数列综合练习

一、选择题：本大题共6小题，每小题6分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则a5等于(　　).　　　　　　　　　　　　　　

A.1  

2．若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n(n∈N*),则a4等于　　　　　　　　　　　　　

A.11    B.15    C.17    D.20

3．已知{an},{bn}都是等差数列,若a1+b10=9,a3+b8=15,则a5+b6等于

A.18  

4.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生产n年的产量为f(n)= n(n+1)(2n+1)吨,但如果年产量超过150吨,将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是

A.5年 .6年 .7年 .8年

5．设Sn为等差数列{an}的前n项和,(n+1)SnA.Sn的最大值是S8 Sn的最小值是S8

C.Sn的最大值是S7 .Sn的最小值是S7

6．若2a，b,2c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点个数是(　　)

A．0        B．1       C．2      D．0或2

7．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于(　　)

A.80  

8．若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和为(　　).

A.2n+n2-1      B.2n+1+n2-1  .2n+1+n2-2 .2n+n-2

9．等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为(　　)

A.-24 -3 

10．设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　

A.6  

11.设数列{2n-1}按第n组有n个数(n是正整数)的规则分组如下:(1),(2,4),(8,16,32),…,则第101组中的第一个数为(　　)

A.24 951 .24 950 .25 051 .25 050

12．已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的正数x,y都有f(x·y)=f(x)+f(y),若数列{an}的前n项和为Sn,且满足f(Sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N+),则an等于(　　)

A.2n-1 .n .2n-1 . 

二、填空题：本大题共4小题，每小题6分。

13．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是__________．

14．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.

15．已知两个数列{an},{bn}满足bn=3nan,且数列{bn}的前n项和为Sn=3n-2,则数列{an}的通项公式为　　　　　. 

16.若数列{an}满足=d(n∈N+,d为常数),则称数列{an}为调和数列,已知数列为调和数列,且x1+x2+…+x20=200,则x5+x16=　　　　　. 

三、解答题：本大题共3小题，满分45分．

17．(10分)已知a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，其中n＝1,2,3，….

(1)证明数列{lg(1＋an)}是等比数列；

(2)求an的通项公式．

18．(15分)设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.

(1)求通项公式an;

(2)求数列{|an-n-2|}的前n项和.

19．(15分)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求数列

20．(10分)已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.

(1)求{an}的通项公式；

(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和公式．

21．(15分)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.

(1)求{an}的通项公式;

(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.

22．(15分)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0,且b≠1,b,r均为常数)的图象上.

(1)求r的值;

(2)当b=2时,记,求数列{bn}的前n项和Tn.

参

一、选择题：本大题共6小题，每小题6分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．解析：∵a3a11an>0,∴a7=4.∴a5

答案:A

2．解析：a4=S4-S3=20-9=11.

答案:A

3． 解析：因为{an},{bn}都是等差数列,

所以2a3=a1+a5,2b8=b10+b6,

所以2(a3+b8)=(a1+b10)+(a5+b6),

即a5+b6=2(a3+b8)-(a1+b10)=2×15-9=21.

答案:C

4．解析：由题意可知第一年的产量为a1=×1×2×3=3;以后各年的产量分别为an=f(n)-f(n-1)

=n(n+1)(2n+1)- (n-1)·n·(2n-1)=3n2.

令3n2≤150,∴1≤n≤5又n∈N+,

∴1≤n≤7,即生产期限最长为7年.

答案:C

5.解析:由(n+1)Sn0,a7<0,所以数列{an}的前7项为负值,即Sn的最小值是S7.

答案:D

6．解析：由题意，得b2＝4ac，令ax2＋bx＋c＝0，

∴Δ＝b2－4ac＝0，故函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相切，故选B.

答案：　B

7．解析：设S2n=a,S4n=b,由等比数列的性质知2(14-a)=(a-2)2,解得a=6或a=-4(舍去),同理(6-2)(b-14)=(14-6)2,所以b=S4n=30.

答案:B

8．解析：Sn=(2+22+…+2n)+(1+3+5+…+2n-1) 

答案:C

9.解析:设等差数列的公差为d,则d≠0, =a2·a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2,所以S6=6×1+×(-2)=-24,故选A.

答案:A

10．答案:A

11．解析：前100组共有1+2+3+…+100=5 050个数,则第101组中的第一个数为数列{2n-1}的第5 051项,该数为25 050.

答案:D

12．解析:由题意知f(Sn+2)=f(an)+f(3)(n∈N+),

∴Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n≥2),两式相减得2an=3an-1(n≥2),又n=1时,S1+2=3a1=a1+2,

∴a1=1,∴数列{an}是首项为1,公比为的等比数列,∴an=.答案:D

二、填空题：本大题共4小题，每小题6分。

13．解析：设此三数为3，a，b

则，

解得，或.

∴这个未知数为3或27.答案：3或27

14.解析：由题意得a4＋a5＝2，a4a5＝，∵q>1，∴a5>a4，解得a4＝，a5＝，∴q＝3，

∴a6＋a7＝a5(q＋q2)＝18.

答案：18

15．解析：由题意可知3a1+32a2+…+3nan=3n-2. ①

当n=1时,a1=;

当n≥2时,3a1+32a2+…+3n-1an-1=3(n-1)-2, ②

①-②,得3nan=3,an=,

此时,令n=1,有a1=1,与a1=相矛盾.

故an=

答案:an=

16.解析：由题意知,若{an}为调和数列,则为等差数列,∴由为调和数列,可得数列{xn}为等差数列.由等差数列的性质知,x5+x16=x1+x20=x2+x19=…=x10+x11==20.

答案:20

三、解答题：本大题共3小题，满分45分．

17解：(1)由已知得an＋1＝a＋2an，

∴an＋1＋1＝a＋2an＋1＝(an＋1)2

∵a1＝2，∴an＋1＋1＝(an＋1)2>0，

∴lg(1＋an＋1)＝2lg(1＋an)

即＝2，且lg(1＋a1)＝lg3

∴{lg(1＋an)}是首项为lg3，公比为2的等比数列．

(2)由(1)知，lg(1＋an)＝2n－1·lg3＝lg32n－1

∴1＋an＝32n－1

∴an＝32n－1－1.

18.解：(1)由题意

又当n≥2时,由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,

得an+1=3an.

所以,数列{an}的通项公式为an=3n-1,n∈N*.

(2)设bn=|3n-1-n-2|,n∈N*,b1=2,b2=1.

当n≥3时,由于3n-1>n+2,故bn=3n-1-n-2,n≥3.

设数列{bn}的前n项和为Tn,则T1=2,T2=3.

当n≥3时,Tn=3

所以Tn

19.解：(1)设等差数列{an}的公差为d,则Sn=na1

由已知可得

解得a1=1,d=-1.

故数列{an}的通项公式为an=2-n.

(2)由(1)知

从而数列n项和为

20． 解：　(1)设等差数列{an}的公差为d，

∵a3＝－6，a6＝0.

∴，解得，

∴an＝－10＋(n－1)×2＝2n－12.

(2)设等比数列{bn}的公比为q.

∵b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8.

∴－8q＝－24，∴q＝3.

∴{bn}的前n项和为

Sn＝＝＝4(1－3n)．

21.解：(1)等比数列{bn}的公比q

所以b1

设等差数列{an}的公差为d.

因为a1=b1=1,a14=b4=27,

所以1+13d=27,即d=2.

所以an=2n-1(n=1,2,3,…).

(2)由(1)知,an=2n-1,bn=3n-1.

因此cn=an+bn=2n-1+3n-1.

从而数列{cn}的前n项和

Sn=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1

22.解析:(1)由题意,得Sn=bn+r,

当n≥2时,Sn-1=bn-1+r,an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1).

∵b>0,且b≠1,∴当n≥2时,数列{an}是以b为公比的等比数列.

又a1=b+r,a2=b(b-1) r=-1.

(2)由(1)知,an=(b-1)bn-1=2n-1,n∈N*,

∴bn

Tn

两式相减,得

 故Tn