2016-2017学年高中数学人教A版选修2-3课时训练：第一

1．两个计数原理

分类加法计数原理与分步乘法计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是基础方法，尤其是分类加法计数原理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题时，用分类的方法可以有效的将之分解，达到求解的目的．正确地分类与分步是用好两个原理的关键，即完成一件事到底是“分步”进行还是“分类”进行，这是选用计数原理的关键．

2．排列与组合

排列数与组合数计算公式主要应用于求值和证明恒等式，其中求值问题应用连乘的形式，证明恒等式应用阶乘的形式，在证明恒等式时，要注意观察恒等式左右两边的形式，基本遵循由繁到简的原则，有时也会从两边向中间靠拢．

对于应用题，则首先要分清是否有序，即是排列问题还是组合问题．

3．二项式定理

(1)与二项式定理有关：包括定理的正向应用、逆向应用，题型如证明整除性、证明一些简单的组合恒等式等，此时主要是要构造二项式，合理应用展开式；

(2)与通项公式有关：主要是求特定项，比如常数项、有理项、x的某次幂等，此时要特别注意二项式展开式中第k＋1项的通项公式是Tk＋1＝Can－kbk(k＝0，1，…n)，其二项式系数是C，而不是C，这是一个极易错点．

题型一　两个计数原理的应用

基本计数原理提供了“完成某件事情”是“分类”进行，还是“分步”进行．在分类或分步中，针对具体问题考虑是与“顺序”有关，还是无关，来确定排列与组合．

例1　在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共m＋n＋1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有(　　)

A．CC＋CC  B．CC＋CC

C．CC＋CC＋CC  D．CC＋CC

答案　C

解析　法一　第一类：从OA边上(不包括O)任取一点与从OB边上(不包括O)任取两点，可构造一个三角形，有CC个；

第二类：从OA边上(不包括O)任取两点与OB边上(不包括O)任取一点，可构造一个三角形，有CC个；

第三类：从OA边上(不包括O)任取一点与OB边上(不包括O)任取一点，与O点可构造一个三角形，有CC个．

由分类加法计数原理共有N＝(CC＋CC＋CC)个三角形．

法二　从m＋n＋1中任取三点共有C种情况，其中三点均在射线OA上(包括O点)，有C个，三点均在射线OB上(包括O点)，有C个．所以，三角形的个数为N＝C－C－C.

A．144种  B．72种  C．种  D．84种

答案　D

解析　根据所用颜色的种数分类

第一类：用4种颜色涂，有A＝4×3×2×1＝24(种)．

第二类：用3种颜色，必须有一条对角区域涂同色：

有CCA＝48(种)．

第三类：用2种颜色，对角区域各涂一色有A＝4×3＝12(种)．

共有24＋48＋12＝84(种)．

题型二　排列与组合应用题

　在解决一个实际问题的过程中，常常遇到排列、组合的综合性问题，而解决问题的第一步是审题，只有认真审题，才能把握问题的实质，分清是排列问题、组合问题，还是综合问题，分清分类与分步的标准和方式，并且要遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．

解决排列组合应用题的常用方法：

(1)合理分类，准确分步；

(2)特殊优先，一般在后；

(3)先取后排，间接排除；

(4)相邻捆绑，间隔插空；

(5)抽象问题，构造模型；

(6)均分除序，定序除序．

例2　用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则其中数字2，3相邻的偶数有________个(用数字作答)．

答案　18

解析　数字2和3相邻的偶数有两种情况．第一种情况，当数字2在个位上时，则3必定在十位上，此时这样的五位数共有A＝6(个)；第二种情况，当数字4在个位上时，且2，3必须相邻，此时满足要求的五位数有AA＝12(个)，则一共有6＋12＝18(个)．

跟踪演练2　停车场一排有12个空位，如今要停放7辆不同的车，要求恰好有4个空位连在一起，求共有多少种停法？

解　将4个连在一起的空位看成一个整体，由于另一个空位不能与这个整体相连，则可把这两个元素插在7辆车之间，共有A种方法；而7辆车共有A种排法，因此共有A·A＝282 240(种)不同停法．

题型三　二项式定理的应用

对于二项式定理的考查常有两类问题：第一类，直接运用通项公式求特定项或解决与系数有关的问题；第二类，需运用转化思想化归为二项式定理来处理的问题．

例3　(1)已知(x2－)n的展开式中第3项与第5项的系数之比为－，其中i2＝－1，则展开式中系数为实数且最大的项为(　　)

A．第3项  B．第4项

C．第5项  D．第5项或第6项

答案　C

解析　T3＝－Cx2n－5，T5＝Cx2n－10.

由－C∶C＝－，得n2－5n－50＝0，

∴n＝10，又Tr＋1＝C (－i)rx20－r，

据此可知当r＝0，2，4，6，8，10时其系数为实数，且当r＝4时，C＝210最大．

(2)已知x2＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9的值为________．

答案　－10

解析　法一　所给等式即[1－(x＋1)]2＋[1－(x＋1)]10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋

a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，而“(x＋1)9”只能从[1－(x＋1)]10中产生，根据二

项式定理，a9＝－C＝－C＝－10.

法二　因为a9与x9项的系数有关，等式左边x9项的系数为0，所以等式右边x9项的系数也为0.

因为x10的系数为a10＝C＝1，x9的系数为a9·C＋a10·C＝a9＋10＝0，所以a9＝－10.

跟踪演练3　(1)(x－1)9按x降幂排列的展开式中，系数最大的项是(　　)

A．第4项和第5项  B．第5项

C．第5项和第6项  D．第6项

答案　B

解析　根据二项式系数的性质，(x－1)9的展开式中的中间两项即第5项和第6项的二项式系数最大，但第6项的系数是负数，所以只有第5项的系数最大．

(2)已知(x＋2)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值为________．

答案　511

解析　法一　因为(x＋2)9＝[1＋(x＋1)]9＝C＋

C (x＋1)＋C (x＋1)2＋…＋C (x＋1)9，

所以a0＝C＝1，a1＝C，a2＝C，…，a9＝C.

因此|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a1＋a2＋…＋a9＝C＋C＋C＋…＋C＝29－1＝511.

法二　由(x＋2)9＝[1＋(x＋1)]9＝C＋C (x＋1)＋C (x＋1)2＋…＋C (x＋1)9知，

a1，a2，a3，…，a9均为正，

所以|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a1＋a2＋…＋a9.

因此，在已知等式中令x＝0，

得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝29.

又a0＝1，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝29－1＝511.

排列、组合应用题从形式上看有以下几种最为常见的问题：数字问题、人或物的排列问题、几何问题、选代表或选样品的问题、集合的子集个数问题．二项式定理题型为以下几种：求展开式中的某一项或某一项系数的问题；求所有项系数的和或者奇数项、偶数项系数和的问题；二项式某一项为字母，求这个字母的值的问题；求近似值的问题，试题难度不大．

2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（　　）

A．3    B．2    C．1    D．0

2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（　　）

A．球    B．圆柱    C．圆台    D．圆锥

3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（　　）

A．    B．    C．    D．

4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（　　）

A．2    B．3    C．4    D．5

5．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（　　）

A．8    B．2    C．﹣2    D．﹣8

6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（　　）

A．15，5，25    B．15，15，15    C．10，5，30    D．15，10，20

7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（　　）

A．平行    B．相交    C．异面但不垂直    D．异面且垂直

8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（　　）

A．{x|﹣1≤x≤2}    B．{x|﹣1＜x＜2}    C．{x|x≥2或x≤﹣1}    D．{x|x＞2或x＜﹣1}

9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（　　）

A．（x+2）2+（y+1）2=5    B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10    C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5    D．（x+2）2+（y+1）2=10

10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（　　）

A． km    B． km    C．1.5km    D．2km

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．

11．计算：log21+log24=　　．

12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=　　．

13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是　　．

14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为　　•

15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为　　．

三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．已知，＜θ＜π．（1） 求tanθ；（2） 求的值．

17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清． 

（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；

（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？

18．已知等比数列{an}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．

（1）求a1及an；

（2）设bn=an+n，求数列{bn}的前5项和S5．

19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5

（1）求函数f（x）解析式

（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．

20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．

（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；

（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；

（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大．

2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷

参与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（　　）

A．3    B．2    C．1    D．0

【考点】并集及其运算．

【分析】根据M及M与N的并集，求出x的值，确定出N即可．

【解答】解：∵集合M={0，1，2}，N={x}，且M∪N={0，1，2，3}，

∴x=3，

故选：A．

2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（　　）

A．球    B．圆柱    C．圆台    D．圆锥

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由三视图可知该几何体为圆锥．

【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆锥．

故选D．

3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】几何概型．

【分析】由题意，要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，利用区间长度的比求．

【解答】解：要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，

由几何概型的个数得到此数大于3的概率为为；

故选B．

4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（　　）

A．2    B．3    C．4    D．5

【考点】程序框图．

【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案．

【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；

输入x=1，

y=1﹣1+3=3，

输出y的值为3．

故选：B．

5．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（　　）

A．8    B．2    C．﹣2    D．﹣8

【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．

【分析】根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可．

【解答】解：∵∥，

∴4﹣2x=0，得x=2，

故选：B

6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（　　）

A．15，5，25    B．15，15，15    C．10，5，30    D．15，10，20

【考点】分层抽样方法．

【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可等到结论．

【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．

∴从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，

则高一、高二、高三年级抽取的人数分别，

高二：，

高三：45﹣15﹣10=20．

故选：D

7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（　　）

A．平行    B．相交    C．异面但不垂直    D．异面且垂直

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．

【分析】连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，即可得出结论．

【解答】解：∵正方体的对面平行，∴直线BD与A1C1异面，

连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，

∴直线BD与A1C1垂直，

∴直线BD与A1C1异面且垂直，

故选：D．

8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（　　）

A．{x|﹣1≤x≤2}    B．{x|﹣1＜x＜2}    C．{x|x≥2或x≤﹣1}    D．{x|x＞2或x＜﹣1}

【考点】一元二次不等式的解法．

【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集．

【解答】解：不等式（x+1）（x﹣2）≤0对应方程的两个实数根为﹣1和2，

所以该不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．

故选：A．

9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（　　）

A．（x+2）2+（y+1）2=5    B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10    C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5    D．（x+2）2+（y+1）2=10

【考点】圆的标准方程．

【分析】求出圆心坐标和半径，因为圆的直径为线段PQ，所以圆心为P，Q的中点，应用中点坐标公式求出，半径为线段PQ长度的一半，求出线段PQ的长度，除2即可得到半径，再代入圆的标准方程即可．

【解答】解：∵圆的直径为线段PQ，∴圆心坐标为（2，1）

半径r===

∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．

故选：C．

10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（　　）

A． km    B． km    C．1.5km    D．2km

【考点】解三角形的实际应用．

【分析】直接利用与余弦定理求出AB的数值．

【解答】解：根据余弦定理 AB2=a2+b2﹣2abcosC，

∴AB===（km）．

故选：A．

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．

11．计算：log21+log24=　2　．

【考点】对数的运算性质．

【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．

【解答】解：log21+log24=0+log222=2．

故答案为：2．

12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=　±3　．

【考点】等比数列．

【分析】由等比数列的性质得x2=9，由此能求出实数x．

【解答】解：∵1，x，9成等比数列，∴x2=9，

解得x=±3．

故答案为：±3．

13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是　5　．

【考点】简单线性规划．

【分析】利用目标函数的几何意义求最大值即可．

【解答】解：由已知，目标函数变形为y=﹣x+z，

当此直线经过图中点（3，2）时，在y轴的截距最大，使得z最大，所以z的最大值为3+2=5；

故答案为：5．

14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为　4　•

【考点】函数的零点．

【分析】根据函数零点的定义，得f（a）=0，从而求出a的值．

【解答】解：a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，

∴f（a）=2﹣log2a=0，

∴log2a=2，

解得a=4．

故答案为：4．

15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为　45°　．

【考点】直线与平面所成的角．

【分析】由题意，AE⊥平面EFBC，∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，即可得出结论．

【解答】解：由题意，AE⊥平面EFBC，∴∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，

∵AE=EF，∴∠AFE=45°．

故答案为45°．

三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．已知，＜θ＜π．（1） 求tanθ；（2） 求的值．

【考点】三角函数的化简求值．

【分析】（1）由，＜θ＜π结合同角平方关系可求cosθ，利用同角基本关系可求

（2）结合（1）可知tanθ的值，故考虑把所求的式子化为含“切”的形式，从而在所求的式子的分子、分母同时除以cos2θ，然后把已知tanθ的值代入可求．

【解答】解：（1）∵sin2θ+cos2θ=1，

∴cos2θ=．

又＜θ＜π，∴cosθ=

∴．

（2）=．

17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清． 

（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；

（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？

【考点】频率分布直方图．

【分析】（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积之和等于1，求出a的值，频率分布直方图中最高的小长方体的底面边长的中点即是众数；

（2）求出本公司职员平均费用不少于8元的频率就能求出公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元．

【解答】解：（1）据题意得：（0.05+0.10+a+0.10+0.05+0.05）×2=1，

解得a=0.15，

众数为：；

（2）该公司职员早餐日平均费用不少于8元的有：

×2=200，

18．已知等比数列{an}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．

（1）求a1及an；

（2）设bn=an+n，求数列{bn}的前5项和S5．

【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．

【分析】（1）运用等比数列的通项公式和等差数列的中项的性质，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；

（2）求得bn=2n﹣1+n，再由数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．

【解答】解：（1）由已知得a2=2a1，a3+1=4a1+1，a4=8a1，

又a2，a3+1，a4成等差数列，可得：

2（a3+1）=a2+a4，

所以2（4a1+1）=2a1+8a1，

解得a1=1，

故an=a1qn﹣1=2n﹣1；

（2）因为bn=2n﹣1+n，

所以S5=b1+b2+b3+b4+b5

=（1+2+…+16）+（1+2+…+5）

=+=31+15=46．

19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5

（1）求函数f（x）解析式

（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．

【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．

【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解即可．

（2）利用二次函数的对称轴以及开口方向，通过二次函数的性质求解函数的最值即可．

【解答】解：（1）∵；

（2）∵f（x）=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，x∈[﹣2，2]，开口向上，对称轴为：x=1，

∴x=1时，f（x）的最小值为5，x=﹣2时，f（x）的最大值为14．

20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．

（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；

（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；

（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大．

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程，写出圆心和半径；

（2）设出直线l的方程，与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出的值；

（3）解法一：设出直线m的方程，由圆心C到直线m的距离，写出△CDE的面积，利用基本不等式求出最大值，从而求出对应直线方程；

解法二：利用几何法得出CD⊥CE时△CDE的面积最大，再利用点到直线的距离求出对应直线m的方程．

【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，

则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；

（2）设直线l的方程为y=kx，

联立方程组，

消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，

则有：；

所以为定值；

（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，

所以，

≤，

当且仅当，即时，△CDE的面积最大，

从而，解之得b=3或b=﹣1，

故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．

解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，

所以≤2，

当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时；

设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，

由，得，

由，得b=3或b=﹣1，

故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．

2017年5月5日