三次模拟考数学(文)试题

江西省南昌市2017届高三第三次模拟考试题

文科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：

1．答卷前，考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效． 3．考试结束后，监考员将答题卡收回． 参考公式：

圆锥侧面积公式：S rl π=，其中r 为底面圆的半径，l 为母线长．

第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）

一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的. 1．已知2(1)z m mi =-+在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ． (1,1)- B ．(1,0)- C ．(0,1) D ．(,1)-∞ 2．已知集合{|05}A x R x =∈<≤，2{|log (2)2}=∈-A ．(25]-，

B ．[25]-，

C ． (25]，

D ． [25]，

3．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：发仓募粮，所募粒中秕不百三则收之(不超过3%)，现抽样取米一把，取得235粒米中夹秕n 粒，若这批米合格，则n 不超过（ ） A ．6粒 B ．7粒 C ．8粒 D ．9粒

4．已知33

2333

233332

6

12201+2=()1+2+3=()1+2+3+4=()2

22

，

，，若333331+2+3+4++n =3025，则n =（ ）

A ．8

B ．9

C ．10

D ．11

5．已知))sin(),(cos(),sin ,(cos αααα--==，那么0a b ⋅= 是)(4

Z k k ∈+=π

πα的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 6．函数sin ()2x

x

f x e

=

的图象的大致形状是（ ）

— 高三文科数学(模拟三)第2页(共4页) —

4

2

26

7．已知直线:=-l y kx k 与抛物线C ：24=y x 及其准线分别交于,M N 两点，F 为抛物线的焦

点，若2FM MN =

，则实数k 等于（ ）

A

．3

± B ．1± C

． D ．2±

8．已知函数()2

cos 2(,)f x a x bx a R b R =++∈∈，()f x '为()f x 的导函数，则()2016f

()(2016)2017(2017)f f f ''--++-=（ ）

A ．4034

B ．4032

C ．4

D ．0

9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）

A ．12

B ．24

C ．36

D ．48 10．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且124

F PF π

∠=,则椭圆和

双曲线的离心率乘积的最小值为（ ）

A ．

12 B ．2 C ．1 D 11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ） A ．16 B ．24 C ．48 D ．72 12．方程2

sin 20([2,3])21

x x x π-=∈--所有根之和为（ ） A ．

3

2

B ．1

C ．2

D ．4 第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）

本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答. 第22题～第23

题为选考题，考生根据要求作答.

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分. 13. 函数()f x =的定义域为 .

14. 已知向量(,),(1,2)a m n b ==- ，若||(0)a a b λλ==<

，则m n -=

.

sin 360°是

结束输出n s ≥3.102n

n=开始

— 高三文科数学(模拟三)第3页(共4页) —

15. 若变量y x ,满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≤-≤+≥0262y x y x x ，则目标函数y x z -=的最大值是 ．

16. 定义域为R 的函数()f x 满足(+3)=2()f x f x ，当[1,2)x ∈-时，2|1|

,[1,0)()=1(),[0,2)2

x x x x f x x -⎧+∈-⎪

⎨-∈⎪⎩ ． 若存在[4,1)x ∈--，使得不等式234()t t f x -≥成立，则实数t 的取值范围是 ．

三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分12分) 已知数列{}n a 满足2

312232222

n n a a a a n n ++++=+ . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若(1)2

n n

n a b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S .

18．(本小题满分12分) 某超市计划销售某种产品，先试销该产品n 天，对这n 天日销售量进行

统计，得到频率分布直方图如图．

（Ⅰ）若已知销售量低于50的天数为23，求n ； （Ⅱ）厂家对该超市销售这种产品的日返利方案 为：每天固定返利45元，另外每销售一件产品， 返利3元；频率估计为概率．依此方案，估计 日返利额的平均值．

19．(本小题满分12分) 如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为平行四边形，平面⊥PAB 平面ABCD ，PC PB =,︒

=∠45ABC . （Ⅰ）求证:AB PC ⊥；

（Ⅱ）若三角形PAB 是边长为2的等边三角形， 求三棱锥ABC P -外接球的表面积.

P

D

C

B A

— 高三文科数学(模拟三)第4页(共4页) —

20．(本小题满分12分) 如图，已知直线:1(0)l y kx k =+>关于直线1y x =+对称的直线为1l ，

直线1,l l 与椭圆2

2:14

x E y +=分别交于点A 、M 和A 、N ，记直线1l 的斜率为1k . （Ⅰ）求1k k ⋅的值；

（Ⅱ）当k 变化时，试问直线MN 是否恒过定点?

若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由.

21．（本小题满分12分）设函数1

()f x x x

=-

，()ln g x x =. （Ⅰ）求函数2()5()y f x g x =-的单调区间；

（Ⅱ）记过函数()()y f x mg x =-两个极值点,A B 的直线的斜率为()h m ，问函数

()2y h m m =+2-是否存在零点，请说明理由.

请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线

C 的参数方程为1cos sin x y θ

θ

=+⎧⎨=⎩ （θ为参数）.

（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；

（Ⅱ）若曲线C 向左平移一个单位,再经过伸缩变换2x

x

y y '=⎧⎨'=⎩

得到曲线C '，设(,)M x y 为曲线

C '上任一点，求2

24

x y -的最小值，并求相应点M 的直角坐标.

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数()|23||1|.f x x x =++- （Ⅰ）解不等式()4f x >； （Ⅱ）若存在3

[,1]2

x ∈-使不等式1()a f x +>成立，求实数a 的取值范围．

— 高三文科数学(模拟三)第5页(共4页) — o

E

D

C

B

A

P

NCS20170607项目第三次模拟测试卷

文科数学参及评分标准

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一

13．{|10}x x x ≤-=或 ; 14. 6-; 15. 2; 16.(,1][2,)-∞+∞ 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 17.【解析】（Ⅰ）

2

312232222n n a a a a n n ++++=+ ……①， ∴当2n ≥时，

23

112231(1)12222

n n a a a a n n --++++=-+- ② ①-②得

2(2)2

n

n a n n =≥，∴12(2)n n a n n +=≥. …………5分 又∵当1n =时，

1

112

a =+， ∴14a =，∴12n n a n +=. …………6分 （Ⅱ）(1)(2)2

n n n

n a b n -=

=-,1231(2)2(2)3(2)(2)n n S n =⨯-+⨯-+⨯-++⨯- ……③ 234

(2)1

(2)2(2)3(2)(1)(2)+(2)

n

n n S n n +

-=⨯-+⨯-+⨯-++-⨯--

……④ ∴2341

12[1(2)]

3(2)+(2)(2)(2)(2)(2)

(2)3

n n n n n S n n ++---=--+-+-++---=--

∴1(31)(2)2

9

n n n S ++-+=-. …………12分

18.【解析】（Ⅰ）日销售量低于50的频率为0.016100.03100.46⨯+⨯=，

∴

23

0.46n

=，∴50n =. …………6分 （Ⅱ）依此方案，日返利额的平均值为

1500.161800.32100.42400.12700.04196.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）． …………12分

19.【解析】（Ⅰ）作PO AB ⊥于O ……①,连接OC ，

∵平面⊥PAB 平面ABCD ，且PAB ABCD AB = 面面 ， ∴PO ⊥面ABCD .

— 高三文科数学(模拟三)第6页(共4页) —

∵PC PB =，∴POB POC ∆≅∆,∴OB OC =，

又∵︒

=∠45ABC ，∴OC AB ⊥……②

又PO CO O = ,

由①②，得AB ⊥面POC ，

又PC ⊂面POC ，∴AB PC ⊥. …………6分 （Ⅱ）∵三角形PAB 是边长为2的等边三角形，∴1PO OA OB OC ====. ∵PO ⊥面ABCD ，PO

OA OB OC >==,线段PO 上取点E ，∴EA EB EC ==,

E 是外接球的球心，设三棱锥ABC P -外接球的半径为R

，

,EO R EC R ==,

222EC EO OC =+, 2221)R R =+，3

R =

∴2

13

S R π

π==

. …………12分 20.【解析】（Ⅰ）设直线l 上任意一点(,)P x y 关于直线1y x =+对称点为000(,)P x y 直线l 与直线1l 的交点为(0,1)，

∴11:1,:1l y kx l y k x =+=+

10

11

,y y k k x x --=

=，由00122y y x x ++=+ 得002y y x x +=++……..① 由00

1y y x x -=--得00y y x x -=-…….② 由①②得 00

1

1y x y x =+⎧⎨

=+⎩

0000100

()1(1)(1)(2)11yy y y x x x x kk xx xx -++++-+++===. …………6分

（Ⅱ）设点1122(,),(,)M x y N x y ，由122

11114

y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22

11(41)80k x kx ++=， ∴2841M k x k -=+，∴2

21441

M k y k -=+.

同理：122188414N k k x k k --==++，22122

1144

414N k k y k k

--==++ …………8分 2242222

22

144

881

414888(33)3414M N MN M N k k y y k k k k k k k x x k k k k k ---

--+++====------

++ …………9分 :()M MN M MN y y k x x -=-，∴222

21418()41341

k k k

y x k k k -+--=--++

即：

2222

22

18(1)1415

33(41)4133

k k k k

y x x

k k k k

++-+

=--+=--

++

…………11分

∴当k变化时，直线MN过定点

5

(0,)

3

-. …………12分

—高三文科数学(模拟三)第7页(共4页) —

— 高三文科数学(模拟三)第8页(共4页) —

21.【解析】（Ⅰ）22()5()25ln y f x g x x x x

=-=--， ∴2222

25252(21)(2)'2x x x x y x x x x -+--=+-== ……3分 ∴函数2()5()y f x g x =-在1

(0,)2上递增，在1[,2]2

上递减，在(2,)+∞上递增.……5分 （Ⅱ）1()()ln (0)y f x mg x x m x x x =-=-->，221'x mx y x

-+=， 设2()1p x x mx =-+,设两个极值点1122(,),(,)A x y B x y ， …………6分 ∵函数有两个大于零极值点，

∴2

=40m ∆->，得2m >且1212,1x x m x x +== AB 斜率2121

()y y k h m x x -==- 221121122112

11ln ln ln ln 2x m x x m x x x x x m x x x x -

--++-==--- …………8分 12121212

ln ln ln ln ()222222x x x x y h m m m m m m x x x x --=+-=-+-=--- 由题意函数存在零点即1212

ln ln 2x x x x -=-有解，两根均为正且121x x =， …………9分 若12x x <，则1201,1x x <<>，消元得222212ln

ln 2x x x x -=- 整理得2221ln 0x x x --= 令1()ln q x x x x =--，则222

111()10x x q x x x x -+'=+-=≥， ∴()q x 在区间(1,)+∞上单调递增，

∴()(1)0q x q >=，

∴函数()22y h m m =+-没有零点. …………12分

— 高三文科数学(模拟三)第10页(共4页) — 22.【解析】（I ）由 1cos sin x y θθ

=+⎧⎨=⎩（θ为参数）得曲线C 的普通方程为22(1)1x y -+= 得曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. …………4分

（Ⅱ）22

(1)1x y -+=，向左平移一个单位再经过伸缩变换2x x y y '=⎧⎨'=⎩得到曲线C '的直角坐标方程为2214x y +=，设(2cos ,sin )M αα

，则2

222cos cos sin 4x y a a αα--=--

cos222cos(2)3

a παα==+ …………7分 当3

k παπ=+

时，2

24x y --的最小值为2-， 此时点M

的坐标为

或(1,-. …………10分 23.【解析】（Ⅰ）()|23||1|.f x x x =++-33223()412321x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪∴=+-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩

， ∴3311()42232432444

x x x f x x x x ⎧⎧><--≤≤⎧⎪⎪>⇔⎨⎨⎨+>⎩⎪⎪-->+>⎩⎩或或211x x x ⇔<-<≤>或0或. 综上，不等式()4f x >的解集为(,2)(0,)-∞-+∞U . …………5分 （Ⅱ）存在3[,1]2

x ∈-使不等式1()a f x +>成立min 1(())a f x ⇔+> 由（Ⅰ）得，3[,1]2x ∈-

时，()4f x x =+，()4f x x =+时，min 5(())2f x = ∴512a +>， ∴32a >，∴实数a 的取值范围为3+2

∞（，）. …………10分