2022-2023学年山东省青岛一中高一(下)期中数学试卷【答案版】

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知（1+i ）z ＝3﹣i ，其中i 为虚数单位，则|z |＝（ ） A ．5

B ．√5

C ．2

D ．√2

2．sin47°cos43°+sin137°sin43°等于（ ） A ．0

B ．﹣1

C ．1

D ．1

2

3．如图直角△O 'A 'B '是一个平面图形的直观图，斜边O 'B '＝4，则原平面图形的面积是（ ）

A ．8√2

B ．4√2

C ．4

D ．√2

4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin A ＝b sin B +（c ﹣b ）sin C ，AD 是△ABC 的角平分线，D 在BC 边上，AD =√3，b ＝3c ，则a 的值为（ ） A ．

2√73

B ．

4√7

3

C ．

5√7

3

D ．

8√73

5．先将函数f （x ）＝sin4x 的图象向右平移π12

个单位长度，再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原

来的2倍，纵坐标变为原来的2倍，得到函数g （x ）的图象，则g （x ）＝（ ） A ．2sin(2x +π3

) B ．12

sin(12

x −π

6

)

C ．2sin(2x −π3)

D ．2sin(12x −π

3)

6．《算数术》是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与h ，当圆周率π近似取3时，其体积V 的近似公式V ≈136L 2ℎ．现有一圆锥，其体积的近似公式V ≈1

38L 2ℎ，侧面积为其轴截面面积的3倍，母线长为4，则此圆锥的高为（ ） A ．4

B ．

3

C ．

8821

D ．

11227

7．已知单位向量a →

，b →

满足|a →

−b →

|+2√3a →•b →

=0，则|t a →

+b →

|（t ∈R ）的最小值为（ ）

A ．

√23

B ．

√32

C ．

2√2

3

D ．

√22

8．已知θ∈{π

4，π

2，3π

4，2π}，现将函数f （x ）＝cos 4x ﹣sin 4x 的图象向右平移θ个单位后得到函数g （x ）的图象，若两函数g （x ）与y ＝tan ωx （ω＞0）图象的对称中心完全相同，则满足题意的θ的个数为（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．若复数z 满足z （1﹣2i ）＝8﹣i ，则（ ） A ．z 的实部为2 B ．z 的模为13

C ．z 的虚部为2

D ．z 在复平面内表示的点位于第四象限

10．以下四个命题中，正确命题是（ ） A ．不共面的四点中，其中任意三点不共线

B ．若点A ，B ，

C ，

D 共面，点A ，B ，C ，

E 共面，则A ，B ，C ，D ，E 共面 C ．若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面

D ．依次首尾相接的四条线段必共面 11．下列命题正确的是（ ）

A ．已知角x 的终边上一点的坐标为(sin

5π6，cos 5π

6)，则角x 的最小正值为5π6

B ．已知θ是第二象限角，则tan （sin θ）＞tan （cos θ）

C ．若扇形周长为20，则其面积最大值为25

D ．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b ＝8，c ＝10，B ＝60°，则符合条件的△ABC 有2个

12．已知△ABC 的重心为G ，点E 是边BC 上的动点，则下列说法正确的是（ ） A ．AG →

+BG →

=CG →

B ．若AE →=23AB →+13A

C →

，则△EAC 的面积是△ABC 面积的23

C ．若AB ＝AC ＝2，BC ＝3，则AB →⋅AG →

=7

6

D ．若AB ＝AC ＝2，BC ＝3，则当EA →

⋅EB →

取得最小值时，|EA →

|=√37

4 三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.

13．已知圆锥的轴截面是斜边为2√3的直角三角形，则该圆锥的体积为 ．

14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝a cos C ，C ＝30°，c ＝2，则△ABC 的面积为 ．

15．如图是函数f （x ）＝A sin （ωx +φ），(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π

2)在一个周期内的图象，则其解析式是 ．

16．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称为“赵爽弦图”，它是由四个全

等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若DA →

=m →

，DC →

=n →

，AF →

=23AE →

，则

DE →

= ．（用向量m →，n →

表示）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知锐角α、β满足cosα=2√55，sin(α−β)=−3

5，求sin β的值． 18．（12分）当实数m 分别为何值时． （1）复数z ＝m 2+m ﹣2+（m 2+5m +6）i 是： ①实数？ ②虚数？

（2）复数z =log 2(m 2−3m −3)+ilog 2(3−m)为纯虚数？

19．（12分）如图所示，某游乐场的摩天轮最高点距离地面85m ，转轮的直径为80m ，摩天轮的一侧不远处有一排楼房（阴影部分）．摩天轮开启后转轮顺时针匀速转动，游客在座舱转到最低点时进入座舱，转动t min 后距离地面的高度为H m ，转一周需要40min ．

（1）求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数H （t ）的解析式；

（2）游客甲进入座舱后观赏周围风景，发现10：14时刚好可以看到楼房顶部，到10：42时水平视线刚好再次被楼房遮挡，求甲进入座舱的时刻并估计楼房的高度． 参考数据：sin

3π10

≈4

5

．

20．（12分）如图，已知OA ＝10，点B 是以O 为圆心，5为半径的半圆上一动点． （1）当∠AOB ＝120°时，求线段AB 的值；

（2）若△ABC 为正三角形，求四边形OACB 面积的最大值．

21．（12分）鳖臑是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．如图，三棱锥A ﹣BCD 是一鳖臑，其中AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，AC ⊥CD ，且高AB ＝3√2，BC =√2CD =√6． （1）求三棱锥A ﹣BCD 的体积和表面积；

（2）求三棱锥A ﹣BCD 外接球体积和内切球的半径．

22．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知m →

=(cos A 2，√3sin A

2)，n →

=(−2sin A 2，2sin A

2)，且m →⋅n →

=0． （1）求角A 的大小；

（2）点M 是BC 的中点，且AM ＝1，求△ABC 面积的最大值． 附加题

23．（10分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a+b a+c

=

sin

C−A

2

sin

C+A 2

． （1）若A =π

4，求B ； （2）求c

a

+c b 的取值范围．

2022-2023学年山东省青岛一中高一（下）期中数学试卷

参与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知（1+i ）z ＝3﹣i ，其中i 为虚数单位，则|z |＝（ ） A ．5

B ．√5

C ．2

D ．√2

解：（1+i ）z ＝3﹣i ，则z =3−i 1+i =(3−i)(1−i)

(1+i)(1−i)

=1﹣2i ，故|z |=√12+(−2)2=√5． 故选：B ．

2．sin47°cos43°+sin137°sin43°等于（ ） A ．0

B ．﹣1

C ．1

D ．1

2

解：sin47°cos43°+sin137°sin43°＝sin47°cos43°+sin43°cos47°＝sin （43°+47°）＝sin90°＝1． 故选：C ．

3．如图直角△O 'A 'B '是一个平面图形的直观图，斜边O 'B '＝4，则原平面图形的面积是（ ）

A ．8√2

B ．4√2

C ．4

D ．√2

解：∵Rt △O 'A 'B '是一平面图形的直观图，斜边O 'B '＝4， ∴直角三角形的直角边长是2√2， ∴直角三角形的面积是

12

×2√2×2√2=4，

∴原平面图形的面积是4×2√2=8√2， 故选：A ．

4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin A ＝b sin B +（c ﹣b ）sin C ，AD 是△ABC 的角平分线，D 在BC 边上，AD =√3，b ＝3c ，则a 的值为（ ） A ．

2√73

B ．4√73

C ．5√73

D ．

8√73

解：因为a sin A ＝b sin B +（c ﹣b ）sin C ，

所以由正弦定理化简可得：a 2＝b 2+c 2﹣bc ，即：b 2+c 2﹣a 2＝bc ，

故cos A =b 2

+c 2−a 22bc =bc 2bc =12，由于A ∈（0，π），可得：A =π

3

，

因为AD 是△ABC 的角平分线，D 在BC 边上，可得∠BAD ＝∠DAC =π6

， 所以由余弦定理可得BD =√3+c 2−2×√3×c ×3

2

，CD =√3+b 2−2×b ×√3×

3

2

，

因为b ＝3c ，

所以CD ＝3BD ，即√3+b 2−2×b ×√3×32=3√3+c 2−2×√3×c ×32，整理可得c =4

3，b ＝4，

所以由余弦定理可得a =√(43)2+42−2×43×4×12=4√73

． 故选：B ．

5．先将函数f （x ）＝sin4x 的图象向右平移

π12

个单位长度，再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原

来的2倍，纵坐标变为原来的2倍，得到函数g （x ）的图象，则g （x ）＝（ ） A ．2sin(2x +π

3) B ．12

sin(12

x −π

6

)

C ．2sin(2x −π

3)

D ．2sin(12x −π3

)

解：f （x ）＝sin4x 的图象向右平移

π

12

个单位长度，可得y =sin[4(x −π

12)]=sin(4x −π

3)的图象，

再将y =sin(4x −π

3)的图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，可得y ＝sin （2x −π

3）的图象， 再把纵坐标变为原来的2倍，可得y =2sin(2x −π

3)，即g(x)=2sin(2x −π

3)， 故选：C ．

6．《算数术》是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与h ，当圆周率π近似取3时，其体积V 的近似公式V ≈1

36L 2ℎ．现有一圆锥，其体积的近似公式V ≈1

38L 2ℎ，侧面积为其轴截面面积的3倍，母线长为4，则此圆锥的高为（ ） A ．4

B ．

3 C ．

8821

D ．

11227

解：设圆锥的底面半径为r ，则圆锥的体积为V =1

3

πr 2ℎ， ∵V ≈

138L 2ℎ=138(2πr)2ℎ，∴13πr 2ℎ≈138

×4π2r 2ℎ，解得π≈19

6， 圆锥的侧面积为12

×4×2πr =4πr ，轴截面面积为12

⋅2r ⋅ℎ=rh ， ∴4πr ＝3rh ，∴h =4π3≈43×196=38

9． 故选：B ．

7．已知单位向量a →

，b →

满足|a →

−b →

|+2√3a →•b →

=0，则|t a →

+b →

|（t ∈R ）的最小值为（ ） A ．

√23

B ．

√32

C ．

2√2

3

D ．

√22

解：由|a →

−b →

|+2√3a →•b →

=0，得|a →

−b →

|＝﹣2√3a →•b →

， 两边平方，得a →2

−2a →

⋅b →

+b →2

=12(a →⋅b →)2

， 即12(a →

⋅b →

)2+2a →

⋅b →

−2=0，

所以a →

⋅b →=−12，或a →⋅b →=1

3

，

因为|a →

−b →

|＝﹣2√3a →•b →

≥0，所以a →

⋅b →

=−1

2，

所以|t a →

+b →

|=√t 2a →2+2ta →⋅b →

+b →

2=√t 2−t +1=√(t −12)2+34≥√32，t =1

2时，表达式取得最小值．

故选：B ． 8．已知θ∈{π

4

，π2

，

3π

4

，2π}，现将函数f （x ）＝cos 4x ﹣sin 4x 的图象向右平移θ个单位后得到函数g （x ）的图象，若两函数g （x ）与y ＝tan ωx （ω＞0）图象的对称中心完全相同，则满足题意的θ的个数为（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解：依题化简得：f （x ）＝cos 4x ﹣sin 4x ＝cos2x ，根据正余弦曲线与正切曲线的图象性质，

欲使得两函数图象对称中心一致，f （x ﹣θ）＝cos2（x ﹣θ）须为奇函数，且y ＝tan ωx 只能为y ＝tan x ，

4

，或θ=

3π

4

，

故选：B．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．若复数z满足z（1﹣2i）＝8﹣i，则（）

A．z的实部为2B．z的模为13

C．z的虚部为2D．z在复平面内表示的点位于第四象限

解：∵z（1﹣2i）＝8﹣i，

∴z（1﹣2i）（1+2i）＝（8﹣i）（1+2i），化为：5z＝10+15i，

∴z＝2+3i，∴z的实部为2，|z|=√22+32=√13，虚部为3，z所对应的点（2，3）在第一象限．故A，B正确，C，D错误．

故选：AB．

10．以下四个命题中，正确命题是（）

A．不共面的四点中，其中任意三点不共线

B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面

C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面

D．依次首尾相接的四条线段必共面

解：不共面的四点中，其中任意三点不共线，故A为真命题；

若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E可能不共面，故B为假命题；

若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c可能不共面，故C为假命题；

依次首尾相接的四条线段可能不共面，故D为假命题；

故选：A．

11．下列命题正确的是（）

A．已知角x的终边上一点的坐标为(sin5π

6，cos5π

6

)，则角x的最小正值为

5π

6B ．已知θ是第二象限角，则tan （sin θ）＞tan （cos θ）

C ．若扇形周长为20，则其面积最大值为25

D ．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b ＝8，c ＝10，B ＝60°，则符合条件的△ABC 有2个

解：对于A ：sin

5π6

=12

，cos

5π6

=−

√32

所以角x 的终边上一点的坐标为（1

2，−√3

2），

所以角x 的终边在第四象限，且tan x =−√3， 所以x =−π3

+k π，k ∈Z ，所以角x 的最小正值为

2π3

，故A 错误；

对于B ：因为角θ是第二象限角，所以0＜sin θ＜1，﹣1＜cos θ＜0，

因为y ＝tan x 在（−π

2，π

2）上单调递增，所以tan （sin θ）＞tan （cos θ），故B 正确；

对于C ：根据题意可得2r +l ＝20， 扇形的面积S =1

2l •r =1

4•l •2r ≤1

4（

2r+l 2

）2=1

4×（

202

）2＝25，故C 正确；

对于D ：如图：AD ＝AB sin60°＝10×sin60°＝5√3＞8， 所以没有符合条件的三角形，故D 错误． 故选：BC ．

12．已知△ABC 的重心为G ，点E 是边BC 上的动点，则下列说法正确的是（ ） A ．AG →

+BG →

=CG →

B ．若AE →=2

3AB →

+1

3AC →

，则△EAC 的面积是△ABC 面积的2

3

C ．若AB ＝AC ＝2，BC ＝3，则AB →

⋅AG →

=76

D ．若AB ＝AC ＝2，BC ＝3，则当EA →

⋅EB →

取得最小值时，|EA →

|=√37

4 解：设AB 的中点为D ，则GA →+GB →=2GD →，由重心性质得CG →=2GD →

， 则AG →+BG →=−2GD →=−CG →

，故A 错误；

由AE →

=23AB →+13AC →

，得3AE →=2AB →+AC →，则AE →−AC →=2AB →−2AE →，

∴CE →=2EB →

，∴E 为边BC 上靠近点B 的三等分点， 则△EAC 的面积是△ABC 面积的2

3，故B 正确；

在△ABC 中，由余弦定理得cos A =

4+4−92×2×2=−1

8

，

则AB →

⋅AG →

=AB →

⋅1

3(AB →+AC →

)=13（AB →

2+AB →

⋅AC →

）=13[4+2×2×(−18)]=7

6，故C 正确； 由余弦定理得cos ∠ABC =4+9−42×2×3=3

4，

∴EA →

⋅EB →

=EB →

⋅(EB →

+BA →

)=EB →

2+EB →

⋅BA →

=EB →

2+|EB →

|⋅|BA →

|⋅cos(π−∠ABC)

=EB →2−32|EB →|=（|EB →|−34）2−9

16，

则当|EB →

|=34

时，EA →⋅EB →

取得最小值为−

916

， 此时|EA →

|=√(EB →

−AB →

)2=√4+916−2×2×34×cos∠ABC =√3716=√37

4，故D 正确．

故选：BCD ．

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.

13．已知圆锥的轴截面是斜边为2√3的直角三角形，则该圆锥的体积为 √3π ． 解：∵圆锥的轴截面是斜边为2√3的直角三角形，

则该圆的轴截面是等腰直角三角形，其底面圆半径为√3，高为√3， ∴该圆锥的体积为V =1

3π×(√3)2×√3=√3π． 故答案为：√3π．

14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝a cos C ，C ＝30°，c ＝2，则△ABC 的面积为 2√3 ．

解：解法1：b ＝a cos C ⇒sin B ＝sin A cos C ，

又sin B ＝sin[π﹣（A +C ）]＝sin （A +C ）＝sin A cos C +cos A sin C ， ∴sin A cos C +cos A sin C ＝sin A cos C ，

∴cos A sin C ＝0， ∵0°＜C ＜180°， ∴sin C ＞0， ∴cos A ＝0， 又0°＜A ＜180°， ∴A ＝90°， ∵C ＝30°，

∴b =2√3，S △ABC =12

bc =2√3； 解法2：由射影定理，b ＝a cos C +c cos A ， 又由题意，b ＝a cos C ， ∴a cos C +c cos A ＝a cos C ， ∴cos A ＝0， ∵0°＜A ＜180°， ∴A ＝90°， 又C ＝30°，

∴b =2√3，S △ABC =1

2bc =2√3． 故答案为：2√3．

15．如图是函数f （x ）＝A sin （ωx +φ），(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π

2)在一个周期内的图象，则其解析式是 f （x ）＝3sin （2x +π

3） ．

解：根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）在一个周期内的图象知， A ＝3，T =5π

6−（−π

6）＝π，所以ω=2π

T =2；

又因为f （−π

6）＝3sin[2×（−π

6）+φ]＝0，所以−π

3+φ＝2k π，k ∈Z ； 解得φ＝2k π+π，k ∈Z ；

因为|φ|＜π2，所以φ=π3；所以f （x ）＝3sin （2x +π3

）． 故答案为：f （x ）＝3sin （2x +π

3）．

16．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称为“赵爽弦图”，它是由四个全

等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若DA →

=m →

，DC →

=n →

，AF →

=23AE →

，则

DE →

=

413

m →

+

613

n →

（用向量m →，n →

表示）

解：由题意得，DE →

=23FB →=23(AB →−AF →)=23AB →−23×23AE →=23AB →−49(AD →

+DE →)，

所以

139

DE →

=

23

AB →

−

49

AD →

，即DE →

=

613DC →+413DA →=413m →+613

n →． 故答案为：

4

13

m →+

6

13

n →

．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知锐角α、β满足cosα=

2√55，sin(α−β)=−3

5

，求sin β的值． 解：∵α，β为锐角，即0＜α＜π

2，0＜β＜π

2， ∴−π

2＜α−β＜π2

，

∴cos(α−β)=√1−sin 2(α−β)=45

，同理可得sinα=√1−cos 2α=

√5

5

，

sin β＝sin[α﹣（α﹣β）]＝sin αcos （α﹣β）﹣cos αsin （α﹣β）=√5

5×45−2√5

5×(−3

5)=2√5

5． 18．（12分）当实数m 分别为何值时． （1）复数z ＝m 2+m ﹣2+（m 2+5m +6）i 是： ①实数？ ②虚数？

（2）复数z =log 2(m 2−3m −3)+ilog 2(3−m)为纯虚数？ 解：（1）①若复数z 为实数，则m 2+5m +6＝0，∴m ＝﹣3或m ＝﹣2． ②若复数z 为虚数，则m 2+5m +6≠0，∴m ≠﹣3且m ≠﹣2．

（2）若复数z =log 2(m 2−3m −3)+ilog 2(3−m)为纯虚数， 则log 2(m 2−3m −3)=0且log 2（3﹣m ）≠0， 由log 2(m 2−3m −3)=0，可得m 2﹣3m ﹣4＝0， ∴m ＝﹣1或m ＝4，

又m ＝4时log 2（3﹣m ）不存在， m ＝﹣1时log 2（3﹣m ）＝2， ∴m ＝﹣1．

19．（12分）如图所示，某游乐场的摩天轮最高点距离地面85m ，转轮的直径为80m ，摩天轮的一侧不远处有一排楼房（阴影部分）．摩天轮开启后转轮顺时针匀速转动，游客在座舱转到最低点时进入座舱，转动t min 后距离地面的高度为H m ，转一周需要40min ． （1）求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数H （t ）的解析式；

（2）游客甲进入座舱后观赏周围风景，发现10：14时刚好可以看到楼房顶部，到10：42时水平视线刚好再次被楼房遮挡，求甲进入座舱的时刻并估计楼房的高度． 参考数据：sin

3π10

≈4

5

．

解：（1）设H （t ）＝A sin （ωt +φ）+B ，其中0≤t ≤40，A ＞0，ω＞0，|φ|≤π

2， 因为摩天轮最高点距离地面85m ，所以A +B ＝85，

又转轮的直径为80m ，即转轮的半径为40m ，所以A ＝40，B ＝45， 因为转一周需要40min ，所以ω=2π

40=π

20，

由游客在座舱转到最低点时进入座舱，知H （0）＝85﹣80＝5，所以40sin φ+45＝5，即sin φ＝﹣1， 因为|φ|≤π

2，所以φ=−π

2， 所以H （t ）＝40sin （

π20

t −π

2）+45，0≤t ≤40．

（2）由题意知，甲从点A 转到点C 经过的时间为28min ， 所以点A 转到点B 需要的时间为

282

=14min ，

由转一周需要40min ，知甲从最低点转到最高点需要的时间为20min ， 所以甲从最低点转到点A 需要的时间为20﹣14＝6min ， 故甲进入座舱的时刻为10：08， 所以楼房的高度为H （6）＝40sin （

π20

•6−π2

）+45＝﹣40cos

3π10

+45，

由sin 3π10

≈45

，知cos 3π10=

√1−sin 2

3π10

≈35

，

所以H （6）≈﹣40×3

5+45＝21m ．

20．（12分）如图，已知OA ＝10，点B 是以O 为圆心，5为半径的半圆上一动点． （1）当∠AOB ＝120°时，求线段AB 的值；

（2）若△ABC 为正三角形，求四边形OACB 面积的最大值．

解：（1）在△AOB 中，由余弦定理得：AB 2＝OA 2+OB 2﹣2OA •OB •cos ∠AOB =102+52−2×10×5×cos120°=100+25−100×(−12

)=175， 所以AB ＝5√7；

（2）设∠AOB ＝α，所以AB 2＝OA 2+OB 2﹣2•OA •OB •cos α＝125﹣100cos α， 则S 四边形OACB ＝S △OAB +S △ABC =1

2

OA ⋅OB •sin α+

√3

4

AB 2=

1

2×10×5sin α+√34

（125﹣100cos α）＝25sin α﹣25√3cos α+125√34=50（12

sin α−√32cos α）+125√34=50sin （α−π3）+125√3

4，

所以当α=

5π6时，四边形OACB 的面积取得最大值为50+125√34

． 21．（12分）鳖臑是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．如图，三棱锥A ﹣BCD 是一鳖臑，其中AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，AC ⊥CD ，且高AB ＝3√2，BC =√2CD =√6．

（1）求三棱锥A ﹣BCD 的体积和表面积；

（2）求三棱锥A ﹣BCD 外接球体积和内切球的半径．

解：（1）∵三棱锥A ﹣BCD 是一鳖臑，其中AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，AC ⊥CD ，且高AB ＝3√2，BC =√2CD =√6，

∴三棱锥A ﹣BCD 的体积V A−BCD =

13⋅S △ABC ⋅AB =13×1

2

×√6×√3×3√2=3， 三棱锥A ﹣BCD 的表面积S A ﹣BCD ＝S △BCD +S △ABC +S △ACD +S △ABD =

3√22+3√3+3√2+9√2

2

=9√2+3√3，

（2）由条件知，可将三棱锥A ﹣BCD 补成一个长方体，则三棱锥的四个顶点也为长方体的顶点， 因此长方体的外接球也为三棱锥的外接球，即为三棱锥外接球的直径， 因为AD =3√3，所以三棱锥A ﹣BCD 外接球体积， V 外接球=4

3

π（

3√32

）3=27√3π

2，

记内切球的球心为O ，连结OA ，OB ，OC ，OD ，得到四个等高的三棱锥， 且该高为内切球的半径r ，则V A ﹣BCD ＝V O ﹣ABD +V O ﹣ACD +V O ﹣ABC +V O ﹣BCD ， 得V A ﹣BCD =13•S A ﹣BCD 表面积•r =1

3×（9√2+3√3）•r ＝3， 所以r =

3√2−√3

5

， 故三棱锥A ﹣BCD 内切球的半径为

3√2−√3

5

． 22．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知m →

=(cos A 2，√3sin A

2)，n →

=(−2sin A 2，2sin A

2)，

且m →

⋅n →

=0．

（1）求角A 的大小；

（2）点M 是BC 的中点，且AM ＝1，求△ABC 面积的最大值． 解：（1）∵m →

⋅n →

=0，∴﹣2sin A 2

cos A 2

+2√3sin 2

A 2

=0，

即﹣sin A +2√3×

1−cosA

2

=−sin A −√3cos A +√3=0， 即sin A +√3cos A =√3，即2sin （A +π

3）=√3， 得sin （A +π3

）=

√3

2

，即A +π3=

2π3，得A =π3

． （2）∵点M 是BC 的中点，且AM ＝1，

∴AM →

=12（AB →+AC →），平方得AM →2=14（AB →2+AC →2

+2AB →•AC →）， 即4＝c 2+b 2+2bc ×

1

2

=c 2+b 2+bc ≥2bc +bc ＝3bc ， 即bc ≤4

3，当且仅当b ＝c 时取等号， 则△ABC 面积S =1

2bc sin

π3

=

12

×

√32

bc ≤√34×43=√33， 即三角形面积的最大值为

√33

．

附加题

23．（10分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a+b a+c

=

sin

C−A

2

sin

C+A 2

． （1）若A =π

4，求B ； （2）求c

a

+c b 的取值范围．

（1）由正弦定理得

a+b a+c

=

sinA+sinB sinA+sinC

，

又a+b a+c

=

sin

C−A

2

sin

C+A

2

，所以sinA+sinB sinA+sinC =

sin

C−A 2

sin

C+A 2

， 因为sinA +sinC =2sin C+A 2cos C−A

2，

所以sinA +sinB =2sin C+A 2cos C−A 2⋅sin C−A

2sin C+A 2

=2cos C−A 2sin C−A

2

=sin(C −A)， 因为sin B ＝sin （π﹣B ）＝sin （C +A ），

所以sin A ＝sin （C ﹣A ）﹣sin （C +A ）＝﹣2cos C sin A ， 因为0＜A ＜π，所以sin A ＞0，故cosC =−12

， 又0＜C ＜π，所以C =2π

3， 因为A =π4，所以B =π−A −C =π12

． （2）由（1）得C =2π

3，

所以由余弦定理得c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ＝a 2+b 2+ab ，

记T =c a +c b =c(a+b)ab ，则T 2

=c 2ab ⋅(a+b)2

ab =(a b +b a +1)(a b +b a +2)，

因为a ＞0，b ＞0，所以b a

+

a b

≥2√b a ⋅

a

b

=2，

当且仅当b

a

=a b

，即a ＝b 时，等号成立，即b

a

+

a b

≥2，

故T 2≥3×4＝12，则T ≥2√3， 所以c

a +

c b

≥2√3，即c a

+

c b

∈[2√3，+∞)．