《概率论与数理统计》题库及答案

一、填空题

1．设有两门高射炮，每一门击中飞机的概率都是0.6，则同时发射一发炮弹而击中飞机的概率为　　　.若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率及中它，至少需 ＿＿＿门高射炮.

2．设在[0，1]上服从均匀分布，则的概率分布函数F(x)= ＿＿＿,P(≤2)= ＿＿＿.

3．设母体，为来自的一个容量为4的样本，则样本均值＿＿＿，＿＿＿,的概率密度为＿＿＿.

4. 将一枚均匀硬币掷四次，则四次中恰好出现两次正面朝上的概率为＿＿＿.

5． 两封信随机地投入四个邮筒, 则前两个邮筒没有信的概率为_______, 第一个邮筒只有一封信的概率为_________.

6． 一批产品的废品率为0.2, 每次抽取1个, 观察后放回去, 下次再任取1个, 共取3次, 则3次中恰有两次取到废品的概率为_________.

7．设ξ具有概率密度，又，则a=　　,b=　　　.

8．设ξ与η相互，ξ～N(0,1)，η～N(1,2)，令ζ=ξ＋2η，则Eζ=＿＿＿,Dζ=＿＿＿, ζ的概率密度函数为＿＿＿.

9．已知，P(A)=0.1,P(B)=0.5,则P(AB)= ＿＿＿,P(A+B)= ＿＿＿, ＿＿＿,P(A|B)= ＿＿＿，＿＿＿.

10．设，则使得成立的＿＿＿.

11．已知，，则 ＿＿＿.

12. 小概率原理认为：小概率事件在一次试验中是不会发生的，如果发生了则要            ．

13. 相关系数的取值范围是            ．

14. 设总体，已知，为来自的一个样本，如检验（常数），则在成立条件下，检验统计量服从            分布．

15. 设总体的概率分布列为为来自的一个样本，则             ．

16. 设的密度函数为，则            ．

17. 设的密度函数为， 则的边沿密            ．

18.            ．

19. 若，则           ．

20. 公交车每5分钟发一辆，则乘客等车时间不超过3分钟的概率为          ．

21. 为密度函数，则            ．

22. 两随机变量与的方差分别为25及36，相关系数为0.4，则          .

23. 设，，且与相互，则统计量           ．

二、选择题

1．若事件A、B为互逆事件，则（      ）

A.   0            B.  0.5           C.  1             D. 

2．在四次重复贝努里试验中，事件A至少发生一次的概率为80/81，则A在每次试验中发生的概率p为（    ）

A.           B.             C.              D. 1－

3．若两个随机变量和的相关系数，则下列结论正确的是（     ）.

A.              B.    

C.                   D.  和相互

4． 设A、B、C为三个事件，则A、B、C至少发生一个的事件应表示为（    ）

  A.  ABC             B.  A＋B＋C         C.          D.  

5．  每次试验成功的概率为，重复进行试验直到第n次才取得次成功的概率为（   ）.

A.    B.    C.     D. 

6． 设（ξ,η）具有概率密度函数，

则A=(    )

A.  0.1            B.  0.5             C.  1               D.  2

7． 设，且μ=0，，令，则Dη=(    )(α、β为常数)

A.      B.        C.        ④

8． 已知ξ的概率密度函数为f(x),则（    ）

A.0≤f(x)≤1     B.P(ξ=x)=f(x)    C.     D.P(ξ=x)≤f(x)≤1

9． 若母体ξ的方差为，则的无偏估计为（    ）

A.          B.         C.        D.S

10．    设A，B为两事件，，则不能推出结论（      ）

    A.                 B.   

C.           D. 

11. 若事件A、B互不相容，则

A．0.5                B．0              C．1               D．0.25

12. 设事件A、B相互，已知，则

A．              B．         C．            D．

13. 设随机变量的概率密度函数为，则

A．0.875         B．      C．     D．

14. 设为连续型随机变量的概率密度，为的分布函数，则下列正确的是

 A．    B．     C．   D．

15. 设的概率密度为，则C =

    A． 1              B．0.5              C．0.25                D．2

16. 设随机变量的概率密度函数为 ， 则

    A．              B．               C．               D．

17. 设A、B、C为三个事件，则A、B、C恰有两个发生的事件应表示为

  A.              B. 

C.       D. 

18. 袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为

A．              B．         C．       D．

19. 设记则下列正确的是

    A．         B．        C．        D．

20. 设的概率密度为 ， 则A =

     A．               B．3               C．             D．2

21. 已知连续型随机变量的概率密度为，为的分布函数，则下列正确的是

      A．                 B． 

C．                     D．

22. 设随机变量的概率密度函数为，如果（    ），恒有． 

     A．     B．     C．      D．

三、计算题

1．如果在1500件产品中有1000件不合格品，如从中任抽150件检查，求查得不合格品数的数学期望；如从中有放回抽取150次，每次抽一件，求查得不合格品数的数学期望和方差.

2． 如果是n个相互、同分布的随机变量，，.对于，写出所满足的切贝晓夫不等式，并估计.

3．在密度函数中求参数 的矩估计和极大似然估计.

4．  已知随机变量ξ～N(0，1)，求

(1)  的概率密度；

(2)  的概率密度.

5．  全班20人中有8人学过日语，现从全班20人中任抽3人参加中日友好活动，令ξ为3人中学过日语的人数，求

(1)  3人中至少有1人学过日语的概率；

(2) ξ的概率分布列及Eξ.

6． 设总体ξ服从指数分布，其概率密度函数为，（θ>0）

试求参数θ的矩估计和极大似然估计.

7．一个盒子有10个球，其中有5个白球，5个黑球，从中不放回地抽两次，每次抽一个球，求

（1）两次都抽到白球的概率；

（2）第二次才抽到白球的概率；

（3）第二次抽到白球的概率.

8．已知ξ～N(0，1)，求

（1）的概率密度；

（2）的概率密度.

9．设总体X～N(μ,1), 为来自X的一个样本，试求参数μ的矩估计和最大似然估计.

10． 设母体具有指数分布，密度函数为

（）， 

试求参数的矩估计和极大似然估计.

11. 袋子中有5件某类产品，其中正品3件，次品2件，现从中任意抽取2件，求2件中至少有1件是正品的概率

12. 一条生产线生产甲、乙两种工件，已知该生产线有三分之一的时间生产甲种工件，此时停机的概率为0.3，有三分之二的时间生产乙种工件，此时停机的概率为0.4．如该生产线停机，求它是在生产甲种工件的概率.

13. 有3人同时走进一栋五层楼房的入口，设每人进入1至5层是等可能的，求没有两人进入同一层的概率.

14. 某地区高考数学成绩服从正态分布，某考生数学成绩为96分，问比他成绩低的考生占多少？（。若该考生个人估分成绩为90分，问比他成绩低的考生占多少？

15. 的密度函数为 ，求.

16. 将一部五卷文集任意排列到书架上，问卷号从左向右或从右向左恰好为1、2、3、4、5的顺序的概率等于多少？

17. 有朋自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车迟到的概率分别是，而乘飞机来则不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率为多少？

18. 已知 为密度函数，求的值.

19. 已知某地区5000名学生的数学统考成绩的正态分布，求50分至80分之间的学生人数.（

20. 已知随机变量的密度函数为，求方程有实根的概率.

四、证明题

1．设总体～N(0，1)，样本来自总体，若使统计量服从分布，试证：

2．随机变量是另一个随机变量的函数，并且（），若存在，求证对于任何实数都有.

3．设的分布列为：，，，试证：若为相互的随机变量序列，则服从大数定律.

4．设总体，样本来自总体，试证：是的无偏估计.

《概率论与数理统计》作业参

一、填空题

1．0.84，6. 

2．，1.

3． N(30,1)，1/2，.

4．                   

5．， （2分）        

6． 0.096               

7．  1/3，（2分）-1/6.  

8．  2，9，.  

9． 0.1，0.5，0.5，0.2，0.9.

10． 3.

11．6. 

12. 2y

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 审视所考察事件是否为小概率

18. 0.5

19. 0.4

20. 

21. 1

22. 37

23. t(n)

二、选择题

1． A        2． C         3． B        4． B        5．  B             

6． B        7． D         8．C         9． C        10． C      

11. B        12. B         13. A        14. D        15.  A

16. B        17. A         18. D        19. A        20.  B

21.C         22. B

三、计算题

1．  第一问是服从超几何分布

第二问是服从二项分布

2．  解：由切贝晓夫不等式

于是

.         

3．   解：    矩估计为         

极大似然估计为           

4． （1）                

（2）                         

5．  （1）0.807                                 

（2）, 3             

6．       矩估计 ，              

极大似然估计 .                    

7．（1）2/9，             

（2）5/18，              

（3）1/2.                   

8．（1）          

（2）                    

9．   矩估计 ；       

极大似然估计  .         

10． 解：   矩估计为         

极大似然估计为           

11. 由公式 

12. 

13. 

14.   

15. 

16. 

17. 设事件： 迟到，：乘火车来，：乘轮船来，

：乘汽车来，：乘飞机来，

18. 由  ，得

19.  

 20.   

四、证明题

1．证明：总体～N(0，1)，样本来自总体，则相互且与总体同分布，令，则～N(0，)，      

于是～N(0，1)，             

令   ，            

于是 服从t分布，           

要使 服从t分布，必须 .    

2． 可用切贝晓夫不等式来证.

3． 证：∵          

          而                          

         故                       

       ∴服从马尔科夫大数定律.                    

4． 证明：