2020年陕西咸阳高三一模数学试卷(文科)

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.已知集合，则（ ）．

A. B. C. D.

2.设，则（ ）．

A. B. C. D.

3.记是等比数列的前项和，若，则公比（ ）．

A. B. C. D.无法确定

4.已知，则（ ）．

A.

B.

C.

D.

5.“”是“”的（ ）．

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.椭圆的一个焦点坐标为，则实数（ ）．

A.

B.

C.

D.

7.函数的单调递增区间是（ ）．

A.（）

B.（）

C.（）

D.（）

8.已知，则的最小值为（ ）．

A.

B.

C.

D.

9.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列四个命题：

①若，则；

②若，则；

③若，则；

④若，则，

其中真命题的序号为（ ）．

A.①和②

B.②和③

C.③和④

D.①和④

10.有编号为，的三个盒子和编号分别为，的三个小球，每个盒子放入一个小球，则小球

的编号与盒子编号全不相同的概率为（ ）．

A.

B.

C.

D.

11.设函数，则（ ）．

A.有极大值

B.有极小值

C.有极大值

D.有极小值

12.已知双曲线的两个焦点分别为，以为直径的圆交双曲

线于，，四点，且四边形为正方形，则双曲线的离心率为（ ）．

A.

B.

C.

D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.曲线在点处的切线方程为 ．

14.若变量，满足约束条件：，则的最大值是 ．

15.已知，则 ， ．

16.秦九韶是我国古代的数学家，他的《数书九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就．秦九韶算法是一种将一元次多项式的求值问题转化为个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法．

，

改写成以下形式：

，

若

，

则

．

三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）

（1）

（2）

17.在中，内角，所对的边分别为，，已知，

，且．

求角的大小．

如果，求

的面积．

（1）

（2）

18.如图，长方体中，为棱的中点，．

求证：．

求三棱锥

的体积．

（1）

（2）

19.某单位利用“学习强国”平台，开展网上学习，实行积分制，为了了解积分情况，随机调查了名员工，得到这些员工学习得分频数分布表：

得分

人数

求这些员工学习得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．

用分层抽样的方法从得分在和的员工中选取人．从选取的人中，再任选取人，求得分在

和

中各有

人的概率．

（1）

20.已知函数（）．

讨论的单调性．

【答案】

解析:

集合，

（2）若有两个零点，求实数的取值范围．

（1）（2）21.如图，已知抛物线的焦点是，准线是．

写出焦点的坐标和准线的方程．

已知点

，若过点的直线交抛物线于不同的两点，（均与不重合），直线，分别交于点，求证：．

四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）

（1）（2）22.在直角坐标系中，曲线的参数方程

（为参数），直线的参数方程

（为参数）．求曲线在直角坐标系中的普通方程．

以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线截直线所得线段的中点极坐标为时，求直线的倾斜角．

（1）（2）23.已知函数

．当

时，求不等式的解集．若时，求的取值范围．

A

1.

集合

，

∴

．故选．解析:

，

则，

故

．故选．解析:

若为等比数列的前项和，设公式为，

则

，

显然

，∴

．故选．解析:

∵，，

∴

．

故选．B

2.B

3.C

4.

∵

，则，∴

．故

，是

的充分条件．若，

．

解得

或．则

．不是

的必要条件．综上所述，

是的充分不必要条件．故正确．解析:

椭圆方程可化为

，由题意知椭圆焦点在轴上，

∵

，∵

，∴

，∴

．故选．解析:

函数

，令

，，

，则函数

的单调递增区间为

（）．故选．D

6.C

7.

∵

，∴

，当且仅当

时，等号成立，∵

，即

时，等号成立，∴

．故选．解析:

①∵

，∴垂直于平面内任一条直线或垂直于与平面平行的直线；∴

成立．故①正确．②∵

，∴

成立．故②正确．③若

，∴

或，故③错误．

④若

，则或故④错误．故选．解析:

由题意可知，将标号为，的三个小球放入编号为，的三个盒子中，每个盒子放一个小球，全部放完共有种情况，分别为

，，，表示标号为的小球放入到编号

为的盒子中，其中盒子的编号与所放小球的标号都不同的情况有种，分别为

，故所求概率

．

故选．A

9.D

10.

∵宝义域为，

，

令

，则，

因为极小值

则函数

有极小值．

故选．

解析:

∵

，∴

，又四边形

为正方形，∴

，由双曲线对称性知，

代入得，

，

∴，

，

D

12.

，

∴，

∴，

∴．

13.

解析:

的导函数为，∴ 时 ，

∴在处的切线方程为．

14.

解析:

变量，满足约束条件，

作出二元一次方程组所表示的平面区域，即可行域，如图所示，所在区域为可行域，

目标函数，变形为，

斜率为，随变化的一族平行直线，

当直线经过可行域中点时有最大值，解方程组，

解得点坐标为，

，

所以最大值为．

（1）（2）解析:，

所以

，．故答案为：

；．

解析:

∵

，

∴，

．

解析:

∵

，∴

，化简得：

，又∵

，∴．

由余弦定理

得，

，

解之得：

，∴． ;

15.

16.

（1）

．（2）

．17.

（1）（2）（1）（2）解析:

∵

是长方体，∴

平面，又∵

平面，∴

．∵，

是棱的中点，

∴

，∴

．

故答案为：

．解析:

记这

名员工学习得分的平均数为，则

．故答案为：．

用分层抽样可知从中选人，

记这人分别为

，从中选人，

记这人分别为，

，从，，

中再任取人的情况有：，，

，，，共种，其中得分在和

中各有的情况有：，，

，共种，记事件为“得分在

和中各有人”则．

（1）证明见解析．

（2）

．18.（1）

．（2）

．19.

（1）（2）故答案为：

．解析:

的定义域为

，

①当

时，由，知在内单调递增，②当

时，由，即，得，由

，即，得，∴在内单调递增，在

内单调递减，因此，①当时，

在内单调递增．②当时，在内单调递增，在内单调递减．

故答案为：

当

时，在内单调递增，当

时，在内单调递增，在内单调递减．有两个零点，

即：方程

有两个实根，即：方程

有两个实根，即：函数和

有两个公共点，

，

由

，即：，∴，由

，即：，∴，∴

，又

，当

时，∴

，∴当

时，有两个零点．故答案为：．（1）当

时，在内单调递增．当

时，在内单调递增，在内单调递减．（2）

．20.

（1）（2）解析:

抛物线的焦点为

，准线的方程为

．故答案为：

，．

由（）知：设直线的方程为：

，

令

，由

，消去得：，

由根与系数的关系得：

，直线方程为：

，

，

当时，

，

∴

，同理得：

，∴，

，

（1），．

（2）证明见解析．

21.

（1）（2）∴

，

∴

，∴

．解析:

由曲线的参数方程

（为参数），得：，

∴曲线的参数方程化为普通方程为：

．方法一：

中点极坐标化成直角坐标为

，设直线与曲线相交于，

两点，，

则，

②①得：

，化简得：

，即：

，又∵，

∴直线的倾斜角为

．方法二：

中点极坐标

化成直角坐标为，将

分别代入，

得，（1）

．（2）

．22.①

②

（1）（2）∴

，∴

，即

，∴

，即，又∵，

∴直线的倾斜角为

．解析:

当

时，由

得．①当

时，原不等式可化为：，解之得：

．②当

时，原不等式可化为：，解之得：

且，∴

.因此，

的解集为：．

当时，

．由

得，

∴

，∴

，∴

，∴，∴的取值范围为．

（1）

．（2）

．23.