2023年湖南省邵阳市高考数学二模试卷+答案解析(附后)

1. 在复平面内，复数为虚数单位对应的点位于( )

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

2. 已知集合，

若“

”是“

”的充分不必要

条件，则m 的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

3. 已知向量

，

，

若

与

垂直，则实数的值

为( )

A.

B. C. 2

D.

4. 已知函数

若存在实数

，

，

，满足

，则

的取值范围是( )

A. B. C. D.

5. 党的二十大报告提出全面推进乡村振兴.为振兴乡村经济，

某市一知名电商平台决定为乡村的特色产品开设直播带货专场.该特色产品的热卖黄金时段为2023年2月1至4月1日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2023年2月1日至2月5日时段的相关数据，这5天的第x 天到该电商平台专营店购物人数

单位：万人的数据如下表：

日期2月1日2月2日2月3日2月4日2月5日第x 天12345人数

单位：万人

75

84

93

98

100

依据表中的统计数据，该电商平台直播黄金时间的天数x 与到该电商平台专营店购物的人数单位：万人具有较强的线性相关关系，经计算得，到该电商平台专营店购物人数

y

与直

播天数x 的线性回归方程为请预测从2023

年2月1

日起的第

38

天到该专营

店购物的人数

单位：万人为( )

A. 312

B. 313

C.

314

D. 315

6. 已知椭圆

的左、右焦点分别为

，

，半焦距为

在椭圆上存

在点P 使得

，则椭圆离心率的取值范围是( )

A. B. C. D.

平面ABCD，且，点E为线段除端点外上的动点，

沿直线AE将翻折到，则下列说法中正确的是( )

A. 当点E固定在线段CD的某位置时，点的运动轨迹为球面

B. 存在点E，使平面

C. 点A到平面BCF的距离为

D. 异面直线EF与BC所成角的余弦值的取值范围是

8. 若不等式对任意恒成立，则正实数t的取值范围是( )

A. B. C. D.

9. 在正方体中，，则( )

A. 为钝角

B.

C. 平面

D. 直线EF与平面所成角的正弦值为

10. 若函数的最小正周期为，则( )

A. B. 在上单调递增

C. 在内有5个零点

D. 在上的值域为

11. 已知点P为定圆O上的动点，点A为圆O所在平面上的定点，线段AP的中垂线交直线OP于点Q，则点Q的轨迹可能是( )

A. 一个点

B. 直线

C. 椭圆

D. 双曲线

12. 已知函数，是的导数，则( )

A. 函数在上单调递增

B. 函数有唯一极小值

C. 函数在上有且只有一个零点t，且

D. 对于任意的，恒成立

13. 若，，则的最小值为______ .

14. 在数学中，有一个被称为自然常数又叫欧拉数的常数小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有______ 个.

15. 已知直线l是曲线与的公切线，则直线l与x轴的交点坐标为______ .

16. 已知数列满足，设数列的前n项和为

，则数列的通项公式为______ ，______ .

17. 已知为数列的前n项和，，记

求数列的通项公式；

已知，记数列的前n项和为，求证：

18. 人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空的点P处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍.已知位于点C西南方向的草从A处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为，拍摄羚羊的俯角为，假设A，B，C三点在同一水平面上.

求此时猎豹与羚羊之间的距离AB的长度；

若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近，且开始以的速度出击，与此同时机警的羚羊以的速度沿北偏东方向逃跑，已知猎豹受耐力，最多能持续奔跑600m，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能？请说明原因.

19. 如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是等腰梯形，

平面平面ABCD，O为AB的中点，，E，F，G分别为BC，PD，PC的中点.

求证：平面平面AFGB；

求平面PDE与平面ABCD所成锐二面角的正切值.

20. 为响应总“全民健身”的号召，促进学生德智体美劳全面发展，某校举行校园足球比赛.根据比赛规则，淘汰赛阶段，参赛双方有时需要通过“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：

①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；

②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为2：0，则不需要再踢第5轮；

③若前5轮“点球大战”中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出.假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.

假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确，左右两边将球扑出

的可能性为，中间方向扑出的可能性为若球员射门均在门内，在一次“点球大战”中，求门将在前4次扑出点球的个数X的分布列和数学期望.

现有甲、乙两队在淘汰赛中相遇，需要通过“点球大战”来决定胜负.设甲队每名队员射进点球的概率均为，乙队每名队员射进点球的概率均为，若甲队先踢，求甲队恰在第4轮取得胜利的概率.

21. 已知双曲线C：的右顶点为A，左焦点到其渐

近线的距离为2，斜率为的直线交双曲线C于A，B两点，且求双曲线C的方程；

过点的直线与双曲线C交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与直线相交于M，N两点，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

22. 已知函数，

对任意的，恒成立，求实数t的取值范围；设方程在区间内的根从小到大依次为，

，…，…，求证：答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：因为，

所以复数对应的点在第三象限，

故选：

利用复数的运算性质化简复数，进而可以求解．

本题考查了复数的运算性质，属于基础题．

2.【答案】B

【解析】解：集合，“”是“”的充分不必要条件，

则，解得，

故m的取值范围为

故选：

根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，列出不等式组，即可求解．

本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．

3.【答案】A

【解析】解：，且，

，解得

故选：

可得出，然后根据与垂直可得出，进

行向量数量积的坐标运算即可求出的值．

本题考查了向量垂直的充要条件，向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．

4.【答案】C

【解析】解：画出函数的图象，

令，作出直线，

由时，；时，

由图象可得，当时，直线和曲线有四个交点．

令，，

时，，

由图象可得，

则，即为，可得，

由的图象关于直线对称，可得，

则在递减，

即有

故选：

画出函数的图象，根据图象特点，和对称性可得的取值范围．

本题考查对数函数，三角函数的性质，属于中档题．

5.【答案】C

【解析】解：由表中数据，计算，

，

所以线性回归方程过样本中心点，即，所以，

当时，

即预测从2023年2月1日起的第38天到该专营店购物的人数为314万人．故选：

根据表中数据计算、，由线性回归方程过样本中心点求出a，写出回归方程，计算时

的值即可．

本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．

6.【答案】B

【解析】解：，

在中，由正弦定理知，

，

，即①．

又在椭圆上，

将①代入得，

同除以a得，

得

故选：

利用正弦定理、椭圆的定义，结合条件，即可求该椭圆的离心率的取值范围．

本题考查椭圆的离心率的取值范围，考查正弦定理、椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．

7.【答案】D

【解析】解：选项A：当点E固定在线段CD的某位置时，线段AE的长度为定值，

过作于点H，故的轨迹是以H为圆心，为半径的圆，故A错；

选项B：无论E在端点除外的哪个位置，AB均不与AE垂直，

故AB不与平面垂直，故B错误；

选项C：由已知得平面ABF，作，则，则平面BCF，

设A到平面BCF的距离为d，由已知，得，故C错误；

选项D：以，为x，y，z的正方向建立空间直角坐标系，

，

设，，设EF与BC所成的角为

，

则

故选：

A 中，线段AE的长度为定值，可得的轨迹是以H为圆心，为半径的圆；B中，AB均不与AE垂直，由此可判断；C中，作，可得AH为所求距离；D中，利用向量求异面直线EF与BC所成角即可．

本题考查空间中个点线面的位置关系，考查动点问题，考查异面直线所成角的问题，属于中档题．

8.【答案】B

【解析】解：因为恒成立，

即恒成立，

令，则恒成立，

因为恒成立，故单调递增，

所以在时恒成立，

恒成立，

令，

，

令，则，

单调递减，

，即

，

单调递减，故，

则正实数t的取值范围是

故选：

由题意得恒成立，令，则恒成

立，利用的单调性可得在时恒成立，即

恒成立，构造函数，由其单调性得，即

可得出答案．

本题考查了利用导数研究不等式的恒成立问题，属于中档题．

9.【答案】BCD

【解析】解：，不妨设正方体的棱长为4，建立以D为原点的空间直角坐标系，如图所示：

对于A：，，则，

，

为锐角，故A错误；

对于B：由题意得，，

，

，即，

，故B正确；

对于C：，，

设平面的法向量为，则，取，则，

平面的法向量为，

，即，

又平面，则平面，故C正确；

对于D：在正方体中，平面，则平面的法向量为

，

又，

直线EF与平面所成角的正弦值为，故D正确，

故选：

由题意不妨设正方体的棱长为4，建立以D为原点的空间直角坐标系，利用向量法，逐一分析选项，即可得出答案．

本题考查棱柱的结构特征，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

10.【答案】BC

【解析】解：

，

由于的最小正周期为，则，则，

A项：，A错误；

B项：令，

，时，一个单调增区间为，

又，则B正确；

C项：，，，

在内，当时，当时，当时，

，

当时，当时，共有5个零点，C正确；

D项：，

当，即时，取得最大值为，

当，即时，取得最小值为，

则在上的值域为，D错误．

故选：

先将解析式确定，直接可判断A错误，C正确；B，D项需将看成一个整体，利用的性质来解即可．

本题考查三角函数的性质，考查值域，单调性，零点，属于中档题．

11.【答案】AD

【解析】解：设圆的的半径为r，

由中垂线的性质可得，

因为，即，因为O，A为定点，

当时，则Q的轨迹为双曲线，所以D正确；

当时，则Q的轨迹为以O点为端点的射线，

故选：

由中垂线的性质可得，再由P在圆上，可得为定值，可能Q点的轨迹为双曲线，也有可能为射线．

本题考查线段的中垂线的性质的应用及双曲线的定义的应用，属于基础题．

12.【答案】ABD

【解析】解：根据题意，函数，则

，

对于A，设，其导数，设，

，

所以函数在上单调递增，

所以，

所以对任意的恒成立，

所以在上单调递增，故A正确；

又，

所以，则存在，使得，

当时，单调递减，

当时，单调递增，

所以有唯一极小值，故B正确；

令，

，

所以函数在单调递减，在单调递增，且，则有，又，

所以存在，使得，

所以当时，单调递增，

当时，单调递减，

所以，

又，

存在唯一，使得，

当时，

当时，

又，

令，

，

所以函数在上单调递减，

所以，

则，

即，所以函数在上有唯一零点，

函数在上有且只有一个零点，且，故C错误；

，

，

设，则，

由选项A知，在上单调递增，而，则，

即有，

所以函数在上单调递增，

，

即有，

所以对任意的，总满足，故D正确，

故选：

对于A：设，求导分析的符号，进而可得单调性，即可判断A是否正确；

对于B：分析的单调性，极值，即可判断B是否正确；

对于C：令，求导分析的单调性，极值，零点，即可判断C是否正确；

对于D：，

，设

，求导分析单调性，最值，即可判断D是否正确．

本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，注意正确计算函数的导数，属于中档题．

13.【答案】8

【解析】解：，，

，当且仅当，即，

时，等号成立，

即的最小值为

故答案为：由题意可知，再利用基本不等式求解即可．

本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题．

14.【答案】36

【解析】解：如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，

两个2捆绑看作一个元素与7，1全排列，排好后有4个空位，两个8插入其中的2个空位中，注意到两个2，两个8均为相同元素，

那么小明可以设置的不同密码共有

故答案为：

根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解．

本题考查了排列组合的应用，属于基础题．

15.【答案】

【解析】解：由，得，

由，得，

设直线l与曲线和分别切于，则，即，代入，

可得，解得，

，切点为，则切线方程为，

取，得

直线l与x轴的交点坐标为

故答案为：

设直线l与两曲线的切点坐标，得到两曲线在切点处的导数值，再由斜率相等列式求解切点坐标，得到切线方程，进一步得答案．

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．

16.【答案】

【解析】解：已知数列满足，

所以，

则当时，

，

又当时，满足上式，

则；

由题意有，①

则，②

由①-②可得

，

令，③

则，④

由③-④可得，即，

即，

即，

故答案为：；

利用数列递推式，结合累乘法求数列的通项公式，然后结合错位相减法求和即可．

本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了错位相减法求和，属中档题．

17.【答案】解：由，可得，

即，即有，

可得，

则，；

证明：

，

当n为偶数时，

，由在上递增，可得；

当nn为奇数时，

，

由，可得

所以

【解析】由数列的递推式和等比数列的通项公式、结合对数的运算性质可得所求通项公式；

求得，分别讨论n为奇数或偶数，再由数列的裂项相消求和，结合数列的单调性和不等式的性质，可得证明．

本题考查数列的递推式和等比数列的通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．

18.【答案】解：由题意作图如下：

则，，

，

由正弦定理，可得，

因此或，

当时，猎豹与羚羊之间的距离为，当，猎豹与羚羊之间的距离为；

由题意作图如下：

设捕猎成功所需的最短时间为t，

在中，，，

由余弦定理得：，

整理得：，

方法1：设，显然，

因猎豹能坚持奔跑最长时间为24s，且，

存在，使，

，猎豹能捕猎成功；

方法2：由方程得舍负，

又，

猎豹能捕猎成功．

【解析】根据题意，作图，结合图中的几何元素，利用三角函数以及正弦定理，结合分类讨论思想，可得答案；

由题意作图，设出时间，利用余弦定理，整理方程，方法1利用零点存在性定理；方法2利用方程求解研究根的大小，可得答案．

本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．

19.【答案】证明：如图所示，取AO的中点H，连接

HD，HP，

在等腰梯形ABCD中，，

，

为AB的中点，即有四边形BCDO是平行四边形，

，

为正三角形，，

在中，，为边长为2的正三角形，，

，又F 为FD 的中点，

，

，HD ，

平面PHD ，

平面PHD ，即

平面PHD ，

平面PHD ，

，

而G 为PC 中点，则，

又

，AF ，

平面AFGB ，平面AFGB ，

平面PCD ，

平面平面AFGB ；

解：

，平面

平面ABCD ，平面

平面，平面PAB ，

平面ABCD ，

由知，PH ，HD ，AB 两两垂直，

以H 为坐标原点，HD ，HB ，HP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则，

于是

设平面PDE 的法向量为

，

则即取，则，

设平面PDE 与平面ABCD 所成锐二面角为，

为平面ABCD 的一个法向量，

，

，

平面PDE 与平面ABCD 所成锐二面角的正切值为

【解析】

根据线面垂直判定定理以及性质定理，结合面面垂直判定定理，可得答案；

建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量计算公式，可得答案．本题考查了面面垂直的证明和二面角的计算，属于中档题．

20.【答案】解：

每次扑出点球，

X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，

，

，

，

，

的分布列为：

X 01234

P

；

若甲队恰在第4轮取得胜利，则前3轮结束时比分可能为1：0，2：0，2：1，3：1，3：2，

分别记前3轮比分为1：0，2：0，2：1，3：1，3：2且甲队恰在第4轮取得胜利，事件分别为A，B，C，D，E，

，

，

，

，

，

故甲队恰在第4轮取得胜利，

甲队恰在第4轮取得胜利的概率为

【解析】根据二项分布的概率计算公式即可求解；

根据前3轮比分为1：0，2：0，2：1，3：1，3：2时，结合相互事件的概率乘法计算公式即可逐一求解．

本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．21.【答案】解：双曲线C的左焦点到双曲线C的渐近线的距离为

，又，

双曲线C的方程为，

依题意直线的方程为，

由，消去y整理得：，

依题意：，则，，

，

即，解得或舍去，

双曲线C的方程为；

依题意直线的斜率不等于0，设直线的方程为，

由，消去x整理得：，

，

设，则，

直线AP的方程为，令，得：，

同理可得，

由对称性可知，若以线段MN为直径的圆过定点，则该定点一定在x轴上，

设该定点为，则，

，解得或

故以线段MN为直径的圆过定点和

【解析】利用焦点到渐近线的距离可求b，直线的方程为，与双曲线方程联立可得，求解即可；

设直线的方程为，设，与双曲线方程联立可得

，又，可求定点坐标．

本题主要考查了由双曲线的性质求解双曲线的方程，直线与曲线相交弦长公式，考查运算求解能力，属中档题．

22.【答案】解：对任意的，即恒成立，

令，则不等式恒成立；

当时，原不等式化为，

令，

，

所以在区间上单调递增，

所以的最大值为，

要使得不等式恒成立必有，

所以t的取值范围为

证明：由已知方程可化为，

令，

则，

因为，

所以，

所以，在区间，上单调递减，

，

，

所以存在唯一，，

，，

，

，

，

由单调递减可得，即

【解析】根题意可得当时，原不等式化为，令

，即可得出答案．

由已知方程可化为，令，求导

分析在区间单调，，存在唯一，

，，，

，即可得出答案．

本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．