重庆市2020年数学中考模拟试卷

一、单选题（共12题；共24分）

1.下列实数中，比1大的数是（    ）            

A.                                         B.                                         C.                                         D. 2

2.如图是一个由5个相同的小正方体组成的立体图形，其左视图是（    ）  

A.                  B.                  C.                  D. 

3.若 ，相似比为 ，且 的面积为18，则 的面积为（    ）            

A. 2                                           B. 3                                           C. 6                                           D. 9

4.如图， 是 的直径，若 ，则 的度数为（    ）  

A. 30°                                       B. 40°                                       C. 50°                                       D. 60°

5.下列命题为真命题的是（    ）            

A. 直角三角形的两个锐角互余                                B. 任意多边形的内角和为360°

C. 任意三角形的外角中最多有一个钝角                  D. 一个三角形中最多有一个锐角

6.估计 的值应在（    ）            

A. 4和5之间                           B. 5和6之间                           C. 6和7之间                           D. 7和8之间

7.我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中有一个“二果问价”问题，原题如下：“九百九十九文钱，甜果、苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个；”其大意为：用999文钱，可以买甜果和苦果共1000个，买9个甜果需要11文钱，买7个苦果需要4文钱，问买甜果和苦果的数量各多少个？设买甜果、苦果的数量分别为 个、 个，则可列方程组为（    ）            

A.        B.        C.        D. 

8.根据如图所示的程序计算函数 的值，若输入 的值为 ，则输出 的值为（    ）  

A.                                         B.                                         C.                                         D. 

9.如图，菱形 在第一象限内， ，反比例函数 的图象经过点 ，交 边于点 ，若 的面积为 ，则 的值为（    ）  

A.                                        B.                                        C.                                        D. 4

10.如图，某建筑物 上挂着“巴山渝水，魅力重庆”的宣传条幅 ，王同学利用测倾器在斜坡的底部 处测得条幅底部 的仰角为60°，沿斜坡AB走到B处测得条幅顶部C的仰角为50°.已知斜坡 的坡度 米， 米（点 在同平面内， ，测倾器的高度忽略不计），则条幅 的长度约为（   ）（参考数据： ）  

A. 12.5米                                B. 12.8米                                C. 13.1米                                D. 13.4米

11.若数 使关于 的分式方程 有正数解，且使关于 的不等式组 有解，则所有符合条件的整数 的个数为（    ）            

A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4

12.如图，在等腰三角形纸片 中， ，点 分别在边 上，连接 ，将 沿 翻折使得点 恰好落在点 处，则 的长为（    ）  

A.                                      B.                                      C.                                      D. 

二、填空题（共6题；共6分）

13.计算： ________.    

14.重庆市组织开展依法打击陆生野生动物违法犯罪活动专项行动.截至2月27日，全市林业系统共出动执法检查人员12583人次，查办案件69件（其中刑事案件24件），涉案野生动物37369只.将数据37369用科学记数法表示为________.    

15.现有5张除正面数字外完全相同的卡片，正面数字分别为1，2，3，4，5，将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张记下数字后放回，洗匀后再次随机抽出一张，则抽出的两张卡片上所写数字相同的概率________.    

16.如图，在边长为4的正方形 中，分别以 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为________.（结果保留 ）  

17.疫情之下，中华儿女共抗时艰.重庆和湖北同饮长江水，为更好地驰援武汉，打赢防疫攻坚战，我市某公益组织收集社会捐献物资.甲、乙两人先后从 地沿相同路线出发徒步前往 地进行物资捐献，甲出发1分钟后乙再出发，一段时间后乙追上甲，这时甲发现有东西落在 地，于是原路原速返回 地去取（甲取东西的时间忽略不计），而乙继续前行，甲乙两人到达B地后原地帮忙.已知在整个过程中，甲乙均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程 （米）与甲出发的时间 （分钟）之间的函数关系如图所示，则当乙到达 地时，甲距 地的路程是________米.  

18.如图，在矩形 中， ，将 沿射线 平移得到 ，连接 ，则 的最小值是________.  

三、解答题（共8题；共91分）

19.计算：    

（1）；    

（2）.    

20.如图， 是 的内接三角形， 的平分线交 于点 ，连接 ，过点 作 交 的延长线于点 .  

（1）求证： 为 的切线；    

（2）若 ，求 的大小.    

21.为了让学生掌握知识更加牢固，某校九年级物理组老师们将物理实验的教学方式由之前的理论教学改进为理论+实践，一段时间后，从九年级随机抽取15名学生，对他们在教学方式改进前后的物理实验成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用 表示，共分成4组：A. ，B. ，C. ，D. ），下面给出部分信息：  

教学方式改进前抽取的学生的成绩在 组中的数据为：80，83，85，87，.

教学方式改进后抽取的学生成绩为：72，70，76，100，98，100，82，86，95，90，100，86，84，93，88.

教学方式改进前抽取的学生成绩频数分布直方图

教学方式改进前后抽取的学生成绩对比统计表

（1）直接写出上述图表中 的值；    

（2）根据以上数据，你认为该校九年级学生的物理实验成绩在教学方式改进前好，还是改进后好？请说明理由（一条理由即可）；    

（3）若该校九年级有300名学生，规定物理实验成绩在90分及以上为优秀，估计教学方式改进后成绩为优秀的学生人数是多少？    

22.定义：将一个大于0的自然数，去掉其个位数字，再把剩下的数加上原数个位数字的4倍，如果得到的和能被13整除，则称这个数是“一刀两断”数，如果和太大无法直接观察出来，就再次重复这个过程继续计算，例如 ，所以55263是“一刀两断”数. ，所以3247不是“一刀两断”数.    

（1）判断5928是否为“一刀两断”数：▲（填是或否），并证明任意一个能被13整除的数是“一刀两断”数；    

（2）对于一个“一刀两断”数 均为正整数），规定 .若 的千位数字满是 ，千位数字与十位数字相同，且能被65整除，求出所有满足条件的四位数 中， 的最大值.    

23.在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——应用函数解决问题”的学习过程.在画函数图象时，我们可以通过描点或平移的方法画出一个函数的大致图象，结合上面经历的学习过程，现在来解决下面问题：  

在函数 中，当 时， ；当 时， .

（1）求这个函数的表达式；    

（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；    

（3）已知函数 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 的解集.    

24.新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人体中发现的新型冠状病毒.市民出于防疫的需求，持续抢购防护用品.某药店口罩每袋售价20元，医用酒精每瓶售价15元.    

（1）该药店第一周口罩的销售袋数比医用酒精的销售瓶数多100，且第一周这两种防护用品的总销售额为9000元，求该药店第一周销售口罩多少袋？    

（2）由于疫情紧张，该药店为了帮助大家共渡难关，第二周口罩售价降低了 ，销量比第一周增加了 ，医用酒精的售价保持不变，销量比第一周增加了 ，结果口罩和医用酒精第二周的总销售额比第一周增加了 ，求 的值.    

25.如图，已知抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于 点，且 .  

（1）求抛物线 的函数表达式；    

（2）连接 ，在抛物线 上是否存在一点 ，使 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.    

26.如图①，在 中， 为 边上一点，过 点作 交 于点 ，连接 ， 为 的中点，连接 .  

（1）（观察猜想）  

① 的数量关系是________

② 的数量关系是________

（2）（类比探究）  

将图①中 绕点 逆时针旋转 ，如图②所示，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）（拓展迁移）  

将 绕点 旋转任意角度，若 ，请直接写出点 在同一直线上时 的长.

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】 D   

【解析】【解答】解：因为-2＜-＜＜2，所以比1大的数是2. 

故答案为：D.

 【分析】根据实数的大小比较，负数都小于0，正数都大于0，比1大的是2.

2.【答案】 D   

【解析】【解答】从左边看图形，左边是两个小正方形，右边是一个小正方形， 

故答案为：D.

【分析】根据三视图的画法，从左边看图形得出结果即可.

3.【答案】 A   

【解析】【解答】∵ ，相似比为 ， 

∴两个三角形的面积之比为9：1，

又∵ 的面积为18，

∴ 面积为18÷9=2，

故答案为：A.

【分析】相似三角形面积比等于相似比的平方，根据相似比计算即可.

4.【答案】 C   

【解析】【解答】连接CD， 

由题意可得：∠D=∠B=40°，

是 的直径，

∴∠ACD=90°，∠DAC=90°-∠D=90°-40°=50°，

故答案为：C.

【分析】连接CD，根据同弧所对圆周角相等，得出∠D=∠B，再利用直径所对的圆周角等于90°即可得出∠DAC的度数.

5.【答案】 A   

【解析】【解答】解：A.直角三角形的两个锐角互余，故此选项正确； 

B.任意多边形的内角和（n-2）×180°，故此选项错误；

C.在锐角三角形中，三个外角都是钝角，故此选项错误；

D.一个三角形中至少有两个锐角，故此选项错误，

故答案为：A.

 【分析】根据三角形的内角和定理可知：直角三角形的两个锐角互余；根据多边形的内角和定理可知：多边形的内角和与多边形的边数有关系，边数每增加一条，其内角和就增加180°，故n边形的内角和为（n-2）×180°；由三角的每一个外角与其相邻的内角互补可知：在锐角三角形中，三个外角都是钝角，在直角三角形中，两个外角都是钝角；在钝角三角形中，两个外角都是钝角；根据三角形的内角和定理可知：三角形的三内角中最多只有一个钝角或直角，故一个三角形中至少有两个锐角，从而即可一一判断得出答案.

6.【答案】 B   

【解析】【解答】原式= ， ， 

∵ ，

∴ 6，

故答案为：B.

【分析】化简二次根式，然后合并二次根式，利用无理数的大小估算判断即可.

7.【答案】 C   

【解析】【解答】根据题意，设买甜果、苦果的数量分别为 个、 个，则可得： 

，

故答案为：C.

【分析】根据甜果和苦果的总数量是1000个，总费用是999文钱，找到等量关系列出方程式即可.

8.【答案】 A   

【解析】【解答】由题意知，x= >1，代入 ， 

∴ ，

故答案为：A.

【分析】根据程序框图，把x= >1，代入代数式 求解即可.

9.【答案】 C   

【解析】【解答】如图，过A作AE⊥x轴于E， 

设OE= ，

在Rt△AOE中，∠AOE=60°

∴AE= ，OA= 

∴A ，菱形边长为 

由图可知S菱形AOCB=2S△AOD

∴ ，即 

∴ 

∴ 

故答案为：C.

【分析】过A作AE⊥x轴于E，设OE= ，则AE= ，OA= ，即菱形边长为 ，再根据△AOD的面积等于菱形面积的一半建立方程可求出 ，利用点A的横纵坐标之积等于k即可求解.

10.【答案】 B   

【解析】【解答】如图所示： 

过点B作BF⊥AE于点F，BH⊥DE于点H，

∵ 的坡度 m，

∴ ， ，

∴ ，BF为边长，

∴解得BF=5，则AF=12m，

∵AE=12m，

∴EF=AF+AE=24（m），

∵∠BHE=∠HEF=∠BFE=90°，

∴四边形BFEH是矩形，

∴EH=BF=5m，BH=EF=24m，

在Rt△BHC中，∠CBH=50°，

∴CH=BH 24×1.19=28.56（m），

在Rt△ADE中，∠DAE=60°，

∴DE=AE =12× 20.76（m），

∴CD=CH-DH=28.56-（20.76-5）=12.8（m），

∴条幅CD的长度约为12.8m，

故答案为：B.

【分析】过点B作BF⊥AE于点F，BH⊥DE于点H，在Rt△AFB中，由坡度和勾股定理可以求出BF、AF的长度，在Rt△BHC中，利用三角函数求出CH，再求出DH，最后用CH-DH求出CD即可.

11.【答案】 B   

【解析】【解答】解方程 ，得： 

，

∵分式方程的解为正数，

∴ >0，即a>-1，

又 ，

∴ 1，a 1，

∴a>-1且a 1，

∵关于y的不等式组 有解，

∴a-1即a-1<8-2a，

解得：a<3，

综上所述，a的取值范围是-1则符合题意的整数a的值有0、2，有2个，

故答案为：B.

【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a>-1且a 1，根据不等式组有解，即可得：a<3，找出所有的整数a的个数为2.

12.【答案】 C   

【解析】【解答】过点E作EH⊥AB，交AB的延长线于点H，如图， 

∴∠H=90°，

∵△ABC是等腰三角形，∠ABC=120°，

∴AB=BC=6，

∵点C与点B关于直线DE对称，

∴BE=CE= BC= ×6=3，

在Rt△BEH中，∠EBH=180°-∠ABC=180°-120°=60°，

∴BH=BE =3cos60°=3× = ，

EH=BE =3sin60°=3× = ，

∴AH=AB+BH=6+ ，

在Rt△AEH中，AE= ，

故答案为：C.

【分析】过点E作EH⊥AB，交AB的延长线于点H，由等腰△ABC，点C与点B关于直线DE对称，可以推出BE=CE= BC，在Rt△BEH中，∠EBH=60°，利用三角函数求得EH、BH，然后由勾股定理求出AE即可.

二、填空题

13.【答案】 6   

【解析】【解答】原式=1+5=6， 

故答案为：6.

【分析】根据 =1， =5相加计算即可.

14.【答案】 

【解析】【解答】根据大数的科学记数法的一般形式 ，n为正整数，用科学记数法表示37369= ， 

故答案为： .

【分析】根据大数的科学记数法的一般形式 ，n为正整数表示出来即可.

15.【答案】 

【解析】【解答】放回抽取，抽取的所有结果有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（2，1）（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、（5，5），共有25种，其中两张卡片数字相同的结果为5种，所以抽出的两张卡片上所写数字相同的概率为 ， 

故答案为： .

【分析】根据列举法，把两次抽取的所有结果都列出来，从中找出两张卡片上所写数字相同的结果，计算出概率即可.

16.【答案】 

【解析】【解答】如图所示， 

阴影的面积等于△ABC的面积-两个小弓形的面积，

∴S= = ，

故答案为： .

【分析】根据题意，阴影的面积等于△ABC的面积-两个小弓形的面积，四个小弓形的面积等于两个半圆的面积-△ADC的面积，通过关系式代入计算即可.

17.【答案】 160   

【解析】【解答】由题意得，甲的速度为：80÷1=80（米/分钟）， 

乙的速度为：（80×5-16）÷（5-1）=96（米/分钟），

甲乙到达C地的时间为第t分钟，则80t=96（t-1），得t=6，

乙从C地到B地用的时间为：（8-80×6）÷96=4（分钟），

∴乙到达B地时，甲与A地相距的路程是：80×（6-4）=160（米），

故答案为：160米.

【分析】根据题意和函数图象中的数据可以求得甲、乙的速度，从而可以解答本题.

18.【答案】 

【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形， 

∴AD=BC=1，∠A=90°，

∴BD= =2，

∵将 沿射线 平移得到 ，

∴ =BD=2，

作点C关于BD的对称点G，连接CG交BD于E，连接 ，

则C = ，CE⊥BD，CG=2CE，

∵CE= ，

∴CG= ，

以 ， 为邻边作平行四边形 GH，

则 H= G=C ，

当C、 、H在同一条直线上时，C + H最短，

则 C+ C的最小值=CH，

∵四边形 GH是平行四边形，

∴HG= =2，HG∥ ，

∴HG⊥CG，

∴CH= ，

故答案为： .

【分析】根据题意计算出 =BD=2，作点C关于BD的对称点G，作平行四边形 GH，利用等积法求出CE，进而得到CG，通过当C、 、H在同一条直线上时，C + H最短，可以得到 C+ C的最小值=CH，根据勾股定理可求得结果.

三、解答题

19.【答案】 （1）解：原式 

，

故答案为： 

（2）解：原式 

，

故答案为： .

【解析】【分析】（1）根据平方差公式，完全平方公式展开后相加减即可；（2）根据分式混合运算的法则进行计算即可.

20.【答案】 （1）证明：如图，连接 ，记 与 交于点 ，   

平分 ，

，

.

.

又 ，

.

是 的半径，

为 的切线；

（2）解：由（1）知 ，   

如图，

当 时， .

四边形 是平行四边形，

又 ，

∴四边形 为矩形，

，

故答案为：∠ACB=90°.

【解析】【分析】（1）连接 ，交AC于点 ，根据BD平分∠ABC，推出 ，进而得出OD⊥AC即可证得；（2）由（1）中结论，可以证得四边形 是平行四边形，进一步证明四边形 为矩形即可.

21.【答案】 （1）解：根据题意，可得： ，   

故答案为：87；88；100；

（2）解：教学方式改进后学生成绩好，理由如下（写出其中一条即可）：   

理由：①教学方式改进前后成绩的平均数一样，而改进后的中位数高于改进前，说明改进后成绩好；

②教学方式改进前后成绩的平均数一样，而改进后的众数高于改进前，说明改进后成绩好，

故答案为：教学方式改进后学生成绩好

（3）解： （人），   

答：估计教学方式改进后成绩为优秀的学生有140人，

故答案为：140.

【解析】【分析】（1）根据题意可知，抽取15人，中位数是第八个，从频数分布直方图和统计表分析即可得出结果，从改进后的所有成绩可以得出众数；（2）①教学方式改进前后成绩的平均数一样，而改进后的中位数高于改进前，说明改进后成绩好；②教学方式改进前后成绩的平均数一样，而改进后的众数高于改进前，说明改进后成绩好；（3）根据教学方式改进后成绩为优秀的学生人数占抽取人数的比，乘以总人数300即可得.

22.【答案】 （1）是   

，所以5928是“一刀两断”数

证明：设任意一个能被13整除的 位数前 位数字为 ，个位数字为 ，则这个 位数可表示为 （ 为正整数），

，

，

是“一刀两断”数；

∴任意一个能被13整除的数是“一刀两断”数，

故答案为：是；

（2）解： 能被65整除，且a=c，   

既能被13整除又能被5整除.

或 .

当 时， ，

是13的倍数.

，

.

又 ，

.

.

当 时， ，

是13的倍数，

，

.

，

或 或 .

或 或 .

.

的最大值为45，

故答案为：45.

【解析】【分析】（1）根据“一刀两断”数的定义，计算即可得，设任意一个能被13整除的 位数前 位数字为 ，个位数字为 ，则这个 位数可表示为 ，根据定义进行推理即可证得；（2）由m能被65整除，得出m是13的倍数也是5的倍数，可得d=0或5，分情况讨论，分别求出满足条件的所有的m的值，代入 中计算即可判断出.

23.【答案】 （1）解：∵在函数 中，当 时， ；当 时， ，   

，解得 或 （舍去），

∴这个函数的表达式为 ，

故答案为： 

（2）解：画出函数图象如图：   

函数的性质（写出其中一条即可）：①函数 在 时， 随 的增大而减小；②函数 在 时， 的值不变，

故答案为：在 时， 随 的增大而减小；在 时， 的值不变

（3）的解集为 

【解析】【解答】（3）由函数图象可得： 的解集为 ， 

故答案为： .

【分析】（1）把点直接代入函数解析式，列出方程组求解即可得出；（2）根据描点，连线的方法画出函数图象，结合图象，可以看出①在 时， 随 的增大而减小；②在 时， 的值不变；（3）从图象可以直接得出 图象在上方时，所对应的x的取值范围即可得出结果.

24.【答案】 （1）解：设第一周销售口罩 袋，则销售医用酒精 瓶，   

依题意，得 ，

解得 .

答：第一周销售口罩300袋，

故答案为：300

（2）解：依题意得，   

，

整理得 ，

解得 （舍去）.

答： 的值为20，

故答案为：20.

【解析】【分析】（1））设第一周销售口罩 袋，则销售医用酒精 瓶，根据等量关系列出方程式求解即可；（2）根据第二周和第一周的等量关系式列出方程式求解即可.

25.【答案】 （1）解： ，   

，

将点 代入抛物线 ，

得 解得 

，

故答案为： 

（2）解：存在.   

设点 的坐标为 .

，

，

，

，

当 时， ，

，

当 时， ，

.

综上所述，符合条件的点 的坐标为 或 ，

故答案为：存在； 或 .

【解析】【分析】（1）根据题意，得出点 的坐标，然后代入 ，列出三元一次方程组求解即可；（2）设点 的坐标为 ，根据 ，列出关于n的方程式 求解即可.

26.【答案】 （1）；

（2）解：成立.   

证明：①如图，过点 作 交 的延长线于点 与 交于点 ，

∵ 是等腰三角形，

∴ 

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ 均为等腰直角三角形，

∴ ，

又∵ ，

∴ ，

∴ ；

② ，

∴ ，

，

，

（3）的长为 或 

【解析】【解答】解：（1）如图，在△AOD和△ACD中， 

∵ ， 为AD中点，

，

，E为AD中点，

，

；

② ， 为AD中点，

，

∴ ；

同理可得： ，

，

.

（ 3 ） 的长为 或 ；

∵在等腰直角 中， ，

，

由（2）可知， ， ，

∴ 是等腰直角三角形，

∴ ；

当点 在同一直线上时，有

①点C在线段OB上；如图：

∴ ，

∴ ；

②点C在OB的延长线上；如图：

∴ ，

∴ ；

综上所述， 的长为 或 ；

【分析】（1）①根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到答案；②由①知 ，利用等边对等角和三角形的外角性质，得到 ， ，然后即可得到答案；（2）①过点 作 交 的延长线于点 ，EF与 交于点 ，利用等腰直角三角形的性质，证明 ，即可得到结论成立；②由全等三角形的性质，求出∠OEC=90°，即可得到结论成立；（3）根据旋转的性质，点 在同一直线上可分为两种情况：①点C在线段OB上；②点C在OB的延长线上；利用等腰直角三角形的性质，分别求出OE的长度，即可得到答案.