线性代数试题及答案3详解

第一部分  选择题  (共28分)

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。

1.设行列式=m， =n，则行列式等于（  D  ）

  A. m+n    B. -(m+n)    C. n-m       D. m-n

2.设矩阵A=，则A-1等于（  B  ）

  A.    B      C    D  

 3.设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（  B  ）

  A. –6        B. 6      C. 2        D. –2

4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（  D  ）

  A. A =0   B. BC时A=0    C. A0时B=C      D. |A|0时B=C

5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（  C  ）

  A. 1     B. 2     C. 3     D. 4

6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（   D  ）

  A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0

  B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0

  C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0

  D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0

7.设矩阵A的秩为r，则A中（  C  ）

  A.所有r-1阶子式都不为0                B.所有r-1阶子式全为0

  C.至少有一个r阶子式不等于0            D.所有r阶子式都不为0

8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（  A  ）

  A.η1+η2是Ax=0的一个解            B.η1+η2是Ax=b的一个解

  C.η1-η2是Ax=0的一个解            D.2η1-η2是Ax=b的一个解

9.设n阶方阵A不可逆，则必有（  A  ）

  A.秩(A)10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（  B  ）

  A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量

  B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值

  C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量

  D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关

11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（  A  ）

  A. k≤3 B. k<3 C. k=3     D. k>3

12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（  B  ）

  A.|A|2必为1    B.|A|必为1   C.A-1=AT    D.A的行（列）向量组是正交单位向量组

13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（  D  ）

  A.A与B相似   B. A与B不等价   C. A与B有相同的特征值   D. A与B合同

14.下列矩阵中是正定矩阵的为（  C  ）

  A.    B.    C.    D.                

                        第二部分  非选择题（共72分）

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。

15.     6    .

16.设A=，B=.则A+2B=         .

17.设A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=    4    .

18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a=    -10    .

19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为    η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常数

20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）=   -5   .

22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为    -2   .

23.设矩阵A=，已知α=是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为  1  .

24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为     .

三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

25.设A=，B=.求（1）ABT；（2）|4A|.

26.试计算行列式.

27.设矩阵A=，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.

28.给定向量组α1=，α2=，α3=，α4=.

试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。

29.设矩阵A=.

求：（1）秩（A）；（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。

30.设矩阵A=的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.

31.试用配方法化下列二次型为标准形f(x1,x2,x3)=，

并写出所用的满秩线性变换。

四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.

33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明

（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解；

 （2）η0，η1，η2线性无关。

答案：

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）

1.D    2.B    3.B    4.D    5.C 6.D  7.C    8.A    9.A    10.B  11.A    12.B     13.D  14.C

二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）

15. 616. 17. 4  18. –10   19. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常数

20. n-r  21. –5  22. –2  23. 1  24. 

三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

25.解（1）ABT==.

（2）|4A|=43|A|=|A|，而|A|=.所以|4A|=·（-2）=-128

26.解  ==

27.解  AB=A+2B即（A-2E）B=A，而

（A-2E）-1=

所以  B=(A-2E)-1A==

28.解一  

所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）.

解二  考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，即  

方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.

29.解  对矩阵A施行初等行变换

A=B.

（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.

（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。

（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）

30.解  A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为

ξ1=（2，-1，0）T，   ξ2=（2，0，1）T.

经正交标准化，得η1=，η2=.λ=-8的一个特征向量为ξ3=，

经单位化得η3=所求正交矩阵为  T=.

对角矩阵  D=（也可取T=.）

31.解  f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32

=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.

设，  即，因其系数矩阵C=可逆，

故此线性变换满秩。经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形y12-2y22-5y32 .

四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

32.证  由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，

所以E-A可逆，且

（E-A）-1= E+A+A2 .

33.证  由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.

（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，

所以η1，η2是Ax=b的2个解。

（2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0，

即   （l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.

则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以

l1ξ1+l2ξ2=0.

         又由假设，ξ1，ξ2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而  l0=0 .

所以η0，η1，η2线性无关。