湖南省湖湘教育三新探索协作体2020-2021学年高二11联考(期中)数学试题及答案完整版

2020年11月联考试卷

高二数学

班级：__________ 姓名：____________ 准考证号：_________________ （本试卷共4页，22题，全卷满分：150分，考试用时：120分钟）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，将本试题卷和答题卷一并上交。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求．

1．已知{|3}A x x =∈≤*N ，2{|340}B x x x =−−≤，则A B =

A ．{1,2,3}

B ．{1,2}

C ．(]0,3

D ．(]3,4

2．“a b <”是“1a b

<”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．已知1

sin cos 2

αα=

，则1tan tan αα+的值为

A ．12

B ．1

2

− C ．2− D ．2

4．过直线30x y +−=和260x y −+=的交点，且与直线230x y +−=垂直的直线方程是

A ．4290x y +−=

B ．4290x y −+=

C ．290x y +−=

D ．290x y −+=

5．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与

下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，戊所得为

A ．5

4

钱 B ．43钱 C ．23钱 D ．53钱

6．直线220ax by −+=被222440x y x y ++−−=截得弦长为6，则ab 的最大值是

A ．9

B ．4

C ．12

D ．14

7．已知四面体ABCD 的四个面都为直角三角形，AB ⊥平面BCD ，1AB BC CD ===，若该四面

体的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为

A ．

3π2

B

C ．3π D

8．已知直线230x y −−=过椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的右焦点F ，且交椭圆于A 、B 两点．若线段

AB 的中点为P ，直线OP 的斜率为1−，则椭圆的方程为

A ．2214536x y +=

B ．2213627x y +=

C ．2212718x y +=

D ．22

11

x y +

=

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要

求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有

A ．3

⋅⋅=a a a a

B ．λμλμ=、为实数，若a b ，则a 与b 共线

C ．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小

D ．若平面内有四个点A 、B 、C 、D ，则必有AC BD BC AD +=+ 10．关于空间两条直线a b ，和平面α，下列命题错误的是 A ．若a α⊥，b α⊂，则a b ⊥ B ．若//a α，b α⊂，则//a b C ．若a b ⊥，b α⊥，则//a α D ．若//a b ，b α⊥，则a α⊥

11．已知函数1

()cos cos f x x x

=+，现给出如下结论，其中正确的是

A ．()f x 的图象关于y 轴对称

B ．()f x 最小正周期为2π

C ．()f x 在π(0,)2

上单调递减 D ．()f x 的图象关于点π

(,0)2

对称

12．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于顶点的两个动点A 、B ，以AB 为直径的圆过

原点，则下列说法正确的是 A ．直线AB 过定点()0,1

B ．AOB △的重心的轨迹为抛物线

C ．AOB △的面积的最小值为1

D ．若OM AB ⊥于点M ，则M 点的轨迹为椭圆

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知1==a b ，a 与b 的夹角为60，则()2+⋅=a b a ． 14．已知236a b ==，则11

a b

+= ．

15．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22

221(00)x y a b a b

−=>>，的左焦点F 关于一条渐近线的对称点

恰好落在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为 ．

16．在数列{}n a 中，若221(2)n n a a p n p −−=≥，为常数，

则称{}n a 为“等方差数列”．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1()n n n

S a a λ=+，若数列{}n S 为“等方差数列”，则λ=____________；12

8111

1S S S ⎡⎤

+++

⎢⎥⎣⎦

=_______．

（其中[]x 表示不超过x 的最大整数）

四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18题至22题每小题12分，共70分．解答应写

出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．在①535S =，②122

114

b b S −=，③35S T =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问

题：已知正项等差数列{}n a 的公差是等差数列{}n b 的公差的两倍，设n S 、n T 分别为数列{}n a 、{}n b 的前n 项和，且1233a T ==， ，设2n

b n n

c a =⋅，求{}n c 的前n 项和n A ．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18．已知ABC △的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，2cos (cos cos )A b C c B a +=，且7a =，

2b c −=．

（1）求A 的大小； （2）求BC 边上的高．

19．如图，在四棱锥A BCDE −中，已知四边形BCDE 为平行四边

形，平面ABE ⊥平面BCDE ，2AB AE BC CE ====，=90BAE ︒∠，点O 为BE 的中点． （1）求证：CD ⊥平面AOC ； （2）求二面角A BC O −−的正切值．

20．湖南省从2021年开始将全面推行“312++”的新高考模式，新高考对化学、生物、地理和

政治等四门选考科目，制定了计算转换T 分（即记入高考总分的分数）的“等级转换赋分规则”（详见附1和附2），具体的转换步骤为：①原始分Y 等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分．

某校的一次年级统考中，政治、生物两选考科目的原始分分布如下表：

等级 A B C D E 比例

约15% 约35% 约35% 约13% 约2% 政治学科各等级对应的原始分区间 [81,98]

[72,80]

[66,71]

[63,65]

[60,62]

生物学科各等级对应的原始分区间

[90,100] [77,] [69,76] [66,68] [63,65]

现从政治、生物两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据，作出茎叶图：

政 治 生 物

8 8 6 6 5 2 1 0 6 4 4 5 5 7 9 6 5 5 4 3 1 0 7 0 1 1 3 3 3 9 8 2 0 8 1 2 5 7 8 2 9 1 5 6 （1）根据茎叶图，分别求出政治成绩的中位数和生物成绩的众数；

（2）该校的甲同学选考政治学科，其原始分为82分，乙同学选考生物学科，其原始分为91分，根据赋分转换公式，分别求出这两位同学的转化分；

（3）根据生物成绩在等级B 的6个原始分和对应的6个转化分，得到样本数据(Y i ，T i )，请

（第19题图） O

D

E A

计算生物原始分Y i 与生物转换分T i 之间的相关系数，并根据这两个变量的相关系数谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法.

附2：计算转换分T 的等比例转换赋分公式：

2211

Y Y T T =

−−．（其中：1Y ，2Y ，分别表示原始分Y 对应等级的原始分区间下限和上限；1T ，2T 分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限．T 的计算结果按四舍五入取整数） 附3:()()6

174i i i Y Y T T =−−=∑74.12=，()()

n

i

i

Y Y T T r −−

∑.

21．已知椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>右顶点A 为抛物线()220y px p =>的焦点，右焦点F 到抛物线的

准线l 的距离为3，椭圆的离心率为1

2

．

（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（2）设l 上两点M 、N 满足AM AN

=，直线AM 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BN 与x 轴相交于点D ．求AMD △面积的最大值，并求此时直线AM 的方程．

22．设()f x 是偶函数，当0x ≥时，π)01()(1)() 1.x x f x x a x x ≤≤=⎪−−>⎩

，，

（1）当=2a 时，方程()f x m =有4个不同的根，求m 的取值范围；

（2）若方程()f x m =有4个不同的根，且这4个根成等差数列，试探求a 与m 满足的条件．

2020年11月湖湘教育三新探索协作体联考试卷答案

1.【答案】A

【解析】因为{|3}A x x =∈≤*N ，2{|340}B x x x =−−≤{|14}x x =−≤≤，所以A B ={1,2,3}，故选：A. 2.【答案】D

【解析】取2,1a b =−=−，则,1a a b b

<>；取2,1a b ==−，则1,a a b b <>，

因此“a b <”是“1a

b

<”的既不充分也不必要条件，故选：D. 3.【答案】D

【解析】1sin cos 2

αα=，1

tan tan αα∴+sin cos cos sin αααα=+22sin cos sin cos αααα+=1212

==，故选：D.

4.【答案】D 【解析】联立30

260

x y x y +−=⎧⎨

−+=⎩，解得1,4x y =−=.设与直线230x y +−=垂直的直线方程是

20x y m −+=，将1,4x y =−=代入方程，解得9m =，故所求方程为290x y −+=，故选：

D.

5.【答案】C

【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d −−++，则根据题意有

(2)()()(2)5(2)()()(2)a d a d a a d a d a d a d a a d a d −+−+++++=⎧⎨

−+−=++++⎩，解得1

16a d =⎧⎪

⎨=−⎪⎩

，所以戊所得为223a d +=，故选：C.

6.【答案】D

【解析】将222440x y x y ++−−=化为标准形式：22(1)(2)9x y ++−=，故该圆圆心为(1,2)−，半径为3.因为直线截圆所得弦长为6，故直线过圆心，所以2220a b −−+=，即1a b +=，所

以2

2a b ab +⎛⎫

≤ ⎪⎝⎭

14=（当且仅当12a b ==时取等号），故选：D. 7.【答案】C

【解析】如图所示，可将四面体ABCD 还原为正方体，则四面体的外接球即为正方体的外接球，因此球O

的半径R =

24π3πS R ==，故选：C.

8.【答案】D

【解析】设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则22

1122

22

222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②‍ ‍， −①②得

2222

121222

0x x y y a b −−+=， 整理可得2

0122120y y y b x x x a

−⋅=−−，即221(1)2b a ⨯−=−，

又直线230x y −−=过椭圆的右焦点(3,0)F ，即3c =， 所以2218,9a b ==，故选：D. 9.【答案】CD

【解析】A 项，2

⋅⋅=a a a a a ，故A 项错误；

B 项，0λμ==时，λμ=0a b =，a 与b 不一定共线，故B 项错误. 故选：CD. 10.【答案】BC

【解析】B 项，若//,a b αα⊂，则a 与b 平行或异面，故B 项错误；

C 项，若,a b b α⊥⊥，则//a α或a α⊂，故C 项错误. 故选：BC. 11.【答案】ABD

【解析】根据cos y x =的函数性质，易知A ，B ，D 项正确；

令cos (0,1)t x =∈，则1y t t

=+，因为cos t x =在π(0,)2上单调递减，1y t t

=+在(0,1)上单调递减，所以()f x 在π(0,)2

上单调递增，故C 项错误. 故选：ABD. 12.【答案】ABC

【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为y kx m =+，

联立2

y x y kx m

⎧=⎨=+⎩，得20x kx m −−=，

所以1212,x x m x x k =−+=，

由题知OA OB ⊥，则12120OA OB x x y y ⋅=+=， 即2212120x x x x +=，所以121x x =−，即1m =， 故直线AB ：1y kx =+，过定点(0,1)P ，A 项正确； 设AOB △的重心为00(,)G x y ， 则12012003

03x x x y y y ++⎧

=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，即02

0323k x k y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩

， 所以2002

33

y x =+，

因此G 点的轨迹为抛物线，B 项正确；

AB

=，

O 到AB

的距离d

所以12

AOB S AB d =⋅⋅=

△1≥， 当且仅当0k =时等号成立，C 项正确； 若OM AB ⊥于点M ，则OM MP ⊥， 设OP 的中点为1(0,)2Q ，则1122

MQ OP ==， 故M 点的轨迹为圆，D 项错误. 故选：ABC. 13.【答案】2

【解析】由题知(2)+⋅=a b a 21

212112

+=+⨯⨯⨯a ab 112=+=. 14.【答案】1

【解析】由236a b ==可知2log 6a =，3log 6b =，所以6611

log 2log 3a b

+=+6log 61=. 15.【答案】2

【解析】设(,0)F c −关于直线b y x a

=−的对称点为(,)P a b −，则直线PF 与直线b

y x a

=互相垂直，则

1b b

a c a

−⋅=−+，即22b a ac =+，又222b c a =−，所以2220c ac a −−=，即220e e −−=，解得2e =或1e =−（舍）.

16.【答案】1

2

；16 【解析】1

()n n n

S a a λ=+

，111()n n n n n S S S S S λ−−∴=−+

−（2n ≥时）， 222

11(12)()(12)n n n n n S S S S S λλλλ−−∴−+−=−+，

因为{}n S 为“等方差数列”，

则设221n n S S d −−=，21(12)(12)n n n S d S S λλλλ−∴−+=−+， 即21(12)()(1)n n n S S S d λλ−−−=−， 所以1

2

λ=

，1d =， 此时2211n n S S −−=

，可得n S =，

12)n n S <<≥， 故

12

81

111

2(21328281)2(821)16S S S +++

>−+−++−=>， 1281

111

12(21328180)17S S S +++<+−+−++−=，

所以12

8111

1S S S ⎡⎤

+++

⎢

⎥⎣⎦

=16. 17.【答案】()12122n n A n +=−+

【解析】不妨设{}n a 的公差为2d ，{}n b 的公差为d ， 方案1：选条件①

由题意得，123b d +=，54

35+2352

d ⨯⨯⨯=， 解之得，11b =，1d =， 则()12121,n n a a n n b n =+−=+=，

则()212n n c n =+， …………5分

()12332+52+72++212n n A n =⨯⨯⨯+， ① ()2341232+52+72+

+212n n A n +=⨯⨯⨯+，②

两式相减，整理得：()12122n n A n +=−+. …………10分

方案2：选条件②

由题意得123b d +=，()()11462b b d d d +=+， 解得11b =，1d =或13b =，3d =−（舍去）， 则()12121,n n a a n n b n =+−=+=，

则()212n n c n =+， ………………5分

()12332+52+72++212n n A n =⨯⨯⨯+， ① ()2341232+52+72+

+212n n A n +=⨯⨯⨯+，②

两式相减，整理得：()12122n n A n +=−+. …………10分 方案3：选条件③

由题意得，2335a b =，即()()113+252a d b d =+，化简得，1549b d +=， 2121T 23b b b d =+=+=，联立方程组得，11b =1d =，

则{}n a 的公差为2，{}n b 的公差为1，()12121,n n a a n n b n =+−=+=，

则()212n n c n =+， …………5分

()12332+52+72++212n n A n =⨯⨯⨯+， ① ()2341232+52+72+

+212n n A n +=⨯⨯⨯+，②

两式相减，整理得：()12122n n A n +=−+. …………10分

18.【答案】（1）

π

3

；（2.

【解析】（1）由正弦定理得，2cos (sin cosC sin cos )sin A B C B A +=，

化简得：2cos sin sin A A A =，

sin 02cos 1A A ≠∴=，即π

3

A =

. …………6分 （2）设BC 边上的高为h ，

222221

cos 722

b c a A b c bc bc +−==∴+−=，

22230b c c c −=∴+−=，

1c ∴=或3c =−（舍去），

1,3c b ∴==，

由面积公式得，11sin 22

ah bc A =，

代入数据得，14

h =

. …………12分 19.【答案】（1）证明见解析；（2

【解析】（1）证明：

AB AE =，点O 为BC 的中点，AO BE ∴⊥， ……2分

BC CE =，点O 为BC 的中点，CO BE ∴⊥， ……4分

AC AO A ⋂=，AC ，AO ⊂平面AOC ，

BE ∴⊥平面AOC ，

四边形BCDE 为平行四边形，//CD BE ∴，

CD ∴⊥平面AOC . ……6分

（2）过O 点作BC 的垂线，垂足为G ，连接AG ， ……8分 因为AO BCO ⊥面，所以BC AG ⊥，故AGO ∠即为所求的二面角， ……10分 在直角三角形AGO

中，AO =1OG =

，所以tan AGO ∠=. ……12分 (若用空间向量解答，酌情给分) 20.【答案】答案见解析

【解析】（1）政治成绩的中位数为72，生物成绩的众数为73. ……2分

（2）甲同学选考政治学科的等级为A ，

由转换赋分公式：98821008281

86

T T −−=−−，得T ＝87. ……4分

乙同学选考生物学科的等级A ，

由换赋分公式：100911009190

86

T T −−=−−，得T ＝87. ……6分

故甲、乙两位同学的转换分都为87分．

（3）()()

6

74

0.99874.12

i

i

Y Y T T r −−=

≈

≈∑. ……9分 说法1：等级转换赋分法公平，因为相关系数十分接近于1，接近于函数关系，因此高考这种“等级转换赋分法”具有公平性与合理性．

说法2：等级转换赋分法不公平.在同一等级内，原始分与转化分是确定的函数关系，理论上原始分与转化分的相关系数为1，而在实际赋分过程中由于数据的四舍五入，使得实际的转化分与应得的转化分有一定的误差，极小部分同学赋分后会出现偏高或偏低的现象. ……12分

（只要学生说法合理，都给分）

21.【答案】（1）22

+=143

x y ，28y x =；（2）AMD △

面积的最大值为AM 的

方程为360360x x −=−=或. 【解析】（1）依题意，

1

2

c a =，2p a =，3a c +=，

解得=2a

，b =，1c =，4p =，

所以，椭圆的方程为22

+=143

x y ，抛物线的方程为28y x =. ……4分

（2）设直线AM 的方程为()20x my m =+≠， 与直线l 的方程2x =−联立，可得点42,M m ⎛

⎫

−−

⎪⎭⎝，42,N m ⎛⎫− ⎪⎭⎝

. 故将()20x my m =+≠与22

+=143

x y 联立，消去x ，

整理得()2234120m y my ++=，解得0y =，或21234

m

y m −=

+.

由点B 异于点A ，可得点22

26812,3434m m B m m ⎛−+−⎫

⎪++⎭⎝， ……7分 又求直线BN 的方程为()2221246842203434m

m x y m m m m ⎛⎫−−+⎛⎫⎛⎫−+−+−= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令0y =，解得22

32

D m x m −+=+，

所以22

221223232

m m AD m m −+=−=++， ……9分

故221124..

232MAD

m S m m −=+

△≤

m =时取等号， ……11分 此时直线AM

的方程为360360x x −=−=或. ……12分

22.【答案】（1

）14⎛ ⎝⎭

；（2）2a <且14m =

，或a >且2310316a a m −+=. 【解析】（1）由题意得，当0x ≥

时，π),01()(1)(2),1x x f x x x x ≤≤=⎪−−>⎩

，

由图象可知，14m <<

……4分 （2）①当方程()f x m =在[]1,1−上有四个实根时，

由3242x x x =+，23x x =−，341x x +=，可知31

4

x =，434x =，

从而11

()4

4

m f ==

，且1()4f x <在()1,x ∈+∞上恒成立

i 当1a ≤时，易知成立； ii 当1a >时，1

()4

f x <在()1,x ∈+∞上恒成立， 则11

(

)24

a f +<，解得12a <<. ……7分 ②当方程()f x m =在[]1,1−上有两个实根时，

可知21

2

x =−，31

2

x =

，1()2m f ==，

由四个根成等差，得43

2x =，即1322

a +=，求得2a =，

此时3

1()2

4f =

≠. ……9分 ③当方程()f x m =在[]1,1−上无实根时， 由3242x x x =+，23-x x =，341x x a +=+，

可知31

4

a x +=，213103()416a a a m f +−+==，

且要满足m >

，解得a >.

综上，a 与m 满足的条件为2a <且14m =

，或a >且23103

16

a a m −+=. …… 12分