广西桂林市2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题

高一年级数学

一､单项选择题：本题共12小题,每小题4分,共48分,在每小题给出地四个选项中,有且只有一个选项是符合题目要求地.

1. 下面关系中,正确地是（ ）

A. 2{0,1}

-∈ B. 32Z ∈ C. π∈R D. 5∈∅【结果】C

【思路】

【思路】依据自然数集，正整数集，整数集以及有理数集地含义判断数与集合地关系.

【详解】对于A ,2{0,1}-∉,所以A 错误。

对于B ,32

不是整数,所以32Z ∉,所以B 错误。对于C ,π∈R ,所以C 正确。

对于D , 因为∅不含任何圆素,则5∉∅,所以D 错误.

故选：C.

2. 命题“x ∀∈R ,有210x x ++>”地否定是（ ）

A. x ∃∈R ,使210

x x ++> B. x ∀∈R ,有210x x ++≤C. x ∃∉R ,使210

x x ++≤ D. x ∃∈R ,使210x x ++≤【结果】D

【思路】

【思路】全称命题地否定：将任意改存在并否定原结论,即可知正确选项.

【详解】由全称命题地否定为特称命题,

∴原命题地否定为2R,10x x x ∃∈++≤.

故选：D 3. 要完成下面两项调查：（1）某社区有100户高收入家庭,210户中等收入家庭,90户低收入家庭,从中抽取100户调查相关消费购买力地某项指标。（2）从某中学高一年级地10名体育特长生中抽取3人调查学习情况。应采用地抽样方式分别是（ ）

A. （1）用简单随机抽样,（2）用分层随机抽样

B. （1）（2）都用简单随机抽样

.

C. （1）用分层随机抽样,（2）用简单随机抽样

D. （1）（2）都用分层随机抽样

【结果】C

【思路】【思路】依据简单随机抽样，分层抽样地适用款件进行思路判断.

【详解】因为相关消费购买力地某项指标受家庭收入地影响,而社区家庭收入差距明显,所以①用分层抽样。从10名体育特长生中抽取3人调查学习情况,个体之间差别不大,且总体和样本容量较小,所以②用简单随机抽样.

故选：C

4. 在同一坐标系中,函数2x y =与2log y x =大约图象是（ ）

A. B.

C. D.

【结果】B

【思路】

【思路】依据题意,结合对数函数与指数函数地性质,即可得出结果.

【详解】由指数函数与对数函数地单调性知：

2x y =在R 上单调递增,2log y x =在()0+∞，上单调递增,只有B 满足.

故选：B.

5. 若a b >,则下面不等式一定成立地是（ ）A. 11a b < B. a c b c ->- C. ac bc > D. 22

a b >【结果】B

【思路】

【思路】对于ACD ,举例判断即可,对于B ,利用不等式地性质判断

的

【详解】解：对于A ,令1a =,1b =-,满足a b >,但

11a b

>,故A 错误,对于B ,∵a b >,∴a c b c ->-,故B 正确,

对于C ,当0c =时,ac bc =,故C 错误,对于D ,令1a =,1b =-,满足a b >,而22a b =,故D 错误.

故选：B.

6. “x >1”是“x >0”地（ ）

A. 充分不必要款件

B. 必要不充分款件

C. 充要款件

D. 既不充分也不必要款件【结果】A

【思路】

【思路】依据充分，必要款件间地推出关系,判断“x >1”与“x >0”地关系.

【详解】“x >1”,则“x >0”,反之不成立.

∴“x >1”是“x >0”地充分不必要款件.

故选：A.

7. 甲，乙两人破译一份电报,甲能破译地概率为0.3,乙能破译地概率为0.4,且两人是否破译成功互不影响,则两人都成功破译地概率为（ ）

A. 0.5

B. 0.7

C. 0.12

D. 0.88【结果】C

【思路】

【思路】依据相互事件地概率乘法公式,即可求解.

【详解】由题意,甲，乙分别能破译地概率为0.3和0.4,且两人是否破译成功互不影响,

则这份电报两人都成功破译地概率为0.30.40.12P =⨯=.

C.

8. 若1a >,则11a a +

-地最小值是（ ）A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【结果】C

【思路】

【思路】采用拼凑法,结合基本不等式即可求解.

【详解】因为1a >,

11111311a a a a +

=-++≥+=--,当且仅当11,2a a -==时取到等号,故11

a a +-地最小值是3.故选：C

9. 已知函数()22f x x x =--,()1,0,41,0.

x x g x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩则,()1g f ⎡⎤=⎣⎦（ ）

A. 4

B. 3

C. 3-

D. 2

-【结果】D

【思路】

【思路】依据分段函数思路式代入计算可得。【详解】解：因为()22f x x x =--,()1,0,41,0.

x x g x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩,所以()211213f =--⨯=-,所以()()13312

g f g ⎡⎤=-=-+=-⎣⎦故选：D

10. 函数1()322x f x x =+

-地零点所在地区间是（ ）A. （-2,-1)

B. (-1,0)

C. (0,1）

D. （1,2）【结果】C

【思路】

【思路】

利用零点存在性定理判断即可.

【详解】易知函数1()322

x f x x =+-地图像连续 ()212623(2)2029f --=+⨯--=-<, ()13106

f -=-<,()()120f f -⋅->由零点存在性定理,排除A 。

又()010f =-<,()()100f f -⋅>,排除B 。

()3102

f =

>,()()100f f ⋅<,结合零点存在性定理,C 正确故选：C.

【点睛】判断零点所在区间,只需利用零点存在性定理,求出区间端点地函数值,两者异号即可,注意要看定义域判断图像是否连续.

11. 设12log 3a =,0.3

23b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,132c =,则a ,b ,c 地大小关系是（ ）A. b a c

<< B. c b a << C. c a b << D. a b c

<<【结果】D

【思路】【思路】依据指数函数和对数函数地单调性求出,,a b c 地范围,即可解出．【详解】因为1122log 3log 10a =<=,0.30231203b ⎛⎫<= ⎛⎫<= ⎪⎪⎭⎝⎝⎭,103221c =>=,所以a b c <<．故选：D ．

12. 函数()2ln 23y x x =+-地单调递减区间是

A. ()

,3-∞- B. (),1-∞- C. ()1,-+∞ D. ()

1,+∞【结果】A

【思路】【详解】令2230x x +->,则有3x <-或1x >,223t x x =+-在()(),31,-∞-⋃+∞上地减区间为(),3-∞-,故()2ln 23y x x =+-在()(),31,-∞-⋃+∞上地减区间为(),3-∞-,选A ．

二､多项选择题：本题共3小题,每小题4分,共12分,在每小题给出地选项中,有多项符合题目要求,全部选对地得4分,部分选对地得2分,有选错地得0分.

13. 下面函数中是偶函数,且在()0,∞+上为增函数地有（

）．A. ()1

f x x = B. 2y x = C. 3

y x = D. 2log y x =【结果】BD

【思路】

【思路】

依据函数地奇偶性地定义和基本初等函数地性质,逐项判定,即可得解.

【详解】对于A ：定义域为{}0x x ≠,有关原点对称,()()1f x f x x -=-

=-是奇函数,不满足题意。对于B ：定义域为R ,有关原点对称,()2y f x x ==,()()()22f x x x f x -=-==,是偶函数,由二次函数地

性质可知,函数()2

y f x x ==在()0,∞+上为增函数,满足题意。对于C ：定义域为R ,有关原点对称,()3y f x x ==,()()()3

3f x x x f x -=-=-=-,是奇函数,不满足题意。

对于D ：定义域为{}0x x ≠,有关原点对称,()2log y f x x ==,()()22log log f x x x f x -=-==,是偶函数,当()0,x ∈+∞时,()2log y f x x ==,由对数函数地性质可知,()2log y f x x ==在()0,∞+上为增函数,满足题意.

故选：BD .

14. 从装有2个红球和2个白球地口袋中任取2个球,那么互斥而不对立地事件是（ ）

A. 恰有1个红球与恰有2个红球

B. 至少有1个白球与都是红球

C. 恰有2个红球与恰有2个白球

D. 至少有1个红球与至少有1个白球【结果】AC

【思路】

【思路】由题意知所有地实验结果为：“都是白球”,“1个白球,1个红球”,“都是红球”,再依据互斥事件以及对立事件地定义判断,即可得结果．

【详解】A ，“恰有1个红球”和“恰有2个红球,这两事件不会同时发生,但也可能都不发生,故二者是互斥而不对立地事件,故A 对。

B ，“至少有1个白球”包含“1个白球,1个红球”和“都是白球”,与“都是红球”是对立事件,故B 不对。

C ，“恰有2个红球”发生时,“恰有2个白球”不会发生,二者互斥,但在一次实验中还可能二者都不发生,即不可能必有一个发生,故二者不是对立事件,故C 对。

D ，“至少有1个红球”和“至少有1个白球”都包含“1个白球,1个红球”地情况,二者不是互斥事件,故D 不对。

故选：AC ．

15. 已知()f x 是定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 地奇函数,函数1()()g x f x x

=+,(1)1f =-,当210x x >>时,12111222(())x x f x x x x f x x ->-恒成立,则（ ）

A. ()g x 在(0,)+∞上单调递增

B. ()g x 地图象与x 轴有2个交点

C. (3)(2)log 2f f +-<

D. 不等式()0>g x 地解集为(1,0)(0,1)

- 【结果】BC

【思路】

【思路】变换得到()()1212

11f x f x x x +>+,函数单调递减,A 错误,计算(1)(1)0=-=g g ,B 正确,依据11(3)(2)32

f f +<+结合奇偶性得到C 正确,解不等式得到D 错误,得到结果.【详解】()()12111222x x f x x x x f x x ->-,两边同时除以12x x 得()()1221

11f x f x x x ->-,即()()1212

11f x f x x x +>+,()()12g x g x >,则()g x 在(0,)+∞上单调递减,A 错误。因为()f x 是定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 地奇函数,且(1)0g =,所以()g x 在(,0)-∞上单调递减,且(1)(1)0=-=g g ,B 正确.

由(3)(2)g g <得11(3)(2)32f f +<+,即1(3)(2)log 26

f f -<=,即(3)(2)lo

g 2f f +-<,C 正确.

不等式()0>g x 地解集为(,1)(0,1)-∞- ,D 错误.

故选：BC.

三､填空题：本大题共5小题,每小题4分,共20分.

16. 已知幂函数()f x x α=地图象经过点(4,2),则(8)f =___________.

【结果】##322

【思路】

【思路】依据题意得到24α=,求出α地值,进而代入数据即可求出结果.

【详解】由题意可知24α=,即222=α,所以21α=,即12

α=

,所以12()f x x =,

因此12(8)8f ==,

故结果为：

17. 函数(

)f x =地定义域为_____________.【结果】[)()

1,22,-+∞ 【思路】

【思路】依据偶次根式和分式有意义地要求可得不等式组,解不等式组可求得结果.

【详解】由题意得：1020

x x +≥⎧⎨-≠⎩,解得：1x ≥-且2x ≠,即()f x 地定义域为[)()1,22,-+∞ .故结果为：[)()1,22,-+∞ .

18. 已知lg 2,lg 3m n ==,用m ,n 表示3log 4为___________.【结果】

2m n

【思路】

【思路】结合换底公式以及对数地运算法则即可求出结果.详解】23lg 4lg 22lg 22log 4lg 3lg 3lg 3m n

====,故结果为：2m n

.19. 已知0,0a b >>,若31a b +=,则

31a b

+地最小值是___________.【结果】16

【思路】【思路】

31a b

+乘1后借助已知展开,然后由基本不等式可得.【详解】因为0,0a b >>,31a b +=

所以313133()(3)101016b a a b a b a b a b +=++=++≥+=当且仅当,3331

b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩,即14a b ==时,取“=”号,所以31a b

+地最小值为16.故结果为：16

20. 已知一组样本数据5，6，a ，6，8地极差为5,若3a >,则其方差为________.

【

【结果】3.2

【思路】

【思路】依据极差地定义可求得a 地值,再依据方差公式可求得结果.

【详解】因为该组数据地极差为5,3a >,

所以55a -=,解得10a =.因为5661085

7x ++++==,所以该组数据地方差为()()()()()2222257676787105

7 3.2-+-+-+-+-=．

故结果为：3.2.四､解答题：本大题共7小题,共70分,解答应给出文字说明､证明过程及演算步骤.

21. 已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,3},{2,3,4,5,6}U A B ===.

（1）求A B 。

（2）求()

U A B ⋃ð.

【结果】（1）{2,3}

（2）{1,2,3,7,8}

【思路】

【思路】（1）依据交集计算可得.

（2）依据补集与并集地计算可得.

【小问1详解】

由己知{1,2,3},{2,3,4,5,6}A B ==,

所以{2,3}

A B = 【小问2详解】

∵{1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,3},{2,3,4,5,6}U A B ===,所以{

1,7,8}U B =ð,所以(){

1,2,3,7,8}U A B = ð.22. 已知函数3()12

f x x =-+,[]3,5x ∈.（1）利用定义证明函数()f x 单调递增。

（2）求函数()f x 地最大值和最小值.

【结果】（1）证明见详解。（2）最大值

47。最小值25.【思路】

【思路】

（1）任取1x ，[]23,5x ∈且12x x <,求()()12f x f x -,因式分解,然后判断()()12f x f x -地符号,进而可得出函数()y f x =地单调性。

（2）利用（1）中地结论可求得函数()y f x =地最大值和最小值.

【详解】（1）任取1x ，[]23,5x ∈且12x x <,因为3()12

f x x =-+,所以()()()()()

12121221123333311=222222x x f x f x x x x x x x -⎛

⎫⎛⎫-=---=- ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭,1235x x ≤<≤ ,

120x x ∴-<,120x +>,220x +>,

()()120f x f x ∴-<,

即()()12f x f x <,因此,函数()12

x f x x -=+在区间[]3,5上为增函数。（2）由（1）知,当3x =时,函数()y f x =得到最小值()235

f =。当5x =时,函数()y f x =得到最大值()457

f =.【点睛】关键点睛：求函数地最值利用函数地单调性是解决本题地关键.

23. 为适应新冠肺炎疫情长期存在地新形势,打好疫情防控地主动仗,某学校大力普及科学防疫知识,现需要在2名女生､3名男生中任选2人担任防疫宣讲主持人,每位同学当选地机会是相同地.

（1）写出试验地样本空间,并求当选地2名同学中恰有1名女生地概率。

（2）求当选地2名同学中至少有1名男生地概率.

【结果】（1）样本空间结果见思路,概率是35

（2）9

10

【思路】

【思路】（1）将2名女生,3名男生分别用a ,b 。c ,d ,e 表示,即可列出样本空间,再依据古典概型地概率公式计算可得。

（2）设事件B =“当选地2名同学中至少有1名男生”,事件C =“当选地2名同学中全部都是女生”,事件B ,C 为对立事件,利用古典概型地概率公式求出()P C ,最后依据对立事件地概率公式计算可得。

【小问1详解】

解：将2名女生,3名男生分别用a ,b 。c ,d ,e 表示,

则从5名同学中任选2名同学试验地样本空间为

{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e Ω=,

共有10个样本点,

设事件A =“当选地2名同学中恰有1名女生”,

则{(,),(,),(,),(,),(,),(,)}A a c a d a e b c b d b e =,样本点有6个,∴63()105

P A ==.即当选地2名同学中恰有1名女生地概率是

35

【小问2详解】解：设事件B =“当选地2名同学中至少有1名男生”,事件C =“当选地2名同学中全部都是女生”,事件B ,C 为对立事件,

因为{(,)}C a b =,∴1()10

P C =

,∴19()1()11010P B P C =-=-=.即当达地2名同学中至少有1名男生地概率是910

.24. 某种产品地成本是50圆/件,试销阶段每件产品地售价x （单位：圆）与产品地日销售量y （单位：件）之间有如下表所示地关系：x /圆60708090

y /件80604020

（1）依据以上表格中地数据判断y kx b =+是否适合作为y 与x 地函数模型,并说明理由。

（2）当每件产品地售价为多少时日利润（单位：圆）最大,并求最大值.

【结果】（1）适合,理由见思路.

（2）当每件产品售价为75圆时日利润最大,且最大值为1250.

【思路】

【思路】（1）把()60,80,()70,60分别代入y kx b =+,求得2200y x =-+,再代入检验成立。

（2）设日利润为z （单位：圆）,由（1）求得2230010000z x x =-+-,依据二次函数地性质可求得最大值.

【小问1详解】

解：适合,理由如下：

把()60,80,()70,60分别代入y kx b =+,得6080,

7060,

k b k b +=⎧⎨+=⎩解得2,200,k b =-⎧⎨=⎩

则2200y x =-+,把()80,40,()90,20分别代入2200y x =-+,检验成立.

【小问2详解】

解：设日利润为z （单位：圆）,

则()()()2

50502200230010000z x y x x x x =-=--+=-+-,当()

3007522x =-=⨯-时,1250z =,则当每件产品地售价为75圆时日利润最大,且最大值为1250.

25. 某校对100名高一学生地某次数学测试成绩进行统计,分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组,得到如图所示频率分布直方图.的

（1）求图中a 值。

（2）估计该校高一学生这次数学成绩地众数和平均数。

（3）估计该校高一学生这次数学成绩地75%分位数.

【结果】（1）0.01a =

（2）众数为75,平均数为75.5

（3）84

【思路】

【思路】（1）由频率分布直方图地性质,列出方程,即可求解。

可得()0.020.0250.035101a a ++++⨯=,

（2）依据频率分布直方图地中众数地概念和平均数地计算公式,即可求解。

（3）因为50到80地频率和为0.65,50到90地频率和为0.9,结合百分数地计算方式,即可求解.

【小问1详解】

解：由频率分布直方图地性质,可得()0.020.0250.035101a a ++++⨯=,

解得0.01a =.

【小问2详解】

解：依据频率分布直方图地中众数地概念,可得众数为75,

平均数为0.1550.2650.35750.25850.19575.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.

【小问3详解】

解：因为50到80地频率和为0.65,50到90地频率和为0.9,

所以75%分位数为0.75(0.10.20.35)8010840.25

-+++⨯=.26. 已知函数2()(1)1(0)x g x a a -=++>地图象恒过定点A ,且点A

又在函数())f x x a =+地图象上.

（1）求实数a

地值。

的

（2）若函数()|(2)2|2h x g x b =+--有两个零点,求实数b 地取值范围.

【结果】（1）1a =

（2）10,2⎛⎫ ⎪

⎝⎭

【思路】

【思路】（1）由函数图象地平移变换可得点A 坐标,然后代入函数()f x 可解。

（2）将函数零点个数问题转化为两个函数图象地交点个数问题,作图可解.

【小问1详解】

函数()g x 地图象可由指数函数(1)x y a =+地图象,向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到.因为函数(1)x y a =+地图象过定点(0,1),故函数()g x 地图象恒过定点(2,2)A ,

又因为A 点在()f x 图象上,则

(2))2

f a =+=∴23a +=解得1

a =【小问2详解】()|(2)2|2212x h x g x

b b =+--=--,

若函数()h x 有两个零点,则方程212x b -=有两个不等实根,令()21x u x =-,()2v x b =,则它们地函数图象有两个交点,

由图可知：021b <<,故b 地取值范围为10,2⎛

⎫ ⎪⎝⎭

.

27. 已知函数1()(0,1)x x m f x a a a a

-=+

>≠是定义域为R 地奇函数.（1）求实数m 地值。

（2）若(1)0f <,不等式()2(1)0f x bx f x ++-<在x ∈R 上恒成立,求实数b 地取值范围。

（3）若3(1)2f =,且函数221()2()x x h x a tf x a

=+-在[)1,x ∈+∞上最小值为2-,求t 地值.【结果】（1）0（2）(13)-，

（3）2.【思路】

【思路】

（1）()f x 是定义域为R 地奇函数,由()00f =,得到m 地值。（2）依据(1)0f <得到a 地范围,从而得到()f x 地单调性,结合()f x 地奇偶性,得到将不等式转化为2(1)10x b x +-+>在x ∈R 上恒成立,通过

∆<0得到b 地范围。（3）由3

(1)2f =得到2a =,从而得到()h x 思路式,令1()22x x

u f x ==-,得到2()22g u u tu =-+,动轴定区间分类讨论,依据最小值为2-,得到t 地值.

【详解】（1）因为()f x 是定义域为R 地奇函数,所以()00f =,所以()110m +-=,所以0m =,经检验,当0m =时,()f x 为R 上地奇函数

（2）由（1）知:1()(0,1)x x f x a a a a =-

>≠,因为()10f <,所以10a a

-<,又0a >且1a ≠,所以01a <<,所以1()x x

f x a a =-是R .上地单调递减函数,又()f x 是定义域为R 地奇函数,

所以()

2(1)0f x bx f x ++-<,()()

21f x bx f x +<-21

x bx x +>-即2(1)10x b x +-+>在x ∈R 上恒成立,

所以2(1)40b ∆=--<,

即13b -<<,

所以实数b 地取值范围为()1,3-

（3）因为3(1)2f =,所以132

a a -=,

解得2a =或12

a =-(舍去),所以2221111()22222222222x x x x x x x x h x t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭⎝⎭,令1()22x x

u f x ==-,则2()22g u u tu =-+,因为1()22x x f x =-

在R 上为增函数,且1≥x ,所以312()u f ≥=

,因为221()22()2

x x h x tf x =+-在[1x ∈+∞，）上最小值为2-,所以2()22g u u tu =-+在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上地最小值为2-,

因为222()22()2g u u tu u t t =-+=-+-地对称轴为u t =,所以当32

t ≥时,2min ()()22g u g t t ==-=-,解得2t =或2t =-（舍去）,当32t <时,min 317()3224g u g t ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭

,解得2512t =（舍去）,综上可知:2t =.

【点睛】本题考查依据函数奇偶性求参数地值,依据函数地性质解不等式,二次函数在R 上恒成立问题,依据函数地最小值求参数地范围,运用了换圆地方式,属于中档题.