浅谈数学分析中的数学思想

李静

赤峰学院 10级 数学与统计学院 数学与应用数学2班  10041100332

摘要: 在学习数学分析中，首先接触到的就是关于数学名词的概念问题，那么毫无疑问，深入了解概念是学习掌握数学分析的第一要务；在掌握了概念之后，接下来就是运算能力以及对数学符号的熟识程度；然后就是在学习过程中及做题中学习实践的做题技巧，这就逐渐形成了数学思想方法。 数学知识中蕴含的思想方法是极其丰富的,尤其是隐藏于数学知识背后的数学思想的价值不可忽视.本文对数学分析内容中的函数思想、极限思想、连续思想、数形结合思想、化归思想进行初步的分析.

关键词: 数学分析; 数学思想; 分析

一、函数思想 

  函数概念和函数思想的提出和运用,使得变量数学诞生了,常量数学发展到变量数学,函数思想起了决定性作用.函数是数学分析的研究对象.函数思想就是运用函数的观点,把常量视作变量、化静为动、化离散为连续,将待解决的问题转化为函数问题,运用函数的性质加以解决的一种思想方法.在数学分析中,我们通常用来解决不等式的证明、方程根的存在性与个数、级数问题、数列极限等.

例1 证明 当时,.

分析 这是一个不等式证明问题,直接证明有一定难度,但是将此问题转化为函数问题的单调性,即可解决问题.

证明 构造辅助函数,则,可证当 时,,因此单调递增.又因为,所以当时, ,即原不等式成立.

    例2 判断的敛散性.

分析 这是一个级数问题,该级数为交错级数.从函数的观点出发,化离散为连续,转化为函数问题,运用函数的性质,从而解决问题.

解  该级数为交错级数,由莱布尼兹判别法知,要判断其敛散性,只需判断通项的绝对值=是否单调减少且趋于为.为此,将连续化,设,由于,当时,,即在内单调递减.将特殊值为大于的自然数代入知,也递减且极限为,故此级数收敛.

二、极限的思想

极限的思想方法是近代数学的一种重要思想方法,数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究初等函数的一门学科.极限是研究无限的有力工具,“极限”揭示了常量与变量、有限与无限、直线与曲线、匀速运动与变速运动对立统一的关系.极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终,一方面利用极限的思想给出了连续函数、导数、定积分、无穷小(大)量、级数的敛散性、多元函数的偏导数、广义积分的敛散性、重积分、曲线积分、曲线弧长、曲面积分等的概念,数学分析中几乎所有的概念都离不开极限的思想.另一方面在闭区间列上的区间套定理体现了极限的思想,泰勒定理中的泰勒公式就是利用多项式函数去逼近已知函数等.学习者以”极限理论”为工具,以现实具体的问题为背景,从具体到抽象,特殊到一般的去理解概念及定理的本质,可以增强分析和解决问题的能力.

对所求量，先构造与其相关的变量，前提是该变量无限变化的结果就是所求量，此时采用极限运算得到所求量。例如邱瞬时速度、曲面弧长、曲变形面积等问题，就是采用了极限的思想。

例3 如果物体做非匀速直线运动，其运动规律的函数是，其中为时间，是距离，求它在时刻的瞬时速度。

解 物体从时刻到时刻这段时间内的平均速度是：

，当很小时，时刻的瞬时速度，因此当无限趋近于时，就无限趋近于，即

.

三、连续的思想

   在数学分析中，把函数的连续性局部化到当函数的自变量在某点邻域内作微小变动时，相应函数值也在对应点的函数值邻域内作微小变动。

这种思想应用到连续函数求极限的情形，就可以把极限的复杂问题转化为求函数值的问题，从而大大简化了运算。如果给定的函数不连续，可以通过整理、化简、变换等途径将其转化为连续函数，再利用上面的方法求其极限。

例4 求，

解  将给定的函数变形为，再根据对数函数的连续性，有

.

四、数形结合的思想

    数学是研究空间形式和数量关系的科学,而空间形式和数量关系之间往往存在密切的联系,又有各自特点.数形结合思想方法,就是充分利用形的直观性和数的规范性,通过数与形的联系转化来研究数学对象和解决数学问题.具体包括:数转化为形的思想；形转化为数的思想.这种方法使得复杂问题简单化、抽象问题具体化、形象化、直观化,化难为易,最终找到最优解决方案.

数形结合的思想在数学分析课程中的应用广泛,很多抽象问题中都蕴含着某种几何意义,借助几何图形,对抽象问题进行几何解释,使抽象问题结合图形更容易深入理解,更容易掌握其最本质的知识.比如:极限、曲线的渐近线、导数与微分、二元函数偏导数与全微分、定积分与重积分、反常积分(无穷积分与瑕积分)、函数的单调性、函数的凹凸性等概念的几何意义,对于确切理解并正确掌握这些基本概念是非常重要的,同时为解决各种实际问题提供了多样化的方法.又比如:闭区间上连续函数基本性质(介值性定理、根的存在定理)、微分中值定理(罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理)、积分中值定理、费马定理、隐函数存在唯一性定理等几何意义,不论对定理的深入理解,还是对启发证明定理结论方面有很大帮助.

例5 下面仅谈谈几何图形对拉格朗日定理的内容的理解及证明所起的作用.

为了叙述的方便,首先将拉格朗日定理陈述如下:若函数满足如下:在闭区间上连续;在开区间内可导,则在内至少存在一点,使得.

它的几何意义是若一条曲线在上连续,曲线上每一点都存在切线,则曲线上至少存在一点,过点的切线平行于割线图1.此定理的证明关键在于运用其几何意义 ,考虑到这个定理比罗尔定理少了一个条件,构造辅助函数使其满足罗尔定理的要求,即满足函数在端点的取值相同,最后用罗尔定理得出最后的结论.因此,想办法构造一个辅助函数,使得在上连续,在内可导并且.观察图1可知,割线与曲线有两个交点与,要使 ,只需使的图像经过两点,可取为曲线纵坐标与割线纵坐标之差.其中,曲线的方程为,割线的方程为,可见,几何图形在此定理的证明起到关键的作用.

图(1)

五、化归思想

在研究数学问题时,将所面临的未解决或待解决的原问题,通过某种转化过程,归结到一类已经解决的新问题中去,最终原问题得到解答的一种思维方法称为化归思想,基本思维过程如图:

化归的思想在数学分析中应用十分广泛,挖掘出隐藏于数学知识背后的化归的数学思想,可深化理解数学分析中知识体系间的关系以及处理一些问题的方法,提高数学综合能力.如:海涅定理揭示了函数极限与数列极限的关系,一方面可利用海涅定理和数列极限的有关性质得出并证明函数极限的所有性质,另一方面将数列极限问题转化为函数极限问题来处理,把某些数列不等式极限转化为函数不等式极限,进而用洛比达法则或两个重要极限,求出其极限.微分中值定理揭示函数与其导数关系,将函数问题转化为导数问题,进而以导数为工具学习函数的单调性、凹凸性、极值、最值,解决有关最值与极值的实际问题.微积分基本定理实现了微分与积分的转化.重积分、曲线积分、曲面积分、广义积分的计算问题都转化为定积分的计算问题,另外求定积分及不定积分的两种基本方法——换元法和分步积分法都体现了化归的思想.极限与级数之间的转化,如:数列的极限问题可转化为级数收敛的必要条件、级数收敛的定义转化为极限的方式来定义.数项级数问题转化为函数项级数问题,进而运用逐项求导、逐项求积等性质计算.格林公式揭示出平面区域上的二重积分与沿着该区域的闭曲线的第二型曲线积分可以相互转化等.化归思想的关键在于选择“转化的方向”,下面举例说明化归思想的应用.

例6 求 数列极限.

分析 这是一个数列极限问题,利用数列极限的理论方向来解决这个问题有一定难度.由海涅定理可知将此问题转化为函数极限问题,由洛比达法则可求出结果.

解 .

    例7 求数项级数.

 分析 利用数项级数与函数项级数之间的关系,将无法直接求和的数项级数问题转化为求幂级数和函数的问题,进而用熟悉的逐项求导、求积分方法加以解决.

 解 设,

,,

又在内一致收敛,

  ,,

==1.

    参考文献 :

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