三角函数基础,两角和与差、倍角公式

例2．已知角α的终边过点，求α的六个三角函数值。

解：因为过点，所以，  

当；

          ；；

当；

          ．

九．三角函数的符号

由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：

①正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；

②余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；

③正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）．

说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。

十．诱导公式

三角函数诱导公式（）的本质是：奇变偶不变（对而言，指取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）。

      （公式一）

     若角的终边与角的终边关于轴对称，那么与的三角函数值之间有什么关系？特别地，角与角的终边关于轴对称，由单位圆性质可以推得：

                                             （公式二）

特别地，角与角的终边关于轴对称，故有

               （公式三）

特别地，角与角的终边关于原点对称，故有

              （公式四）

诱导公式五：

诱导公式六：

诱导公式七：              ，

1 确定下列三角函数值的符号：

（1）；       （2）；    （3）；      （4）．

2 化简

练习：

一、填空题

1．是第二象限角，则是第              象限角.

2．已知扇形的半径为R，所对圆心角为，该扇形的周长为定值c，则该扇形最大面积为

                   .

同角三角函数的基本关系公式:   

 1“同角”的概念与角的表达形式无关，如：

 2上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立。

 3由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号.

这些关系式还可以如图样加强形象记忆：

①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系).

②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系).

③阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系).

二、讲解范例：

例1化简： 

  解：原式

例2 已知

解： 

    （注意象限、符号）

例3求证：   

分析：思路1．把左边分子分母同乘以，再利用公式变形；思路2：把左边分子、分母同乘以（1+sinx）先满足右式分子的要求；思路3：用作差法，不管分母，只需将分子转化为零；思路4：用作商法，但先要确定一边不为零；思路5：利用公分母将原式的左边和右边转化为同一种形式的结果；思路6：由乘积式转化为比例式；思路7：用综合法．

证法1：左边=右边，

∴原等式成立.

证法2：左边=＝

＝右边.

例4．已知tan =3，求下列各式的值

课后作业

1.已知sinα＋cosα＝，且0＜α＜π，则tanα的值为(    )

2.若sin4θ＋cos4θ＝1，则sinθ＋cosθ的值为(    )

A.0                B.1               C.－1                D.±1

3.若tanθ＋cotθ＝2，则sinθ＋cosθ的值为(    )

A.0               B.           C.－              D.±

4.若＝10，则tanα的值为                  .

5.若tanα＋cotα=2，则sin4α＋cos4α＝             .

6.若tan2α＋cot2α＝2，则sinαcosα＝               .

7.求证.

8.已知tanθ＋sinθ＝ｍ，tanθ－sinθ＝ｎ.

求证：(1)cosθ＝

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

注：①充分注意用已知角表示要求的角，如等；

②注意角的范围对三角函数值的符号的；

③已知中的一个求另外两个，可以通过直角三角形来求简单；

④正切公式可以变形为： 

，如

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式：

熟记降幂公式：， 

注：①

②

以及，如：已知，则

4.引入辅助角公式： 

（其中且，）

5.几种题型

①有关齐次多项式的函数化为的形式，如可以化为

②可以通过换元转化为二次函数问题，如可以化为，若设，则，此时；再如可以设，则从而转化为二次函数，但需注意此时。

基础过关

1、已知，则=                。

2、=                   。

3、函数的最小值是                。

4、设，若，则=            。

例题讲解

例1．（1）计算下列各式的值．

①cos80cos20+sin80sin20=               ．    ②=               ．

③tan17+tan28+ tan17 tan28=             ．  ④=           ．

（2）中,已知则一定是           (      )

A．锐角三角形       B．直角三角形     C．钝角三角形      D．不确定

（3）若，则=             ．

  变式：若则=             .

例2．已知，求的值．

变式拓展  已知，求的值。

例3．已知，且，求的值．