2021届新高考新题型—数学多选题专项练习(10)

1．在统计中，由一组样本数据，，，，，利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为，那么下面说法正确的是　　

A．直线至少经过点，，，，，中的一个点

B．直线必经过点

C．直线表示最接近与之间真实关系的一条直线

D．，且越接近于1，相关程度越大；越接近于0，相关程度越小

2．已知、两点的坐标分别是，，直线、相交于点，且两直线的斜率之积为，则下列结论正确的是　　

A．当时，点的轨迹圆（除去与轴的交点）

B．当时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆（除去与轴的交点）

C．当时，点的轨迹为焦点在轴上的抛物线

D．当时，点的轨迹为焦点在轴上的双曲线（除去与轴的交点）

3．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是　　

A．此人第三天走了四十八里路

B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里

C．此人第二天走的路程占全程的

D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍

4．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是　　

A．

B．

C．向量与的夹角是

D．与所成角的余弦值为

5．下列说法中正确的是　　

A．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等．

B．若、为互斥事件，则的对立事件与的对立事件一定互斥．

C．某个班级内有40名学生，抽10名同学去参加某项活动，则每4人中必有1人抽中．

D．若回归直线的斜率，则变量与正相关．

6．若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是　　

A．若，则为椭图

B．若．则为双曲线

C．若为双曲线，则焦距为4

D．若为焦点在轴上的椭圆，则

7．等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选择项正确的是　　

A． B．

C．当时最小 D．时的最小值为8

8．下列命题中正确的是　　

A．，，，是空间中的四点，若不能构成空间基底，则，，，共面

B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底

C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线

D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为

9．“悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况，某人根据2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是　　

A．月跑步里程逐月增加

B．月跑步里程最大值出现在9月

C．月跑步里程的中位数为8月份对应的里程数

D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳

10．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于，两点，，分别为，在上的射影，且，为中点，则下列结论正确的是　　

A． B．为等腰直角三角形

C．直线的斜率为 D．的面积为4

11．已知等比数列中，满足，，则　　

A．数列是等比数列

B．数列是递增数列

C．数列是等差数列

D．数列中，，，仍成等比数列

12．正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点．则　　

A．直线与直线垂直

B．直线与平面平行

C．平面截正方体所得的截面面积为

D．点与点到平面的距离相等

2021新高考新题型——数学多选题专项练习（10）

答案解析

1．在统计中，由一组样本数据，，，，，利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为，那么下面说法正确的是　　

A．直线至少经过点，，，，，中的一个点

B．直线必经过点

C．直线表示最接近与之间真实关系的一条直线

D．，且越接近于1，相关程度越大；越接近于0，相关程度越小

【解析】解：线性回归直线是最能体现这组数据的变化趋势的直线，不一定经过样本数据中的点，故不正确，正确；

线性回归直线一定经过样本中心点，故正确；

线性相关系数满足，且越接近于1，相关程度越大；越接近于0，相关程度越小，故正确．

故选：．

2．已知、两点的坐标分别是，，直线、相交于点，且两直线的斜率之积为，则下列结论正确的是　　

A．当时，点的轨迹圆（除去与轴的交点）

B．当时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆（除去与轴的交点）

C．当时，点的轨迹为焦点在轴上的抛物线

D．当时，点的轨迹为焦点在轴上的双曲线（除去与轴的交点）

【解析】解：点的坐标为，直线的斜率为， 

由已知得， 

化简得点的轨迹方程为，

当时，点的轨迹圆（除去与轴的交点）所以正确；

当时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆（除去与轴的交点）．所以正确；

当时，点的轨迹为焦点在轴上的抛物线，不正确，应该是双曲线，所以不正确；

当时，点的轨迹为焦点在轴上的双曲线（除去与轴的交点），所以正确；

故选：．

3．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是　　

A．此人第三天走了四十八里路

B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里

C．此人第二天走的路程占全程的

D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍

【解析】解：根据题意，设第一天走，所以连续走的6天构成一个等比数列，

所以，

整理得，

解得，

所以第一天走192，第二天走96，第三天走48，第四天走24，第五天走12，第六天走6，

所以正确．

第一天走192，后五天走的路程是，

所以，故选项正确．

，故选项错误．

前三天走的路程为：，后三天走的路程为：，此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，故选项正确．

故选：．

4．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是　　

A．

B．

C．向量与的夹角是

D．与所成角的余弦值为

【解析】解：因为以为端点的三条棱长都相等，且彼此的夹角为，不妨设棱长为，

对于，，

因为，则，所以，故正确；

对于，因为，故正确；

对于，因为，显然△为等边三角形，则，

所以向量与的夹角为，向量与的夹角为，故不正确；

对于，因为，，

则，

所以，

所以，故不正确．

故选：．

5．下列说法中正确的是　　

A．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等．

B．若、为互斥事件，则的对立事件与的对立事件一定互斥．

C．某个班级内有40名学生，抽10名同学去参加某项活动，则每4人中必有1人抽中．

D．若回归直线的斜率，则变量与正相关．

【解析】解：对于选项：在频率分布直方图中，中位数是排序后的中间数据，左边和右边的直方图的面积相等，故正确．

对于选项：若、为互斥事件，则的对立事件与的对立事件一定互斥，不一定互斥，可以有重叠关系，故错误．

对于选项：某个班级内有40名学生，抽10名同学去参加某项活动，则每4人中必有1人抽中，可以全部抽到别的学生，这几个人不一定抽到．故错误

对于选项：回归直线的斜率，说明直线的斜率大于0，则变量与正相关．故正确．

故选：．

6．若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是　　

A．若，则为椭图

B．若．则为双曲线

C．若为双曲线，则焦距为4

D．若为焦点在轴上的椭圆，则

【解析】解：当时，表示圆，所以不正确；

当时，，，表示双曲线，正确；

当，时，表示双曲线，焦距不为4，所以不正确；

若表示焦点在轴上的椭圆，则，即，所以正确；

故选：．

7．等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选择项正确的是　　

A． B．

C．当时最小 D．时的最小值为8

【解析】解：由题意，设等差数列的公差为，

因为，可得，解得，

又由等差数列是递增数列，可知，则，故，正确；

因为，

由可知，当或4时最小，故错误，

令，解得或，即时的最小值为8，故正确．

故选：．

8．下列命题中正确的是　　

A．，，，是空间中的四点，若不能构成空间基底，则，，，共面

B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底

C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线

D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为

【解析】对于， 不能构成空间的一个基底， 共面，则，，，共面，故正确；

对于， 为空间的一个基底， ，，不共面，

， ，，不共面，则也是空间的一个基底，故正确；

对于，因为，则，若，则，但选项中没有条件，有可能会出现，故错；

直线的方向向量为，平面的法向量为，

则直线与平面所成角的正弦值为，故正确．

故选：．

9．“悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况，某人根据2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是　　

A．月跑步里程逐月增加

B．月跑步里程最大值出现在9月

C．月跑步里程的中位数为8月份对应的里程数

D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

在中，2月跑步里程比1月的小，7月跑步里程比6月的小，10月跑步里程比9月的小，故错误；

在中，月跑步里程9月最大，故正确；

在中，月跑步平均里程的月份从高到底依次为：9月，10月，11月，6月，5月，8月，1月

8月恰好在中间位置，故其中位数为8月份对应的里程数，故正确；

在中，1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，故正确．

故选：．

10．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于，两点，，分别为，在上的射影，且，为中点，则下列结论正确的是　　

A． B．为等腰直角三角形

C．直线的斜率为 D．的面积为4

【解析】解：由题意由抛物线的对称性，焦点，准线方程为，

由题意可得直线的斜率不为0，由题意设直线的方程为：，

设，，，，由题意可知，，

将直线与抛物线联立整理得：，，，

中， ，，， ，即，所以正确；

中，由正确，不可能，更不会或为直角，所以不正确；

中，因为，所以，即，，， ，解得，，所以直线的斜率为，所以正确；

中，由题意可得弦长，到直线的距离，所以，所以不正确，

故选：．

11．已知等比数列中，满足，，则　　

A．数列是等比数列

B．数列是递增数列

C．数列是等差数列

D．数列中，，，仍成等比数列

【解析】解：等比数列中，满足，，则，，

数列是等比数列，故正确；

数列是递减数列，故不正确；

，故数列是等差数列，故正确；

数列中，，，，故错误，

故选：．

12．正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点．则　　

A．直线与直线垂直

B．直线与平面平行

C．平面截正方体所得的截面面积为

D．点与点到平面的距离相等

【解析】解：取中点，则为在平面上的射影，

与不垂直，与不垂直，故错；

取中点，连接，，可得平面平面，故正确；

把截面补形为四边形，由等腰梯形计算其面积，故正确；

假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，

连接交于，而不是中点，则假设不成立，故错．

故选：．