4-1多元统计

    (1)试求y关于x1和x2的二元线性回归方程；

    (2)对回归方程和每一个回归系数的显著性作检验；

    (3)求出每一个回归系数的置信水平为0.95的置信区间；

    (4)求出回归方程的复相关系数；

    (5)设某年x1=600，x2=2.50，求出E(y)的点估计及置信水平为0.95的置信区间。

解：

1.打开SPSS软件，在弹出来的对话框中选择【Cancel】。

    2.定义变量。点击左下脚的【Variable View】标签，在表中设置变量如下：

3.录入数据。点击左下脚的【Data View】标签，在表中输入数据如下：

4.建立回归方程。

选择【Analyze】→【Regression】→【Linear...】,打开Linear Regression（线性回归分析）主对话框，将y(年径流量)导入Dependent（因变量）列表，将x1、x2导入Independent(s)(自变量)列表，如下图所示：

如图所示，Method(方法)下拉菜单，可以指定自变量进入分析的方法。通过选择不同的方法，可对相同的变量建立不同的回归模型，建立多重回归的方法有5种：Enter(强迫引入法),Stepwise（逐步回归法）,Remove（强迫剔除法）,Backward（后向消去法）,Forward（前向逐步法）。

    根据题目要求，本题采用强迫引入法建立回归方程。选择【Method】下拉菜单中的Enter.

    ①单击【Statistics...】按钮，打开Linear Regression：Statistics（统计量）对话框，如下图所示：

如图所示，在Regression Coefficients（回归系数）选项中，选择了Estimates（估计值）——显示回归系数B、SEB、标准化回归系数（Bate）、B的t值及双侧显著性水平（sig.）；Confidence intervals（致信区间）——显示每个回归系数的95%置信区间或协方差矩阵；Covariance matrix（协方差矩阵）——显示B的方差-协方差矩阵，相关系数矩阵；Model fit（模型拟合）——显示被引入模型或剔除的变量及拟合优度统计量，复相关系数R、R2调整R2，估计值的标准误差及方差分析表。

    在Residuals（残差统计量）选项中，选择Durbin-Watson选项，同时显示标准化与非标准化残差与预测值的汇总统计量。

    ②单击【Continue】→【Plots...】按钮，打开Linear Regression：Plots（图形）对话框，如下图所示：

此处选择了一个Scatter(散点图)，它是以DEPENDNT（因变量）作为X轴，以*ZRESID（标准化残差）为Y轴；同时还选择了Normal probability plot(正态概率图，即P-P图)。

③单击【Continue】→【Save...】按钮，打开Linear Regression：Save（保存）对话框，如下图所示：

此处在Predicted Values（预测值）中选择了Unstandardized（非标准化预测值），和Standardized（标准化预测值）；在Prediction Intervals（预测区间）选择Individual（个体预测区间），根据题目要求，设置Confidence Interval（置信区间）为95%。

④单击【Continue】→【OK】按钮，得到主要结果。

5.结果及分析

 ①此表显示的是变量的引入与剔除，以及选用的方法。由于本题采用的是强迫引入法，故Variables Removed一栏为空。

②下表显示的是模型摘要。从表中可以得出：复相关系数R2 ＝0.885和修正的复相关系数R2a＝0.8接近于1，这说明模型的拟合优度比较高；DW统计量为1.838，接近于2，这表明该模型不存在一阶自相关。

③下表是方差分析表。从表中可以得到有关SSR，SSE，SST的平方和、自由度和均方差等信息，以及MSR，MSE的值，如表中所示，F值为42.155，Sig.值小于给定α，表示此回归方程通过显著性检验。

④下表表示的是有关回归系数的信息。从表中可以看出，β0＝209.875，β1＝0.292，β2＝-87.7，经过标准化处理后，β1×＝0.356，β2×＝-0.763，且x1，x2的回归系数的Sig.值均小于给定的α＝0.05，即通过了显著性检验。从表中可以看出，当置信水平为0.95时,回归系数β0的置信区间为（61.639，358.111）,β1的置信区间为（0.096,0.488）,β2的置信区间为（-115.034,-60.261）。

y关于x1，x2的非标准化的二元线性回归方程为：y＝209.875＋0.292 x1－87.7 x2

y关于x1，x2标准化的二元线性回归方程为：y＝209.875＋0.356 x1－0.763 x2

⑤下图为残差的正态概率图，即P-P图。从图中可以看到，点（q(i),e(i)）近似在一条直线上，且e(i)与q(i)之间的相关系数非常接近于1，从而可以认为本题中误差正态性的假设是合理的。

⑥下表为本模型经过分析后保存下来的部分数据，从表中可以得知，当x1=600，x2=2.50时，E(y)的点估计为165.99850，取整数为166，其置信水平为0.95的置信区间为（111.91538，220.08163），取整数为（112，220）。

将最终结果整理如下：

（1）回归方程为

y关于x1，x2的非标准化的二元线性回归方程为：y＝209.875＋0.292 x1－87.7 x2

y关于x1，x2标准化的二元线性回归方程为：y＝209.875＋0.356 x1－0.763 x2

（2）对回归方程进行显著性检验，从方差分析表中可以得到有关SSR，SSE，SST的平方和、自由度和均方差等信息，以及MSR，MSE的值，如表中所示，F值为42.155，Sig.值小于给定α，表示此回归方程通过显著性检验。

对回归方程中每一个回归系数进行显著性检验，从表中可以看出，β0＝209.875，β1＝0.292，β2＝-87.7，经过标准化处理后，β1×＝0.356，β2×＝-0.763，且x1，x2的回归系数的Sig.值均小于给定的α＝0.05，即通过了显著性检验。

（3）当置信水平为0.95时,

回归系数β0的置信区间为（61.639，358.111）,

β1的置信区间为（0.096,0.488）,

β2的置信区间为（-115.034,-60.261）

（4）复相关系数R2 ＝0.885和修正的复相关系数R2a＝0.8

（5）当x1=600，x2=2.50时 E（y）=165.99850，取整数为166，其置信水平为0.95的置信区间为（111.91538，220.08163），取整数为（112，220）