分阶段的风险投资

Susheng Wang, Hailan Zhou

41204474 向洁薇

摘要：

这篇文章研究在企业家面对一个不完美的资本市场，并且投资者面临道德风险和不确定性的环境下，分阶段投资的问题。分阶段投资在这个模型中扮演两个角色：风险控制和缓解道德风险。通过使用参数模型和比较预先支付投资的分阶段模型，我们发现了分阶段投资的一些有趣的特点。尤其是当它在分配合同中使用时，我们发现分阶段投资在控制代理问题方面发挥了高效的补充作用。

1.介绍

分阶段投资在风险投资领域，尤其是在美国被广泛的使用。那么分阶段投资是否能被风险投资者用于降低风险和控制道德风险么？特别是对高期望的公司而言，分阶段投资能否提高效率呢？

许多初创的公司的突出特征之一是由于回报的不确定性并且缺乏大量的有形资产和运营成果的记录，高科技产业的风险都很高。许多的高科技创业公司在开始盈利之前往往会面临多年的亏损。根据贝格曼和海格的在1998年的研究，这样的项目中，只有20%或者更少比例能让投资者通过IPO来实现的套现。在这样的情况下，银行和其他的中介是不情愿甚至是拒绝为这些公司提供融资的。而且，这些金融中介通常缺少关于投资年轻的高风险公司的专业知识。这造成的结果就是，为了获得必要的资金和来自风险投资者的关于管理和融资方面的经验，这些创业者必须以股权的形式向风险投资者提供其参与到经营活动中的报酬。

风险投资的关键特征在于分阶段的承诺资金并且保留放弃该项目的权利。风险投资者不是在一开始就提供所有需要的资金，而是分阶段的投资来控制项目。分阶段投资使得风险投资者在决定追加投资前能够很好的监管公司。在监管过程中所了解到的关于项目可行性的信息可以避免让投资者的钱打了水漂。它减少了因为低效的延续所导致的损失，并且创建一个风险资本的退出期权。项目的风险越高，这个暂停权类似于债券,因为它了潜在的经济损失。

此外,通过监管和可信的威胁中止,风险资本家能够更好地控制潜在的道德风险。合资企业中有许多的代理成本。如果现金流是不能完全核实的，企业家可能占用投资。如果付出的努力是不能核实的，企业家就可能逃避工作职责。除此以外，如果延续一个项目会给企业家带来私人收入，那么即使项目的预期收益为负，他们还是会继续这个项目。冈波斯在存在道德风险的情况下，进行了关于影响分段投资结构的因素的实证研究。他表明,在投资到普遍存在着道德危险的高风险企业时,分段投资允许风险资本家收集信息和监控项目的进展,同时保持选择暂停的权利。

像近期一些的论文一样，我们的论文为分阶段性融资在风险投资中对控制风险和道德风险的作用，提供了提供一个正式的模型。通过分析分阶段投资和合同之间的互补性，我们发现了一个封闭解。我们关注在投资新创业公司中的道德风险和不确定性的问题。具体来说,我们考虑一个受到资金的企业家和一个对这个企业感兴趣的风险投资者。这个项目是有风险和企业家的努力是无法核实的。这个企业家面对一个不完美的资本市场，并且这个风险投资是唯一理解该项目的潜在投资者（即，这个风险投资者知道产出的分布函数）。风险投资提供了一个分配合同和对项目进行战略上的分段投资。使用参数的函数,我们可以得到一些分段投资的有趣属性。我们的研究结果清楚地表明,除了分配合同,分段融资对于风险资本家而言是一种能够减少代理成本、控制风险的有效机制。

由于分段融资的灵活性,许多本来采用预付资金融资时就被放弃的项目,变得有利可图。我们展示了分段投资的效率接近了最有前途的公司的最优。然而，在社会福利方面，与预先资金融资相比，分段融资并不是总是具有优势的。如果这个项目看起来没有前途，那么分段融资劣于预付资金融资。因为当项目看起来没有前途时，风险投资者可能项目的前期投资不足，导致一个可行的项目失败，并且，社会福利也会遭受损失。

一个最近的相对短的讨论风险资本的文献,强调了企业家激励机制的作用,并研究风险资本融资如何减轻动机扭曲。萨尔曼(1990)讨论了风险资本的各个方面尤其强调了其中的代理问题。萨尔曼关注法律定义,组织形式和风险投资家、投资者和企业家之间的关系。我们理论上的发现符合萨尔曼的观察,分段融资是风险投资家能采用的、最有效的、处理代理问题的控制机制。马蒂和佩里(1991)考虑强制执行的合同时不可能的情况，合同一旦被执行，投资就是沉没成本了。在这种情况下,阶段性融资被用作降低承诺的成本。然而，我们允许有一个强制执行的收益分配合同。因为在现实中一个公司的收入可以被审计的，简单的收入分配合同在法律上通常是强制性的。阿德马蒂和菲德耐，考虑了稳健的、能够在投资中引起最优延续性决策的合约。他们的合约让风险投资者拥有固定比例的回报。在他们的模型中,第一次投资是给定的,而第二次投资内生的。在我们的模型中,投资总额是给定的,而跨期投资的分配是内生的。第二个关键的区别是,当风险投资提供金融投资, 我们的模型中的企业家也做出了不可或缺的(非金融)努力; 阿德马蒂和菲德耐并没有考虑企业家的这种作用。通过使用来源于风险经济的一个独特的数据集,赫尔曼(1994)认为,风险资本家为了避免风险而采用分段投资,但与此同时,分段融资导致了企业家的短期行为。为了解决这种短期主义,风险投资家被分配更大的份额,激励他们去监督企业家。我们阐释了在股权融资中，分段融资对高潜力的企业而言几乎是最优的,表明由分段投资造成的短期主义的后果很轻微。冈珀斯(1995)提供了在代理和监管成本存在时，风险资本的实证研究。他的实证结果与我们对代理成本的作用和事后再融资的决定的理论预测相一致。雷普略和苏亚雷斯(1998)在双重道德风险和两阶段融资模型中的最优契约类似于可转换的优先股。在他们的模型中, 每一期投资的数量都是外生给定的,而我们能解决跨期的资金优化配置。在我们的模型中，投资分配的内生性在缓解道德风险上起着重要作用。贝尔格曼和海格(1998)强调在分段融资中，风险投资者学习的潜力。在他们的模型中，企业家付出的努力并没有被考虑，但是考虑了一个阻止偷窃的激励条件。在我们的模型中, 无法核实的企业家的努力起着至关重要的作用。内尔(1999) 研究了在不存在风险和代理问题的模型下，分段融资如何缓解企业家的承诺问题。通过分段投资,早期投资创造了抵押品，这样在未来劣势的重新谈判中，就能保护风险投资者的所用权。对于内尔(1999)的补充,我们通过禁止重新谈判，避免了承诺问题;相反,我们关注的是一个风险项目的代理问题。

这篇文章的结构如下。在下一节中,我们定义了存在不确定性和道德风险环境下风险资本融资的模型。在第三节,我们考虑了模型的一些变式, 包括在没有事后重新谈判的情况下，分段融资和预先支付融资的最优解和次优解。在第4部分中,我们讨论了在我们的模型中，分段融资的属性和特征。最后,第五节总结全文。

2.模型

2.1. 项目

考虑一个依靠风险投资者来投资的创新企业家。这个项目将延续两个阶段。企业家的努力,x，适用于整个两个时期,并且风险投资在两个时期中提供的总投资额,k。企业家投入努力的成本为c(x)。如果在两阶段中，企业家投入的努力为x，风险投资者投资的资金为k，那么预期的产出为F(x,k)。这个产出面对一个随机冲击μ，因此实际产出为y =uF(x,k)。在第一阶段（事前）一开始，风险投资者就知道μ的分布函数，而且，这个冲击在第二阶段（事后）一开始就发生了而且被公众了解了。

风险投资者在第一阶段一开始提供总额为k1的资金。在第二阶段开始，不确定性被实现了之后，风险投资者考虑提供总额为k2。为了在第二阶段的最后实现收益，必要投资为k，即k 1+ k2>k.

如果这个项目被企业家或者风险投资者中途放弃了，这个项目就没有产出，并且初始投资k1也损失了。企业家对这个项目而言是很重要的。没有企业家，这个项目是不可能成功的。根据已有的合同，企业家和风险投资者会在项目的最后分配收益。

2.2.合同作为一个典型的代理模型，我们假设在事前，只有产出是可缩小的1。具体来说，企业家的努力x是不可核实的，并且，风险投资者的投资策略是不可缩小的。后者与风险投资者在未来有权利放弃项目的现实相一致。因此，我们的模型中有双重道德风险2。

通常，风险投资者有两种融资方式：股权融资和债券融资3。因为如果项目失败，企业家没有钱去偿还债务，所以我们建设只有股权融资。换言之，风险投资者提出的合同按（s,1−s）的比例对产出进行分配，企业家占比s ,风险投资者占比1-s。考虑到企业家的努力x、随机冲击μ，风险投资者会提供分配合同并

且分段对项目进行融资。变量s、x、k

1、k

2

是内生的、在均衡状态下决定的。

稍后我们会证明，在分段投资下，最优的股权合同能近似高潜力公司的最好状态。因此，有束缚的分配合同并没有损失很多的效率。这也许是为什么分配合同在风险资本投资中被广泛引用的原因。

当μ在事后发生后，一些的信息变得可知了，双方也许会想要重新协商合同。我们会考虑允许和不允许事后重新协商的情况。再谈判可以保证事后的效率，但是也会导致事后的机会主义，造成事前的低效率。换句话说，这里有一个权衡：没有重新谈判可能导致时候的没有效率；但是重新谈判可能会导致事前的低效率。结果，现实中的经济主体又是致力于取消重新谈判。比如，在很多情况下，通过法律阻止再谈判，尤其是在声誉很重要的环境下，经济主体可能邀请第三方来强制执行无再谈判。在我们的理论分析中，我们会认为这两种情况同等重要，所以两者都会考虑。

2.3.时机

图1中阐释了事件的时机。

（1）在t=0时，风险投资者提出分配合同（s,1−s）给企业家，并且确定投

资计划(k1,k2 )；如果合同被接受了，风险投资者就投资k1，企业家就投入x的努力，导致c(x)的成本。

（2）在t=1时，不确定性已经被解决了。风险投资者考虑暂停或者再次谈判。如果项目运行不好，她可能会放弃项目，不追加k2的投资。如果项目效果一般，她需要在协商新的合同。如果项目很好，她会继续投资这个项目，并且提供需要的投资k2，另一方面，在我们的模型中，企业家完全不想在协商，因为一旦项目开始了，他就已经开始付出努力了。

（3）在t=2,时，这个项目就完成了，企业家和风险投资者会基于已有的合同1对此，已知的理由是在实际中，典型的合同是简单的，通常基于一些著名的综合措施。

2指的是金和王（1998）对于有双重道德风险的代理问题的理论基础。

3许多的金融中介，比如银行，使用债券融资时因为他们被禁止使用股权融资。许多研究者，比如萨尔曼（1990），特别定义风险资本为通过股权融资的资金。

分配产出。

图 1 事件时间轴

2.4.假设

为了是模型易于处理，一些假设是必要的。首先，我们假设资本投资k是不可分割的。这意味着这个项目要求的最小资金投入为k。换言之，k 是一个给定的常量，也就是说在x的努力下，当且仅当资本投资不少于k时，这个项目能产生F(x,k)的产出。风险资本融资关注新产品的存活率。为了发展这个新产品，确定量的资金是必要的，即我们的常量k。

然而，虽然k 是固定的，但是风投者可以分配这个必要投资为两部分，k1和k2，到这两个阶段，并且，风投者有权选择在事后放弃这个项目，不再提供计划的资金k2。虽然投资在两期中的分配情况不会直接影响产出，但是它可能影响企业家的工作的动力，因此间接产出。风险投资者可能在事后从不确定性的解决中获利。不过，事后投资给企业家施加了风险（来自于风投者暂停和再谈判的权利），这可能会导致他们更少的工作。因此，为了均衡企业家的工作激励并且从随后的投资中获益，风险投资者需要合理的分配投资。

假设产出的线性公式为f (x)= αx，并且产出的公式为y = uf (x)，其中u 在事前是随机的，在事后是可观测的4。为了得到一个封闭解，我们也将使用以下的特别的参数方程：

C(x)=1

β

xβ,witℎ β≥1.

μ~U[0，2]

U[0，2]表示在[0，2]的间隔中均匀分布。这个两个公式并不是必要的，但是他们能产生一个唯一的封闭解，这样我们能更快的得到一些清晰地结论。这里，μ<1意味着产出的收缩，μ>1意味着产出的扩张，当β→∞时，成本在均衡解的情况下趋近于0。

最后，假设企业家和风险投资者在收入上都是风险中性。为了简化，也假设

4因为k是固定的，我们的产出公式αx-c(x)实际上等同于h1(x)h2(k)-C(x)，其中增加的凸面h i(·)和曲面C(·)。尤其，对于产出技术而言，投入x、k的可分性是典型的假设-----柯普-道格拉斯的公式就是一个例子。

没有时间偏好的折现，并且没有跨期利率。

3.风险资本投资

在这个部分，我们检测模型中的几个变量。在前面的两个小节，我们禁止事后的再协商。在第三个小节，我们禁止分段投资；在这个情况下，重新谈判不再重要。在最后一个小节，我们允许事后再谈判。

3.1.分阶段投资

在这个小节，我们在没有重新谈判的情况下讨论分段投资。在第二阶段一开始，给定投资k1,企业家的努力程度x，和已知的不确定性μ，投资者会决定是否继续投资这个项目还是放弃项目。因为，企业家总是希望项目继续，所以只有

投资者的再融资的决定是重要的。使得μ̅=

k−k1

αx(1−s)

。考虑到投资者事后的个人

理性约束，只有当μ≥μ̅时，投资者会继续融资，否则，投资者会停止投资这个项目。

因此，μ̅为终止投资的阈值。投入的努力x越多，企业家分配的份额s越小，最初的投资k1越大，这个阈值越低，再融资的可能性就越大。

考虑到事后终止的可能性，企业家预期的项目回报为：

πEN=∫Sαμxg(μ)dμ

∞

μ̅

−C(x)

假设是努力的区间,是资本的区间。假设企业家的保留收益为0，风险投资者事前收益最大化的问题即为：

就是说，基于事后的个人理性约束μ≥μ̅，风险投资者会最大化她的事前收益。等式1a是企业家事前的个人理性约束，等式1b是企业家的激励约束。我们称这种情况下的解为次优解。

需要注意的是，在不存在重新谈判时，投资者的时候收益可能没有被最大化。这个消除了投资者时候的机会主义，并且避免了企业家事前的激励问题。在3.4中，这个会被取消。

从下面可以看出，问题(1)被发现拥有一个唯一的封闭解。这个问题的派生和所有其他的解被展示在附录A中。

解1。在没有重新谈判的分段投资情况下，次优解为：

3.2.最优解

现在，我们假设企业家的努力是可以核实的。在没有道德风险的情况下，投资者可以要求一定努力水平并且无需在合同中不提供大量激励，分段投资仅仅被用于控制风险。我们称这种情况下的解为最优解。

通过去掉问题(1)中的激励约束，投资者的问题变为：

这个问题(2)也有一个唯一的封闭解，它的解如下：

解2，在没有在协商的分段投资情况下，最优解为：

从个人理性约束(2a),我们可以看出风险投资者要么通过一个较高的分配比

来保持企业家对项目的兴趣。因此，这个最优例s，要么通过较高的期初投资k

1

解并不是指投资者应该保留所有的投资直到第二期。

注意1：我们的模型中没有对初期的最小投资额提出约束，比如,给定。然而，这并不会影响我们的主要结论。比如，对于解1，在最小的初始投资要求条件下，需要：

这是这个参数在最小值约束下的数量。

注意2：我们隐含了假设：公司所有的投资都转化为公司特有的（物质的）资产。就是说，我们假设当公司在事后被放弃的时候，公司没有清算价值。如果我们公司的清算价值不为零，这个解也不会改变很多。更具体来说，在给定初始投资k1，假设公司能做事后变现得到λk1，并且0≤λ<1。为了与现实一致，我们假设风险投资者得到这个部分清算价值。然后，在给定事前合同的情况下，公司当且仅当在时，公司会在事后被清算。因此，事后的预期效用值为：

我们发现在这个问题中的次优和最优解和解1和解2中的次优和最优解相同，除了最优的第二阶段投资分别应该改为和，k2∗和k2∗∗的定义在解1和解2中（见附录A）。

3.3.前期投资

在这个部分，我们会考虑风险投资被要求，在前期投资全部资产k的情况。这个情况下，风险投资者丧失了中止权。她只能在项目的最开始进行是否投资的两重选择。努力程度是不可证实的，并且分配合同格式现在唯一的控制道德风险的工具。

在取消资本要求和问题（1）中的，风险投资者事后的个人理性假设，风险投资者的问题变为：

这个问题（3）被发现有如下的、唯一的封闭解：

解3.在这个前期投资的情况下，次优解为:

不同于阶段投资，在前期融资中，企业家的个人理性约束是不具有约束力的。企业家能够在事前赚取超额盈余。风险投资者不能索取所有的盈余的原因在于，在前期融资中，她唯一的控制道德风险和降低风险的工具只有收入的分配合同。在分段投资中，风险投资者有两个工具，在t=0是签订合约，在t=1时投资。分段投资给了风险投资者额外的权利，允许其征收所有的事前盈余。

3.4.再谈判

在这个部分，我们允许了事后在谈判的可能性。当在事后，不确定被消除之后，这个项目可能是坏的或者一般的，因此在现有的合同下，风险投资者会不愿意继续投资。然而，这个可能依然是可行的。在这个情况下，企业家除了和风投重新协商新的合同外没有别的选择。我们假设风投有控制权，因此她能在事后的再谈判中获得所有的效益。

在真实的世界中，当项目表现糟糕时，它将会被放弃。当它表现一般时，风险投资者将会夺取公司的控制权，而且，她通常会开除企业家，用从市场上专业经理人代替他。因此，我们关于风险投资者控制权的假设是符合实际的，虽然，如同在随后的注意3中暗示的那样，这个假设是不必要的。

具体而言，这里有三种可能情况：

1.当时，这个项目会在没有再谈判的情况下继续。在这种

情况下，再谈判不能增加事后的效率，因此，其中一方会拒绝再谈判。

2.当是，这个项目是可行的，并且风险投资者需要新

的合同才会继续投资。在这种情况下，风险投资者必定会要求额外的补偿，而企业家除了屈服于风投的要求外没有其他选择。在拥有控制权的情况下，风险投资者会占有公司并且获得所有的效益。

3.当时，这个项目是不可行的，会被终止的。

虽然在前期融资中，再谈判不会有影响，但是在分段投资中，它通常是有影响的。如后文展示，在我们的一些结论中，事后再谈判的可能性会导致很大的不同，然而有的结论不变。

在存在再谈判是，分段投资下风险投资者的次优问题变为：

次优和最优的问题的被发现拥有如下的封闭解：

解4.在有再谈判的分段投资模型中，次优解为：

解5. 在有再谈判的分段投资模型中，最优解为：

其中：

注意 3.一旦模型中允许出现再谈判，事情就变得非常麻烦。在事后再谈判中，均衡解可能取决于控制权的分配和讨价还价的能力。什么是合适的控制权的分配或者我们应该考虑最优的控制权的分配么？幸运的是，如同Wang（2002）所示，在收入风险中性的代理模型中，控制权和讨价还价的能力是不相干的，意味着，控制权的分配和讨价还价的能力不会影响事前的效率和最优的投资\\努力。

因此，我们能够在我们的模型中随意地分配控制权给风险投资者，这刚好和现实一致。

4.分析

为了理解分段投资在缓解道德风险和分散风险中所扮演的角色，我们考虑了五种不同情况。他们的解都总结在表一中，其中，社会福利被定义为

。

表 1 均衡解

我们使用SF、UF、SB和FB来分别代表分段投资、前期投资、次优和最优。

观点1（效率）.无论是否存在再谈判，在分段投资中当β趋近无穷时，解接近最优解。

观点1显示分段投资和分配合同能够近似的实现最优解。这可能能解释为什么许多的合资企业使用简单的股权分配形式，因为在分段投资的协作中，股权式合营企业能够近似实现最优。这也是为什么我们用分配合同来约束自己，因为即使合同本身不是最优的，最优情况也能被近似获得。一个最优的合同可能会要求更加复杂的形式，但是，在分段投资的帮助下，我们几乎没有效率的损失。

图2中，比较了三种社会福利的曲线。最上面的曲线是分段投资下最优解的社会福利；中间的是分段投资下次优解的社会福利；最下面是前期投资下次优解的社会福利。当β变大时，分段投资下的努力水平和福利快速接近最优解。

直觉是显而易见的。系数β测度了道德风险的强度，β值越大意味着企业家的道德风险越小。这解释了为什么当β→∞时，次优解和最优解在效率上的不同消失了。

观点2（社会福利）.在没有再谈判情况下，存在β>1使得当且仅当β>β是，

有。在有再谈判情况下，对任意的β>15有

。

图 2 效率

图3展示了当不允许再谈判时，观点2的图像说明。它表明当道德风险严重时（β很小时），前期投资是更好的。原因是当风险投资者偏好分段投资时，企业家更喜欢前期投资。在分段投资下，企业家的福利为零，但是在前期投资中，企业家的有正的福利并且更多的努力。因此，这里一定存在一个平衡点，使得企业家和前期投资变得更优。更具体来说，给定努力水平x，在没有再谈判的分段投

资和前期融资这两种情况下，我们都有。相比前期投资，风险投资者更喜欢分段投资，因为大于。然后，当β变小时，这种偏好变弱，直到企业家对前期融资的偏好导致不同。

5这里，其他的参数α,k在比较中是不相关的。

图 3 福利比较：SF vs. UF

另一方面，事后的再谈判给了风险投资者额外的控制道德风险的机制。通过保留一般的项目提高了事后的效率，风险投资者可以提供给企业家更高的份额来激发他的努力。这个机制在道德风险严重（β很小）时变得尤为重要，结果，在这种情况下，它大幅度提高事前效率，因此，分段投资仍然比前期投资好。

观点3（激励）.无论是否存在再谈判，分段投资下的努力水平都高于前期投资。

图4比较了三种不同的努力水平。分段投资下更高的努力水平很容易理解。前期投资中存在一种道德风险，然而分段投资中有双重道德风险。分段投资引入了一个威胁，即风险投资者可能会放弃这个项目，这就促使企业家更努力的工作来提供风向投资者事后再投资的激励。换言之，在分段投资中，风投的道德风险对应于企业家的激励有额外的影响，引起了更高的努力水平。

图 4 努力对比

观点4显示，在没有事后再谈判权时，合同在控制道德风险上只是起到边际作用，因为，合同不同在不同情况下作出调整。因此，作为合同的补充机制，分段投资在控制道德风险上起到很重要的作用。相比最优解，风险投资者在次优解下初始投资更少的事实更是进一步证明了这一点。越晚的投资施加给企业家压力去投入更多的努力。另一方面，在有事后再谈判权时，因为风向投资者具有控制权，她更愿意提供更多的份额给企业家，这激励企业家更多的努力。

观点4能够通过两种机制下的成本-收益分析来理解。对于风险投资者而言，使用分段投资和分配合同时有成本的。分段投资的成本是早期投资的风险；分配合同的成本是更低的风险投资者的份额。当使用分段投资的边际成本总是低于使用分配合同的边际成本时，风险投资者将更多的依赖她的投资策略，并且保持她的合同的权利不变。只有当风向投资者有再谈判的权利时，她才会使用合同的权利。

有趣的是，萨尔曼（1990）和阿德玛蒂、菲德耐（1994）的发现与我们的观点4一致。当主要的风险资本家比其他人更好的了解信息时，阿德玛蒂和菲德耐（1994）得到了一个稳健的融资合同。他们阐释了一个让主要的风险投资者保持一个固定比例的公司股权的合同是在可能出现产出变化的情况下，唯一稳健的融资形式。萨尔曼（1990）发现：控制风险的最重要的机制就是分段注入资本。

除了以上的属性外，这里还有分段投资的更多的其他直观属性。首先，在分段投资的灵活性下，一个项目通常能产生更高的预期价值给风险投资者。因此，在前期投资中没有盈利的项目可能在分段投资下变得有利可图。

第二，在分段投资下，阈值μ比在最优解中更高。换言之，道德风险导致项目在发展中被放弃的可能性变大。

第三，当β变大时，因为激励问题变得更不重要，企业家的收益份额变得更小。

最后，在道德风险下，风险投资者更倾向于更少的早期投资。因为后面的投资会给企业家施加压力，风险投资者能使用她的投资模式来控制道德风险。

5.结束语

分段投资被广泛应用于风险资本投资当中。在一个企业家面对不完美的资本市场、投资者面对不确定性和道德风险的环境中，我们研究了分段投资被用于缓解道德风险和减少风险。在一定的假设下，我们获得了关于分段投资的情况和作用的一些独一无二的结果，这提高了我们对于风险资本的理解。

我们发现分段投资能实现高效率，尤其是对很有前景的风投而言。除了通过后期投资来减少风险的好处外，作为对合同的补充机制，分段投资在控制道德风险上起到了重要作用。尤其是，分段投资引起了企业家更高的努力。然而，对于没有前途的风投，前期融资可能是对社会更好的选择，因为风险资本家最初的投资不足可能会误伤可行的风投。

虽然我们的文章讨论的是风险投资，但是分段投资已经被用于许多不同的领域。比如，研发费用的序列投资和采购的分期付款都涉及多期的分阶段投资。我们的模型应该很容易应用于涉及跨期投资的这些情况。

在现实中，一个风险投资者的融资计划应该涉及在复杂情况下的、许多的选择。要控制的变量可能包括期数、每期的持续时间和每一期的投资数量。除此以外，一个风险投资者也应该能够考虑如何集中监管公司、什么时候让公司上市和如何合适的安排控制权。一个分段投资的、更综合的研究需要对这些问题有更好的理解。为了讨论这些问题，可以看一些最近的、风险资本的理论文章，比如赫尔曼（1998）、马克思（1998）、科尔内利和尤夏（2001）、德西（2001）和施密特（2002）。

鸣谢

这篇文章发展自周（2001）。我们感谢审稿人的点评，这极大的提升了我们的论文。我们也刚需来自研究资助局的资金支持。然而，剩下的错误都是我们的问题。

附录A

A.1.解1的导出

对于，当时，我们有：

个人理性约束必须具备。这样，问题（1）变为

从以上两个约束条件，我们发现：

然后，个人理性约束意味着：

意味着：

然后，通过等式（A2）和（A3）：

对于x的一阶条件直接意味着：

然后，等式（A2）、（A4）和（A5）直接给了我们解1的和。

A.2.解2的导出

我们删除问题（A1）中的个人理性约束，它变为：

通过个人理性约束（A7）：

因此，我们用两步解出问题（A6）：我们首先解出下面的、没有个人理性约束的问题：

之后，我们从个人理性约束中解出k2。等式（A8）的一阶条件直接给了我们解2的s∗∗和x∗∗。从等式（A8）中替换他们得到ΠVC∗∗。然后，个人理性约束得到k2∗∗。

A.3.导出解中的注意2

A.3.1.次优解

我们有：

个人理性约束必须。然后，问题变为：

让。然后，问题（A9）变为：

我们可以看出问题（A10）和问题（A1）相同，因此，对于

的解与解1相同，意味着：

A.3.2.最优解

问题（A10）变为：

我们可以看出问题（A10）和问题（A6）相同，因此，于的解与解2相同，意味着：

A.4.解3的导出

问题（3）是:

因为个人激励约束隐含了个人理性约束，这个问题能简化为：

更进一步化简为：

这直接蕴含了解3中的、以及。

A.5.解4的导出

个人理性约束必须被加入，意味着：

因此，个人激励约束意味着：

通过等式（A11）和等式(A12)：

通过等式（A12）和（A13）：

X的一阶条件是：

意味着：

X的二阶条件表明，一个是最小值的解，另一个是最大值的解。最大值的解为：

然后，通过等式（A13），我们找到。通过等式（A12）和（A13），我们进

一步找到和。

A.6.解5的导出

又一次，因为个人理性约束必须被满足，我们有等式（A11），然后，通过(A11)：

我们因此用两步解出问题。我们首先通过下面问题在没有个人理性约束下，解出（s,x）：

之后，我们通过等式（A11）解出k2

等式（A14）的一阶条件意味着：

把带入等式（A16）得到：

让，并且。因为，等式（A17）有唯一的实根，为：

因此。然后，通过等式（A11）、（A14）和（A15），我们找

出、和。

A.7.观点2的导出

在次优解中，我们有：

因此，当且仅当时，有。我们发现等式有一个唯一解。因此，当且仅当时，有

。事实上。