浙江省台州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题【含答案】

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1.复数12i --在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

C

【分析】求出复数在复平面内对应的点的坐标作答.

【详解】复数12i --在复平面内对应的点(1,2)--位于第三象限.故选：C

2.已知向量()1,a m = ，()2,1b =-r ，且a b ∥

，则实数m =（

）

A.-2

B.12

-

C.

12

D.2

B

【分析】利用向量平行的坐标公式即可.【详解】a b ∥

，由向量平行的坐标公式可得：

120,m --=1,

2

m =-故选：B.

3.我国南宋数学家秦九韶，发现了三角形面积公式，即2

22222122⎛⎫

+-=- ⎪⎝⎭

c a b S c a ，其中a ，b ，c 是

三角形的三边，S 是三角形的面积.若某三角形三边a ，b ，c ，满足1b =，1ca =，则该三角形面积S 的最大值为（）

A.2

4 B.

34

C.

22

D.

32

B

【详解】依题意，

22

22

111213

1()1()

22224

c a ca

S+--

=-≤-=，当且仅当1

c a

==时取等号，

所以该三角形面积S的最大值为3 4 .

故选：B

4.已知表面积为27π的圆锥的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为（）

A.3

B.32

C.6

D.43 A

【分析】根据题意结合圆锥侧面展开图的性质列式求解.

【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，

由题意可得

2

ππ27π

1

2π2π

2

r rl

r l

⎧+=

⎪

⎨

=⨯

⎪⎩

，解得

3

6

r

l

=

⎧

⎨

=

⎩

.

故选：A.

5.一个袋子中装有大小和质地相同的5个球，其中有2个黄色球，3个红色球，从袋中不放回的依次随机摸出2个球，则事件“两次都摸到红色球”的概率为（）

A.1

4 B.

3

10 C.

1

3 D.

1

2

B

【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.

【详解】依题意记2个黄色球为A、B，3个红色球为a、b、c，

从中摸出2个球的可能结果有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc共10个，其中两次都摸到红色球的有ab，ac，bc共3个，

故所求概率

3

10 P=.

故选：B

6.抛掷一枚骰子5次，记录每次骰子出现的点数，已知这些点数的平均数为2且出现点数6，则这些点数的方差为（）

A.3.5

B.4

C.4.5

D.5

B

【分析】根据题意结合平均数、方差的计算公式求解.

【详解】不妨设这5个出现的点数为{}{}1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5i x i ∈∈，且125x x x ≤≤⋅⋅⋅≤，由题意可知：56x =，因为这些点数的平均数为2，则

5

1

2510i

i x

==⨯=∑，可得4

1

4i i x ==∑，

所以{}1,1,2,3,4i x i =∈，即这5个数依次为1,1,1,1,6，可得这些点数的方差为()()()()()22222

2

1121212126245s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣

⎦.故选：B.

7.正三棱台111ABC A B C -中，1AA ⊥平面11B BCC ，112AB A B =，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（）

A.2

5 B.

35

C.

45

D.

215

A

【分析】将正三棱台111ABC A B C -补全为正三棱锥S ABC -，取1SC 的中点D ，连接1B D ，AD ，则

11//B D BC ，则1AB D ∠即为异面直线1AB 与1BC 所成的角（或补角），再由余弦定理计算可得.

【详解】如图将正三棱台111ABC A B C -补全为正三棱锥S ABC -，

因为1AA ⊥平面11B BCC ，即SA ⊥平面SBC ，根据正三棱锥的性质可得SB ⊥平面SAC ，SC ⊥平面SBA ，

,SB SC ⊂平面SBC ，所以SA SB ⊥，SA SC ⊥，又SC ⊂平面SAC ，SB SC ⊥，

又112AB A B =，所以1B 为SB 的中点，同理可得1A 为SA 的中点，1C 为SC 的中点，取1SC 的中点D ，连接1B D ，AD ，则11//B D BC ，所以1AB D ∠即为异面直线1AB 与1BC 所成的角（或补角），

不妨令2SB =，则221125AB =+=，22117222AD ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，2

2115122B D ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭

，

在1AB D △中由余弦定理2

2

2

111112cos AD AB DB AB DB AB D =+-⋅∠，

即()22

2

11755

525cos 222

AB D ⎛⎫⎛⎫=+-⨯

⨯∠

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，解得12cos 5AB D ∠=，

所以异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为

2

5

.故选：A

8.如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AC 上的点，2AC AB =，1CD =，3AE EC =，

ADB EDC α∠=∠=，则cos α=（

）

A.32

B.

33

C.

23

D.

34

D

【分析】作DC 的四等分点，使得//EF AD ，然后在三角形ABC 与三角形ABD 中，使用余弦定理表示出

22

52

2

x AD -=

，再结合

ADB EDC α

∠=∠=，两次使用余弦定理

22

2

2

9

116cos 312244

DE EF AD x

AD AD α+-+-==，从而解得所需要的边长，解出cos α.

【详解】设,2,AB x AC x ==在三角形ABC 与三角形ABD 中，

2222144cos ,24x AD x x B x x +-+-==解得：22

52,

2

x AD -=作DC 的四等分点，且3DF FC =,由题意知，31

,44

DF FC =

=，又因为3AE EC =，所以//EF AD ,ADB EFD α∠=∠=,又ADB EDC α∠=∠=，所以EFD EDF α∠=∠=,1

,4

ED EF AD ==

在三角形ABD 与三角形EDF 中，2222

9

116cos ,312244DE EF AD x

AD AD α+-+-=

=化简得:2

2

2AD x -=,代入22

52

,2

x AD -=解得：2,2x AD ==,

从而解得：2213

cos ,

24

AD x AD α+-==故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A 、B ，满足()32n Ω=，

()16n A =，()8n B =，()20n A B ⋃=，则下列结论正确的是（）

A.()1

2P A =

B.()18

P AB =

C.A 与B 互斥

D.A 与B 相互

ABD

【分析】根据概率的基本概念()()()

n A P A n =

Ω和事件的基本运算()()()P AB P A P B =求解即可.

【详解】因为()32n Ω=，()16n A =，()8n B =，()20n A B ⋃=，所以()161

322

P A ==，故A 选项正确；

作出示意图如下，

则A 与B 不互斥，故C 选项错误；

又()()()()()414,328n AB n A n B n A B P AB =+-==

= ，()81324

P B ==，()()()111

248

P A P B P AB ⋅=⨯==,

所以事件A 与B 相互，故B 、D 选项正确；故选：ABD.

10.已知m ，n ，l 是空间中三条不同直线，α，,β，γ是空间中三个不同的平面，则下列命题中正确的是（

）

A.若m α⊂，m β∥，n β⊂，n α∥，则αβ∥

B.若m αβ= ，n αγ= ，l βγ= ，m n ∥，则m l ∥

C.若αβ⊥，αγ⊥，m βγ= ，则m α⊥

D.若m αβ= ，αβ⊥，n m ⊥，则n β⊥BC

【分析】对于A 、D ：在正方体中举反例说明；对于B 、C ：根据线面平行的性质定理分析判断.

【详解】对于选项A ：在正方体中，BC ⊂平面ABCD ，

BC ∥平面11ADD A ，11A D ⊂平面11ADD A ，11A D ∥平面ABCD ，

满足条件，但平面ABCD ⋂平面11ADD A AD =，故A 错误；

对于选项D ：平面11ABB A ⊥平面11ADD A ，平面11ABB A 平面111ADD A AA =，1AA AC ⊥，满足条件，但AC 与平面11ABB A 、平面11ADD A 均不垂直，故D 垂直，

对于选项B ：因为m n ∥，由线面平行的判定定理可得m γ∥，根据线面平行的性质定理可得m l ∥，故B 正确；

对于选项C ：若αβ⊥，则存在异于m 的直线l β⊂，使得l α⊥，因为αγ⊥，则l //γ，

根据线面平行的性质定理可得m l ∥，所以m α⊥，故C 正确.故选：BC.

11.如图，在平行四边形ABCD 中，=60B ∠︒，22BC AB ==，点E 是边AD 上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（

）

A.当点E 是AD 的中点时，12BD BE BC

=+

B.存在点E ，使得12BA BC CE

⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭

C.EB EC ⋅ 的最小值为1

4

-

D.若CE xCB yCD =+

，,R x y ∈，则2x y +的取值范围是[]

2,3ACD

【分析】对于A ，利用向量的线性运算即可；对于B ，若存在，则向量数量积为0，然后利用向量数量积的

坐标公式列方程，判断方程是否有解即可；对于C ，利用向量数量积的坐标公式将EB EC ⋅

转化为一个二次函数即可；对于D ，利用向量线性运算的坐标表示，将2x y +转化为一个关于t 的方程，根据t 的范围求解即可.

【详解】对于A ，当点E 是AD 的中点时，1=2

BD BA BC BE EA BC BE BC =+++=+

，故A 正确；

对于B ，以点B 为原点，BC 为x

轴，建立平面直角坐标系，

=60B ∠︒，22BC AB ==,易得：()13532,0,,,,2222C A D ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，

点E 是边AD 上的动点,设315,,222E t t ⎛⎫⎛⎫

≤≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32,2CE t ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，()13,,2,022BA BC ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭

,

()()1113722222442t BA BC CE BA CE BC CE t t ⎛⎫∴-⋅=⋅-⋅=-+--=- ⎪⎝⎭

，

1522t ≤≤ ，所以102BA BC CE ⎛⎫-⋅≠ ⎪⎝⎭ ，即不存在点E ，使得12BA BC CE ⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭

，故B 错误；

对于C ，33,,2,22EB t EC t ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，所以()()2

2331221444EB EC t t t t t ⋅=--+=-+=-- ，故当1t =时，EB EC ⋅ 取到最小值1

4

-，故C 正确；

对于D ，若CE xCB yCD =+ ，即()3132,2,0,222t x y ⎛⎫

⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，

所以12223322t x y y ⎧

-=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

，15241x t y ⎧=-+⎪∴⎨⎪=⎩，

即131

242

x y t +=

-，1522t ≤≤ ，131

22342

x y t ∴≤+=-≤，故D 正确；故选：ACD

12.四面体ABCD 中，2AB BC CD DA BD =====，AC m =，则有（）

A.存在m ，使得直线CD 与平面ABC 所成角为

π3

B.存在m ，使得二面角A BC D --的平面角大小为π3

C.若2m =，则四面体ABCD 的内切球的体积是

6π27D.若3m =，则四面体ABCD 的外接球的表面积是28π3

BCD

【分析】选项A 根据条件作出平面ABC 过点D 的垂线，进而找出直线CD 与平面ABC 所成角为

π

3

，推出矛盾，故排除；选项B 根据条件作出二面角A BC D --的平面角，根据二面角A BC D --的平面角大小为

π

3

求出m 即可；选项C 利用等体积法求正四面体的内切球半径；选项D 利用公式222R r d =+求三棱锥外接球半径.

【详解】对于选项A ，取AC 中点E ，连接,E D E B ，过D 作DF BE ⊥，交EB 于点F .

因为AB BC CD DA ===，所以,ED AC EB AC ⊥⊥，又ED EB E ⋂=，ED ⊂平面BED ，EB ⊂平面BED ，

所以AC ⊥平面BED ，又DF ⊂平面BED ，所以AC DF ⊥.

又因为DF BE ⊥，AC BE E ⋂=，AC ⊂平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，所以DF ⊥平面ABC ，所以FCD ∠为直线CD 与平面ABC 所成角.若π

3

FCD ∠=

，因为2CD =，则3DF =，1CF =，又因为DB DC DA ==，所以F 为ABC 的外心，故1FB CF ==，所以2FB CF BC +==，所以F BC ∈；

又因为F 为ABC 的外心，且AB BC =，所以F BC ∉，出现矛盾，故选项A 错误；对于选项B ，取BC 中点G ，连接,GF GD ，因为DB DC =，所以BC GD ⊥，

又因为DF ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以DF BC ⊥，又DG DF D Ç=，DG ⊂平面DGF ，

DF ⊂平面DGF ，

所以BC ⊥平面DGF ，又GF ⊂平面DGF ，所以BC GF ⊥，所以DGF ∠是二面角A BC D --的平面角，

若π3DGF ∠=

，因为3DG =，所以32DF =.在Rt BDF △中，22372()22

BF =-=，所以ABC 的

外接圆半径为

7

2

，在ABC 中，由正弦定理得，

7

2sin 2

AC ABC =⨯

∠，所以sin 7m ABC ∠=；由余弦定理得，22448cos 2228m m ABC +--∠==

⨯⨯，由22sin cos 1ABC ABC ∠+∠=得421

7

m =，故选项B 正确；

对于选项C ，当2m =时，四面体ABCD 为棱长为2的正四面体，底面BCD 上的高3DG =

，23

3

DH =

，正四面体ABCD 的高h ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭

2

22326

233，正四面体ABCD 的体积2132622

23433V ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭

，正四面体ABCD 的表面积2342434S ⎛⎫=⨯= ⎪

⎪

⎝⎭

，

设四面体ABCD 的内切球的半径为r ，13V S r =

⋅ 3226

3

V r S ∴===，所以四面体ABCD 的内切球的体积为3146π

π327

V r =

=

，故选项C

正确；对于选项D ，四面体ABCD 中3AC =，设四面体ABCD 外接球球心为O ，取BD 中点M ，连接AM 、CM 、OM ，则3AM CM ==且,AM BD CM BD ⊥⊥，

所以AMC ∠为二面角A BD C --的平面角，

3391cos 2233

AMC +-∠=

=-

⨯⨯，所以2π3

AMC ∠=.设1O 、2O 分别是平面ABD 和平面BCD 的外接圆圆心，则213

33

O M CM ==在2Rt OMO 中，2π

3

OMO ∠=

，21OO ∴=.在2Rt OO C 中，2

2321133OC ⎛⎫=+=

⎪

⎪⎝⎭

，即外接球的半径21

3R =.∴四面体ABCD 的外接球的表面积228π

3

4πS R ==

，故选项D 正确.故选：BCD .

定义法求线面角的关键是作出平面的垂线，找到斜线与投影的夹角；定义

法求二面角的关键也是作出平面的垂线，根据三垂线定理找到二面角的平面角.

三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.

13.已知复数1i z =-（i 为虚数单位），则z =____________.

2

【分析】利用复数模的定义计算作答.【详解】复数1i z =-，所以221(1)2z =+-=.

故2

14.已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为3，在正方体的顶点中，到平面1A DB 的距离为3的顶点可能是______________.（写出一个顶点即可）A （A ，C ，1B ，1D 任填一个即可）

【分析】根据题意结合等体积法求点到面的距离以及面面平行的性质分析判断.

【详解】显然1,,A D B 在平面1A DB 内，不合题意，

设点A 到平面1A DB 的距离为d ，可知1132A B A D BD ===，

因为11A A DB A ADB V V --=，则11311

32323333

2

2

3

2

d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得3d =

，

设AC BD O = ，即AC ⋂平面1A DB O =，且O 为AC 的中点，所以点C 到平面1A DB 的距离为3d =

，

可证平面1A DB //平面11CD B ，则平面11AD B 上任一点到平面1A DB 的距离为3d =，

所以C ，1B ，1D 符合题意，

由图易知点1C 到面1A DB 的距离大于3d =

，

综上所述：平面1A DB 的距离为3的顶点有且仅有A ，C ，1B ，1D .故A （A ，C ，1B ，1D 任填一个即可）.

15.在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知B θ=，2b =，2c =，若ABC 有两解，

则θ的取值范围是_____________.

π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭

【分析】根据正弦定理结合大边对大角即可.【详解】由正弦定理得：sin sin b c B C

=，即22

sin sin C θ=

，sin 2sin C θ=，

若ABC 有两解，则2sin 2sin 1,sin 2

C θθ=<<，且c b >，即π

2

θ<

，

所以π04θ<<

，故π0,4⎛

⎫ ⎪⎝⎭

16.已知平面向量a ，b ，c 均为非零向量，214

a b c a a ⋅=⋅= ，且2a c b k a ++= ，R k ∈，则k 的最小值为____________.

7

4

【分析】根据向量数量积的性质结合条件即得.

【详解】因为平面向量a ，b ，c 均为非零向量，214a b c a a ⋅=⋅= ，且2a c b k a ++= ，所以227224a a a k a c b a a a b a c ⋅⋅=++⋅≥++= ，即74k ≥，所以k 的最小值为74.故74

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数2i z =-，i 为虚数单位.

（1）求2z ；

（2）若z 是关于x 的方程()2

20,x px q p q ++=∈R 一个根，求p ，q 的值.（1）34i

-（2）8p =-，10

q =【分析】（1）利用复数的四则运算法则求解；

（2）利用复数的四则运算法则以及复数相等的条件求解.

【小问1详解】

()2

222i 44i i 34i z =-=-+=-.

【小问2详解】()()2

22i 2i 0p q -+-+=，即()628i 0p q p ++-+=，620,80.p q p ++=⎧⎨+=⎩

，解得8p =-，10q =.

18.已知a ，b 是非零向量，①3a b = ；②6

,πa b 〈〉= ；③a b b -= .（1）从①②③中选取其中两个作为条件，证明另外一个成立；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.）

（2）在①②的条件下，()()

a b a b λ+⊥- ，求实数λ.（1）证明见解析；

（2）95

.【分析】（1）选择①②，选择①③，选择②③，利用平面向量数量积的定义、运算律推理作答.（2）利用垂直关系的向量表示，平面向量数量积的定义、运算律求解作答.

【小问1详解】选①②：若3a b = ，6

,πa b 〈〉= ，则()2222a b a b a a b b

-=-=-⋅+ 222π323cos 6b b b b =-+= ，所以③成立.选①③：由a b b -= ，得2222a a b b b -⋅+= ，而30a b => ，则22323cos ,0b b a b -〈〉= ，即3cos ,2

a b 〈〉= ，又0,πa b ≤〈〉≤ ，所以6,πa b 〈〉= ，②成立.选②③：由a b b -= ，得2222a a b b b -⋅+= ，而6,πa b 〈〉= ，则2π2cos 06a a b -= ，整理得230a a b -= ，而||0a > ，所以3a b = ，①成立.

【小问2详解】

由()()a b a b λ+⊥- ，得()()

0a b a b λ+⋅-= ，()2210a a b b λλ+-⋅-= ，而3a b = ，6,πa b 〈〉= ，因此()222331302

b b b λλ+-⋅-= ，又||0b > ，所以95

λ=.19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，12AA AC ==，D 为AC 的中点.

（1）求证：1AB //平面1C DB ；

（2）求三棱锥11B DBC -体积的最大值.

（1）证明见解析

（2）13

【分析】（1）根据题意结合线面平行的判定定理分析证明；

（2）根据题意利用转换顶点法，结合基本不等式运算求解.

【小问1详解】

连接1B C 交1BC 于点E ，连接DE ，

因为D ，E 分别是AC ，1B C 的中点，则1//AB DE ，

且1AB ⊂平面1C DB ，DE ⊂平面1C DB .

所以1AB ∥平面1C DB .

【小问2详解】

过点D 作DF 垂直BC 交于点F ，

因为AB BC ⊥，则DF//AB ，所以F 为BC 的中点，

因为1CC ⊥平面ABC ，DF ⊂平面ABC ，则1CC DF ⊥，

1BB BC B = ，1,BB BC ⊂平面11B BCC ，

则DF ⊥平面11B BCC ，

设BC a =，则211422

DF AB a ==-.()

11111122241111436623B DBC D B BC B BC a a V V S DF a a --+-==⋅=-≤⨯= .

当且仅当2a =时，等号成立，

所以三棱锥11B DBC -的体积的最大值是

13.

20.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为了弘扬奥林匹克和亚运精神，某学校对全体高中学生组织了一次关于亚运会相关知识的测试.从全校学生中随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，并将这100名同学的测试成绩分成5组，绘制成了如图所示的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中t 的值，并估计这100名学生的平均成绩；

（2）用样本频率估计总体，如果将频率视为概率，从全校学生中随机抽取3名学生，求3名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率.

（1）0.025t =，74分

（2）0.352

【分析】（1）根据频率和为1求t 的值，再根据平均数公式运算求解；

（2）根据事件概率乘法公式运算求解.

【小问1详解】

由频率分布直方图可得每组的频率依次为0.15,10,0.2,0.35,0.05t ，

则0.15100.20.350.051t ++++=，解得0.250.02510

t ==，

设平均成绩的估计值为x ，则550.15650.25750.2850.35950.0574x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分），所以这100名学生的平均成绩估计值为74分.

【小问2详解】

每个学生成绩不低于80分的概率为0.4.

3名学生中恰有2人成绩不低于80分的概率()2

130.410.40.288P =⨯⨯-=；3名学生中恰有3人成绩不低于80分的概率3

30.40.0P ==；3名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率120.352P P P =+=.21.在锐角ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，222cos cos 5a C c A b a c

-=⨯-.（1）求证：2b a c =+；

（2）求sin B 的取值范围.

（1）证明见解析

（2）43,

52⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意利用余弦定理进行角化边，运算求解即可；

（2）根据锐角三角形结合对勾函数可得1342,15t t ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，再利用余弦定理可得13cos ,25B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

，进而可得结果.

【小问1详解】因为222cos cos 5a C c A b a c

-=⨯-由余弦定理得2222222

22225a b c b c a a c ab bc b a c +-+-⨯-⨯=⨯-()()

()()()()

()

22222233255a a b c c b c a a c b a c ac a c b a c b a c +--+--+-+-==--2225a ac c b ac b

++++=，

整理得()2225b a c b =++，即()2

24b a c =+.所以2b a c =+.

【小问2详解】

由（1）可知：2b a c =+，由余弦定理可得222222312cos 2284

a c a c a c

b a

c B ac ac c a +⎛⎫+- ⎪+-⎛⎫⎝⎭===+- ⎪⎝⎭，设a t c

=，则311cos 84B t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为2b a c =+，且a c ≠，不妨设a c >，即a b c >>，可知1t >，

且ABC 是锐角三角形，则cos 0A >，得222b c a +>，即()2224

a c c a ++>，则()4a c a c +>-，解得53

a c <，所以513t <<，由对勾函数可知()1

f t t t =+在51,3⎛⎫

⎪⎝⎭上单调递增，且()53412,315

f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()1342,15f t t t ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，所以13cos ,25B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

，且π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则243sin 1cos ,52B B ⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭

，所以sin B 的取值范围为43,

52⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.22.如图，平面ADEF ⊥平面ABCD ，四边形ADEF 为矩形，且M 为线段EF 上的动点，//AB CD ，90ABC ∠= ，2AD DE =，222AB CD BC ===

.（1）当M 为线段EF 的中点时，

（i ）求证：AM ⊥平面BDM ；

（ii ）求直线AM 与平面MBC 所成角的正弦值；

（2）记直线AM 与平面MBC 所成角为α，平面MAD 与平面MBC 的夹角为β，是否存在点M 使得αβ=若存在，求出FM ；若不存在，说明理由.

（1）（i ）证明见解析；（ii ）222

11

（2）存在，6

22

FM =-【分析】（1）（i ）利用面面垂直的性质可推导出BD ⊥平面ADM ，可得出AM BD ⊥，利用勾股定理可得出AM DM ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；

（ii ）取AD 的中点为P ，BC 的中点为Q ，连接MP 、PQ 、QM ，计算出点A 到平面MBC 的距离以及线段AM 的长，即可得出直线AM 与平面MBC 所成角的正弦值；

（2）假设存在点M ，使得αβ=，延长AD 与BC 交于点G ，连接MG ，根据已知条件得出AMR ∠是直线AM 与平面MBC 所成的角，ATR ∠是二面角A MG B --的平面角，计算出AMF 三边边长，利用勾股定理求出x 的值，即可得出结论.

【小问1详解】

（i ）由题意，四边形ABCD 为直角梯形，且90ABC ∠= ，//AB CD ，

所以90BCD ∠= ，所以22112BC CD BD +==+=，

取AB 的中点N ，连接DN ，则//CD BN 且CD BN =，且90BCD ∠= ，

故四边形BCDN 为矩形，

则DN //BC ，且DN BC =，所以22112AD DN AN =+=+=，

又由2AB =，所以222BD AD AB +=，所以BD AD ⊥，

又平面ADM ⊥平面ABCD ，平面ADM 平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ，

所以BD ⊥平面ADM ，

又AM ⊂平面ADM ，所以AM BD ⊥，

因为1MD MA ==，2AD =，则222AM DM AD +=，所以AM DM ⊥，

又DM BD D = ，DM 、BD ⊂平面BDM ，所以AM ⊥平面BDM .

（ii ）取AD 的中点为P ，BC 的中点为Q ，连接MP 、PQ 、QM ，

过P 在平面PQM 内作PO 垂直于MQ ，垂足为O ，

又平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，AF AD ⊥，

所以AF ⊥平面ABCD ，M 为EF 的中点，

所以//MP AF ，所以MP ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC PM ⊥，

又因为BC PQ ⊥，PQ PM P ⋂=，PQ 、PM ⊂平面PMQ ，

所以BC ⊥平面PMQ ，PO ⊂平面PMQ ，

所以PO BC ⊥，MQ BC O = ，,MQ BC ⊂平面BCM ，

得PO ⊥平面BCM ，因为22

MP =，32PQ =，π2MPO ∠=，所以221911242

MQ MP PQ =+=+=，由等面积法可得323232242211211

2

MP PQ PO MQ ⋅====，延长AD 与BC 交于点G ，则D 为AG 的中点，G 为直线AD 与平面MBC

的交点，

设点A 到平面MBC 的距离为d ，直线AM 与平面MBC 所成的角为θ，则34PO G d P GA ==，所以1

4432222233122d PO ==⨯=，

由1AM =，所以，222sin 11

AM d θ=

=；【小问2详解】假设存在点M ，使得αβ=，延长AD 与BC 交于点G ，连接MG ，

则平面AMD ⋂平面MBC MG =，

设AR ⊥平面MBC ，垂足为R ，连接MR ，AMR ∠是直线AM 与平面MBC 所成的角，

因为//CD AB 且12

CD AB =，所以，点D 为AG 的中点，则222AG AD ==，过点R 作RT 垂直于MG ，垂足为T ，

因为AR ⊥平面MBC ，MG ⊂平面MBC ，所以AR MG ⊥，

又因为RT MG ⊥，AR RT R = ，AR 、RT ⊂平面ART ，所以MG ⊥平面ART ，因为AT ⊂平面ART ，所以AT MG ⊥，

ATR ∠是二面角A MG B --的平面角，所以sin AR AM α=，sin AR AT

β=，由αβ=，得AM AT =，所以M 、T 重合，由AT MG ⊥，得AM MG ⊥，设()02FM x x =≤≤，则2212AM x =+，()

221222G x M =-+，由勾股定理可得222AM GM AG +=，即()

221122822x x ++-+=，整理可得224210x x -+=，解得622x =-或622

x =+（舍），所以存在点M ，当622FM =-，有αβ=成立.