例说圆锥曲线中证明(求)直线过定点的问题

漆绍杰

在圆锥曲线中直线与圆锥曲线相结合的问题是较为复杂的问题，其中有一类问题是证明（求）直线过一定点，对于这一类问题如何去思考呢？它们的共同的解题思路是怎样的呢？下面让我们一起来探讨一下。

既然直线过一定点，说明此直线的斜率是不定的，这使我们联想到过定点的直线系方程，过一定点的直线系方程可以写成的，那么我们先可写出直线的方程，再根据方程判断直线过哪一个定点。下面通过具体例子来说明。

例1：已知抛物线上有两动点及一个定点，为抛物线的焦点，且∣∣，∣∣，∣∣成等差数列。（1）求证线段的垂直平分线经过一定点；（2）若∣∣，∣∣（为坐标原点），求此抛物线的方程。

分析：（1）设，∵∣∣，∣∣，∣∣成等差数列，结合定义得，由此可设弦的中点坐标为。，　　　　　　弦的中垂线方程为：

，故弦的中垂线过定点。（2）略。

例2：在双曲线的一支上有不同的三点与焦点的距离成等差数列。（1）求的值。（2）证明线段的垂直平分线经过一定点，并求该定点的坐标。

分析：（1）∵∣∣，∣∣，∣∣成等差数列，则结合定义得 

，

（2）由此，可设弦的中点坐标为

由

弦的中垂线方程为：

故弦的中垂线过定点。

例3：过抛物线上的定点作两条互相垂直的弦、，求证直线过定点。

分析：设，则

       因为点、与点不重合，所以故

，直线的方程为：

所以直线过定点。

评析：直线方程虽然被我们“强行”写了出来，但由此方程我们根本看不出直线过哪一定点，为此我们要利用题中所给的其它条件对此“强行”写出的直线方程进行变形，才可以达到我们的目的。

例4：是抛物线上的两点，满足（为坐标原点），求证：（1）两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是定值；（2）直线经过一定点。

分析：（1）设，则

又由  

（2）

直线的方程为

，故直线过定点。

评析：和上题一样我们要利用题中所给的其它条件对此“强行”写出的直线方程进行变形，才可以达到我们的目的。

例5：设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线的准线上，且∥轴，证明直线经过原点。

分析：设，则，直线的方程为

要证直线经过原点，只需证

评析：此处不是由方程直接看出直线经过原点，而是转化为证常数项为0,这样就避免了直接证带来的困难。

例6：已知椭圆的离心率为且在轴上的顶点分别为。（1）求椭圆的方程；（2）若直线（为大于2的一个定值）与轴交于点，为上的异于的任意一点，直线分别与椭圆交于两点，证明直线经过一个定点。

分析：（1）  故椭圆的方程为

（2）设，直线的斜率为，则直线的方程为

由消去得  判别式，解得

，所以点的坐标为①，

同理可设直线的斜率为，则直线的方程为，所以点的坐标为②，

由于直线与直线的交点在直线上，又所以③

由两点式得直线的方程为，令得④

将①②③代入④得，故直线经过定点。

评析：此题的计算量相当大，在解题思路上它和前几题的解法既有相同的地方又有区别，属于难题。

　　通过对上面几个同一类型问题的解题方法的探讨，我们可以得出解决这一问题的一般性结论：利用题中所给条件，写出直线的点斜式方程，若不能看出定点，则再利用其它条件对方程进行变形，直到看出定点或转证相关问题。