2020-2021学年广东省广州市越秀区八年级(下)期末数学试卷(含解析)

一、选择题（共10小题，共30分.）

1．在下列各式中，最简二次根式是（　　）

A．    B．    C．    D．

2．下列计算正确的是（　　）

A．    B．    C．    D．

3．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　）

A．5，12，13    B．    C．9，16，25    D．

4．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE．则∠DAE的度数是（　　）

A．15°    B．20°    C．12.5°    D．10°

5．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，面积分别为225、400、S，则S为（　　）

A．175    B．600    C．25    D．625

6．若直线l的解析式为y＝﹣x+1，则下列说法正确的是（　　）

A．直线l与y轴交于点（0，﹣1）    

B．直线l不经过第四象限    

C．直线l与x轴交于点（1，0）    

D．y随x的增大而增大

7．若一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象上有两点（﹣3，y1），（5，y2），则y1与y2的大小关系是（　　）

A．y1＜y2    B．y1＝y2    C．y1＞y2    D．不能确定

8．某校为选拔一名运动员参加市运动会100米短跑比赛，对甲、乙两名运动员都进行了5次测试．他们成绩的平均数均为12秒，其中甲测试成绩的方差S甲2＝0.8．乙的5次测试成绩分别为：13，12.5，11，11.5，12（单位：秒）．则最适合参加本次比赛的运动员是（　　）

A．甲    B．乙    

C．甲、乙都一样    D．无法选择

9．当1≤x≤10时，一次函数y＝3x+b的最小值为18，则b＝（　　）

A．10    B．15    C．20    D．25

10．如图，在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，点M，N分别位于BC，CD上，且CM＝DN，点P在对角线BD上运动．则MP+NP的最小值是（　　）

A．6    B．8    C．10    D．12

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

11．若二次根式有意义，则x的取值范围是 　     　．

12．某公司招聘职员，竞聘者需参加计算机、语言表达和写作能力三项测试．竞聘成绩按照如下标准计算：计算机成绩占50%，语言表达成绩占30%，写作能力成绩占20%．李丽的三项成绩依次是70分，90分，80分，则李丽的竞聘成绩是 　   　分．

13．若一个直角三角形的两边长分别是4cm，3cm，则第三条边长是 　             　cm．

14．若直线y＝（m+5）x+（m﹣1）经过第一、三、四象限，则常数m的取值范围是 　       　．

15．如图，直线y＝kx+b（k≠0）和直线y＝mx+n（m≠0），分别与x轴交于（﹣4，0），（2，0）两点，则关于x的不等式组的解集是 　       　．

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝3∠B，AB＝20cm，点D是AB中点，点M从点A出发，沿线段AB运动到点B，点P始终是线段CM的中点．对于下列结论：①CD＝10cm；②∠CDA＝60°；③线段CM长度的最小值是5cm；④点P运动路径的长度是10cm．其中正确的结论是 　    　（写出所有正确结论的序号）．

三、解答题（本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．计算：．

18．如图，E、F分别是矩形ABCD的边AD、BC上的点，且AE＝CF．求证：四边形EBFD为平行四边形．

19．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．

20．为了解初二某班学生使用共享单车次数的情况，某数学小组随机采访该班的10位同学，得到这10位同学一周内使用共享单车的次数，统计如下：

（2）求这10位同学一周内使用共享单车次数的平均数．

21．如图，四边形ABCD是矩形，AD＝6，CD＝8．

（1）尺规作图：作∠DAC的平分线AE，与CD交于点E（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）求点E到线段AC的距离．

22．某校足球队计划从商家购进A、B两种品牌的足球，A种足球的单价比B种足球的单价低30元，购进5个A种足球的费用等于3个B种足球的费用．现计划购进两种品牌的足球共50个，其中A种足球数量不超过B种足球数量的9倍．

（1）求A、B两种品牌的足球单价各是多少元？

（2）设购买A种足球m个（m≥1），购买两种品牌足球的总费用为w元，求w关于m的函数关系式，并求出最低总费用．

23．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴，y轴分别交于点B，A，以AB为边在第一象限内作等腰直角△ABC，且∠ABC＝90°，过C作CD⊥x轴于点D．

（1）如图1，求A，B，C三点的坐标；

（2）如图2，若点E，F分别是OB，AB的中点，连接EF，CF．判断四边形FEDC的形状，并说明理由．

24．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，OA＝OB＝10．

（1）求直线AB的解析式；

（2）若点P是直线AB上的动点，当S△OBP＝S△OAP时，求点P的坐标；

（3）将直线AB向下平移10个单位长度得到直线l，点M，N是直线l上的动点（M，N的横坐标分别是xM，xN，且xM＜xN），MN＝4，求四边形ABNM的周长的最小值，并说明理由．

25．已知：四边形ABCD是正方形，AB＝20，点E，F，G，H分别在边AB，BC，AD，DC上．

（1）如图1，若∠EDF＝45°，AE＝CF，求∠DFC的度数；

（2）如图2，若∠EDF＝45°，点E，F分别是AB，BC上的动点，求证：△EBF的周长是定值；

（3）如图3，若GD＝BF＝5，GF和EH交于点O，且∠EOF＝45°，求EH的长度．

参

一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的.）

1．在下列各式中，最简二次根式是（　　）

A．    B．    C．    D．

解：A、，是最简二次根式；

B、＝＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；

C、＝3，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；

D、＝5，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；

故选：A．

2．下列计算正确的是（　　）

A．    B．    C．    D．

解：A、2与3不能合并，所以A选项的计算错误；

B、原式＝9＝9，所以B选项的计算错误；

C、原式＝4，所以C选项的计算错误；

D、原式＝＝2，所以D选项的计算正确．

故选：D．

3．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　）

A．5，12，13    B．    C．9，16，25    D．

解：A．∵52+122＝132，

∴以5，12，13为边能构成直角三角形，故本选项符合题意；

B．∵（）2+（）2＝（）2，

∴以，，为边不能构成直角三角形，故本选项符合题意；

C．∵92+162≠252，

∴以9，16，25为边不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

D．∵（）2+（）2≠（）2，

∴以，，为边不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

故选：A．

4．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE．则∠DAE的度数是（　　）

A．15°    B．20°    C．12.5°    D．10°

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC＝90°，AD＝DC，

∵△CDE是等边三角形，

∴DE＝DC，∠EDC＝60°，

∴∠ADE＝90°+60°＝150°，AD＝ED，

∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）＝15°，

故选：A．

5．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，面积分别为225、400、S，则S为（　　）

A．175    B．600    C．25    D．625

解：由勾股定理得，AB2+BC2＝AC2，

则S＝225+400＝625，

故选：D．

6．若直线l的解析式为y＝﹣x+1，则下列说法正确的是（　　）

A．直线l与y轴交于点（0，﹣1）    

B．直线l不经过第四象限    

C．直线l与x轴交于点（1，0）    

D．y随x的增大而增大

【解答】A、当x＝0时，y＝﹣x+1＝1，

∴直线与y轴交于点（0，1），不符合题意；

B、∵k＝﹣1＜0，b＝1＞0，

∴直线经过第一、二、四象限，不符合题意；

C、当y＝0时，﹣x+1＝0，

解得：x＝1，∴直线与x轴交于点（1，0）符合题意；

D、∵k＝﹣1＜0，

∴y随x的增大而减小，不符合题意．

故选：C．

7．若一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象上有两点（﹣3，y1），（5，y2），则y1与y2的大小关系是（　　）

A．y1＜y2    B．y1＝y2    C．y1＞y2    D．不能确定

解：∵k＜0，

∴y随x的增大而减小，

又∵﹣3＜5，

∴y1＞y2．

故选：C．

8．某校为选拔一名运动员参加市运动会100米短跑比赛，对甲、乙两名运动员都进行了5次测试．他们成绩的平均数均为12秒，其中甲测试成绩的方差S甲2＝0.8．乙的5次测试成绩分别为：13，12.5，11，11.5，12（单位：秒）．则最适合参加本次比赛的运动员是（　　）

A．甲    B．乙    

C．甲、乙都一样    D．无法选择

解：乙5次测试成绩的平均数为＝12（秒），

∴乙测试成绩的方差S乙2＝×[（13﹣12）2+（12.5﹣12）2+（11﹣12）2+（11.5﹣12）2+（12﹣12）2]＝0.5，

∴S乙2＜S甲2，

∴最适合参加本次比赛的运动员是乙，

故选：B．

9．当1≤x≤10时，一次函数y＝3x+b的最小值为18，则b＝（　　）

A．10    B．15    C．20    D．25

解：∵一次函数y＝3x+b，k＝3＞0，

∴该函数y随x的增大而增大，

∵当1≤x≤10时，一次函数y＝3x+b的最小值为18，

∴当x＝1时，3×1+b＝18，

解得b＝15，

故选：B．

10．如图，在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，点M，N分别位于BC，CD上，且CM＝DN，点P在对角线BD上运动．则MP+NP的最小值是（　　）

A．6    B．8    C．10    D．12

解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，∠QBP＝∠MBP，

即Q在AB上，

∵MQ⊥BD，

∴AC∥MQ，

∵M为BC中点，

∴Q为AB中点，

∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，

∴BQ∥CD，BQ＝CN，

∴四边形BQNC是平行四边形，

∴NQ＝BC，

∵AQ＝CN，∠QAP＝∠PCN，∠APQ＝∠CPN，

∴△APQ≌△CPN（AAS），

∴AP＝PC，

∵四边形ABCD是菱形，

∴CP＝AC＝6，BP＝BD＝8，

在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC＝10，

即NQ＝10，

∴MP+NP＝QP+NP＝QN＝10，

故选：C．

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

11．若二次根式有意义，则x的取值范围是 　x≥﹣5　．

解：由题意可知：2x+10≥0，

∴x≥﹣5，

故答案为：x≥﹣5．

12．某公司招聘职员，竞聘者需参加计算机、语言表达和写作能力三项测试．竞聘成绩按照如下标准计算：计算机成绩占50%，语言表达成绩占30%，写作能力成绩占20%．李丽的三项成绩依次是70分，90分，80分，则李丽的竞聘成绩是 　78　分．

解：李丽的竞聘成绩是70×50%+90×30%+80×20%＝78（分），

故答案为：78．

13．若一个直角三角形的两边长分别是4cm，3cm，则第三条边长是 　5或　cm．

解：当长为4cm的边是直角边时，斜边长＝＝5（cm），

当长为4cm的边是斜边时，另一条直角边＝＝（cm），

综上所述，第三条边长为5cm或cm，

故答案为：5或．

14．若直线y＝（m+5）x+（m﹣1）经过第一、三、四象限，则常数m的取值范围是 　﹣5＜m＜1　．

解：∵一次函数y＝（m+5）x+（m﹣1）的图象经过第一、三、四象限，

∴m+5＞0且m﹣1＜0，

解得：﹣5＜m＜1，

故答案为：﹣5＜m＜1．

15．如图，直线y＝kx+b（k≠0）和直线y＝mx+n（m≠0），分别与x轴交于（﹣4，0），（2，0）两点，则关于x的不等式组的解集是 　﹣4＜x＜2　．

解：由图象可得，

当x＞﹣4时，y＝kx+b对应的函数值大于0，

当x＜2时，y＝mx+n对应的函数值大于0，

∴不等式组的解集是﹣4＜x＜2，

故答案为：﹣4＜x＜2．

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝3∠B，AB＝20cm，点D是AB中点，点M从点A出发，沿线段AB运动到点B，点P始终是线段CM的中点．对于下列结论：①CD＝10cm；②∠CDA＝60°；③线段CM长度的最小值是5cm；④点P运动路径的长度是10cm．其中正确的结论是 　①③④　（写出所有正确结论的序号）．

解：∵∠ACB＝90°，∠A＝3∠B，

∴∠A+∠B＝90°，

即4∠B＝90°，

∴∠B＝22.5°，

∵点D是AB中点，AB＝20cm，

∴CD＝AD＝BD＝AB＝10cm，

故①正确；

∴∠B＝∠DCB＝22.5°，

∴∠ADC＝2∠B＝45°，

故②错误；

当CM⊥AB时，CM的值最小，

∴∠CMD＝90°，

∴△CMD是等腰直角三角形，

∴CD＝CM＝10cm，

∴CM＝5cm，

故③正确；

取AC的中点E，连接PE，并延长EP，交BC于点F，

如图所示，

∵点P始终是线段CM的中点，

∴PE∥AM，PE＝AM，

∴EF∥AB，

∴点F为BC的中点，

∵点M从点A出发，沿线段AB运动到点B，

∴点P在线段EF上运动，

∴EF＝AB＝10cm，

即点P运动路径的长度10cm，

故④正确，

∴正确的结论是①③④，

故答案为①③④．

三、解答题（本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．计算：．

解：原式＝5﹣

＝5﹣2

＝3．

18．如图，E、F分别是矩形ABCD的边AD、BC上的点，且AE＝CF．求证：四边形EBFD为平行四边形．

【解答】（本小题满分9分）

证明：∵ABCD为矩形，

∴AD∥BC且AD＝BC．

又∵AE＝CF，

∴AD﹣AE＝BC﹣CF，

即ED＝BF，

由ED∥BF且ED＝BF，

得四边形EBFD为平行四边形．

（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）．

19．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．

解：∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，

∴AC＝＝，

在△ACD中，AC2+CD2＝9＝AD2，

∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°，

∴S四边形ABCD＝AB•BC+AC•CD

＝×1×2+××2

＝1+．

故四边形ABCD的面积为1+．

20．为了解初二某班学生使用共享单车次数的情况，某数学小组随机采访该班的10位同学，得到这10位同学一周内使用共享单车的次数，统计如下：

（2）求这10位同学一周内使用共享单车次数的平均数．

解：（1）按照大小顺序重新排列后，第5、第6个数都是8，所以中位数是8次，8出现4次最多，所以众数是8次，

故答案为：8次，8次；

（2）×（1×2+4×2+8×4+12+16）＝7（次），

故这10位同学一周内使用共享单车次数的平均数是7次．

21．如图，四边形ABCD是矩形，AD＝6，CD＝8．

（1）尺规作图：作∠DAC的平分线AE，与CD交于点E（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）求点E到线段AC的距离．

解：（1）如图所示，

（2）在Rt△ACD中，AD＝6，CD＝8，

由勾股定理可得AC＝10，

过点E作EF⊥AC于点F，

∵AE平分∠DAC，DE⊥AD，EF⊥AC，

∴∠DAE＝∠FAE，∠D＝∠AFE＝90°，

∴∠AED＝∠AEF，即EA平分∠DEF，

∴AD＝AF＝6，

∵S△ACE＝•AD•CE＝•EF•AC，

∴3CE＝5EF，

设EF＝3m，则CE＝5m，

∴CE＝DE+EC＝3m+5m＝8，解得m＝1，

∴EF＝3，即点E到AC的距离为3．

22．某校足球队计划从商家购进A、B两种品牌的足球，A种足球的单价比B种足球的单价低30元，购进5个A种足球的费用等于3个B种足球的费用．现计划购进两种品牌的足球共50个，其中A种足球数量不超过B种足球数量的9倍．

（1）求A、B两种品牌的足球单价各是多少元？

（2）设购买A种足球m个（m≥1），购买两种品牌足球的总费用为w元，求w关于m的函数关系式，并求出最低总费用．

解：（1）设A种品牌的足球单价为x元，则B种品牌的足球单价为（x+30）元，

由题意，得：5x＝3（x+30），

解得：x＝45，

∴x+30＝45+30＝75（元），

答：A种品牌的足球单价为45元，B种品牌的足球单价为75元；

（2）设购买A种足球m个（m≥1），则购买B种足球（50﹣m）个，

由（1）得：w＝45m+75（50﹣m）＝﹣30m+3750，

∵A种足球数量不超过B种足球数量的9倍，

∴m≤9（50﹣m），

解得：m≤45，

又∵m≥1，

∴1≤m≤45，

∵﹣30＜0，

∴w随m的增大而减小，

∴当m＝45时，w最小，最小值为：﹣30×45+3750＝2400（元），

∴w关于m的函数关系式w＝﹣30m+3750，最低费用为2400元．

23．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴，y轴分别交于点B，A，以AB为边在第一象限内作等腰直角△ABC，且∠ABC＝90°，过C作CD⊥x轴于点D．

（1）如图1，求A，B，C三点的坐标；

（2）如图2，若点E，F分别是OB，AB的中点，连接EF，CF．判断四边形FEDC的形状，并说明理由．

解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴，y轴分别交于点B、A．

∴A（0，4），B（2，0），

∴OA＝4，OB＝2，

∵CD⊥BD，

∴∠CDB＝∠AOB＝∠ABC＝90°，

∴∠ABO+∠CBD＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°，

∴∠ABO＝∠BCD，

∵AB＝BC，

∴△AOB≌△BDC（AAS），

∴BD＝OA＝4，CD＝OB＝2，

∴OD＝6，

∴C（6，2）．

（2）结论：四边形FEDC是矩形．

理由：∵点E，F分别是OB，AB的中点，

∴EF∥OA，EF＝OA，

∴EF⊥x轴，EF＝＝2，

∴EF∥CD，EF＝CD＝2，

∴四边形FEDC是平行四边形，

∵∠CDE＝90°，

∴四边形FEDC是矩形．

24．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，OA＝OB＝10．

（1）求直线AB的解析式；

（2）若点P是直线AB上的动点，当S△OBP＝S△OAP时，求点P的坐标；

（3）将直线AB向下平移10个单位长度得到直线l，点M，N是直线l上的动点（M，N的横坐标分别是xM，xN，且xM＜xN），MN＝4，求四边形ABNM的周长的最小值，并说明理由．

解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，

∵点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，OA＝OB＝10．

∴A（0，10），B（10，0），

∴，

解是k＝﹣1，b＝10，

∴直线AB的解析式为y＝﹣x+10；

（2）

令P的坐标为（m，﹣m+10）

∵S△OBP＝S△OAP，

则•OB•|m|＝•OA•|﹣m+10|，

∵OA＝OB＝10，

（解法一）

∴4|m|＝|m﹣10|

①当m＜0时，﹣4m＝10﹣m，解得m＝﹣，

②当0≤m＜10时，4m＝10﹣m，解得m＝2，

③当m≥10时，4m＝m﹣10，解得m＝﹣（舍去）．

所以点P坐标是（﹣，）或（2，8）；

（解法二）

∴整理得3m²+4m﹣20＝0，

（3m+10）（m﹣2）＝0，

∴m1＝﹣，m2＝2，

所以点P坐标是（﹣，）或（2，8）；

（3）解法一∵直线AB向下平移10个单位长度得到直线l，

∴直线l∥AB，距离5，即MN∥AB，

又AB＝10，MN＝4，

∴四边形ABNM是梯形，

∵点M，N是直线l上的动点（M，N的横坐标分别是xM，xN，且xM＜xN），

∴当四边形ABNM是的两腰相等时，梯形ABNM的两腰的和最小，

也就是四边形ABNM的周长最小，

AM＝BN＝＝2，

∴四边形ABNM的周长的最小值：

AB+MN+AM+BN

＝10+4+2+2

＝14+4，

解法二：

作点A关于MN对称点A'，

则MA＝MA'，

作MB'∥NB，易得MB'＝NB，

AM+NB＝MA'+MB'≥A'B'，

又AA'＝10，AB'＝10﹣4＝6，

所以A'B'＝4，

所以当A'，M，B'三点共线时AM+NB取最小值为4，

四边形ABNM的周长的最小值：

AB+MN+AM+BN

＝10+4+4

＝14+4，

25．已知：四边形ABCD是正方形，AB＝20，点E，F，G，H分别在边AB，BC，AD，DC上．

（1）如图1，若∠EDF＝45°，AE＝CF，求∠DFC的度数；

（2）如图2，若∠EDF＝45°，点E，F分别是AB，BC上的动点，求证：△EBF的周长是定值；

（3）如图3，若GD＝BF＝5，GF和EH交于点O，且∠EOF＝45°，求EH的长度．

解：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD，∠A＝∠C＝∠ADC＝90°，

∵AE＝CF，

∴△ADE≌△CDF（SAS），

∴∠ADE＝∠CDF，

∵∠EDF＝45°，

∴∠ADE+∠CDF＝90﹣45°＝45°，

∴∠CDF+∠CDF＝45°，

∴∠CDF＝22.5°，

∴∠DFC＝90°﹣22.5°＝67.5°．

（2）如图2，延长BC到点K，使CK＝AE，连接DK，

∵∠DCK＝180°﹣90°＝90°，

∴∠DCK＝∠A，

∴△DCK≌△DAE（SAS），

∴DK＝DE，∠CDK＝∠ADE，

∴∠KDF＝∠CDK+∠CDF＝∠ADE+∠CDF＝45°，

∴∠KDF＝∠EDF，

∵DF＝DF，

∴△KDF≌△EDF（SAS），

∴KF＝EF，

∵KF＝CK+CF＝AE+CF，

∴EF＝AE+CF，

∴BE+EF+BF＝BE+AE+CF+BF＝AB+BC，

∵AB＝BC＝20，

∴BE+EF+BF＝40，

∴△EBF的周长是定值．

（3）如图3，作DL∥EH，交AB于点L，交FG于点P，作DM∥FG，交BC于点M，交EH于点Q，连接LM，

∵DH∥LE，DG∥FM，

∴四边形DLEH、四边形DGFM、四边形OPDQ都是平行四边形，

∴GD＝BF＝FM＝5，EH＝DL，∠LDM＝∠POQ＝∠EOF＝45°，

∴BM＝5+5＝10；

由（2）得，BL+LM+BM＝40，

∴BL+LM＝30，

∴LM＝30﹣BL，

∵∠B＝90°，

∴BL2+BM2＝LM2，

∴BL2+102＝（30﹣BL）2，

解得BL＝，

∴AL＝20﹣＝，

∵AD＝AB＝20，

∴DL＝＝，

∴EH＝．