最新人教版七年级数学下册辅导

第12讲  与相交有关概念及平行线的判定

考点·方法·破译

1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.

2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.

3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.

经典·考题·赏析

【例1】如图，三条直线AB、CD、EF相交于点O，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？

【解法指导】

⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.

⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.

⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.

有6对对顶角. 12对邻补角.

【变式题组】

01．如右图所示，直线AB、CD、EF相交于P、Q、R，则：

⑴∠ARC的对顶角是            .     邻补角是            .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？

02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；

当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；

当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.

问：当有100条直线相交于一点时共有           对顶角.

【例２】如图所示，点O是直线AB上一点，OE、OF分别平分∠BOC、

∠AOC．

 ⑴求∠EOF的度数；

 ⑵写出∠BOE的余角及补角.

【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；

【解】⑴∵OE、OF平分∠BOC、∠AOC  ∴∠EOC＝∠BOC，∠FOC＝∠AOC  ∴∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝∠BOC＋∠AOC＝  又∵∠BOC＋∠AOC＝180° ∴∠EOF＝×180°＝90° ⑵∠BOE的余角是：∠COF、∠AOF；∠BOE的补角是：∠AOE.

【变式题组】

01．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC＝100°，则∠BOD的度数是（      ）

A．20°     B．    40°        C．50°              D．80°

02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝           .

【例３】如图，直线l1、l2相交于点O，A、B分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成下列作图：

⑴经过点A画直线l2的垂线.

⑵画出表示点B到直线l1的垂线段.

【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段.

【变式题组】

01．P为直线l外一点，A、B、C是直线l上三点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离为（      ）

A．4cm  B．    5cm        C．不大于4cm     D．不小于6cm

02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N为位于公路两侧的村庄；

  ⑴设汽车行驶到路AB上点P的位置时距离村庄M最近.行驶到AB上点Q的位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路上分别画出点P、Q的位置.

  ⑵当汽车从A出发向B行驶的过程中，在          的路上距离M村越来越近..在

              的路上距离村庄N越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远.

【例４】如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°，求∠BOE和∠AOC的度数.

【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF＝90°，OF⊥AB．

【变式题组】

01．如图，若EO⊥AB于O，直线CD过点O，∠EOD︰∠EOB＝1︰3，求∠AOC、∠AOE的度数.

02．如图，O为直线AB上一点，∠BOC＝3∠AOC，OC平分∠AOD．

⑴求∠AOC的度数；

⑵试说明OD与AB的位置关系.

03．如图，已知AB⊥BC于B，DB⊥EB于B，并且∠CBE︰∠ABD＝1︰2，请作出∠CBE的对顶角，并求其度数.

【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称：

∠1和∠2：

∠1和∠3：

∠1和∠6：

∠2和∠6：

∠2和∠4：

∠3和∠5：

∠3和∠4：

【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.

【变式题组】

01．如图，平行直线AB、CD与相交直线EF，GH相交，图中的同旁内角共有（      ）

A．4对     B．    8对        C．12对       D．16对

02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.

03．如图，按各组角的位置判断错误的是（      ）

A．∠1和∠2是同旁内角      

B．∠3和∠4是内错角

C．∠5和∠6是同旁内角

D．∠5和∠7是同旁内角

【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由•

⑴∠CBD＝∠ADB；

⑵∠BCD＋∠ADC＝180°

⑶∠ACD＝∠BAC

【解法指导】图中有即即有同旁内

角，有“ ”即有内错角.

【解法指导】⑴由∠CBD＝∠ADB，可推得AD∥BC；根据内错角相等，两直线平行.

⑵由∠BCD＋∠ADC＝180°，可推得AD∥BC；根据同旁内角互补，两直线平行.

⑶由∠ACD＝∠BAC可推得AB∥DC；根据内错角相等，两直线平行.

【变式题组】

01．如图，推理填空.

   ⑴∵∠A＝∠         （已知）

     ∴AC∥ED（          ）

   ⑵∵∠C＝∠         （已知）

     ∴AC∥ED（          ）

C

   ⑶∵∠A＝∠         （已知）

     ∴AB∥DF（          ）

02．如图，AD平分∠BAC，EF平分∠DEC，且∠1＝∠2，试说明DE与AB的位置关系.

   解：∵AD是∠BAC的平分线（已知）

   ∴∠BAC＝2∠1（角平分线定义）

   又∵EF平分∠DEC（已知）

   ∴                 （          ）

   又∵∠1＝∠2（已知）

   ∴                  （          ）

   ∴AB∥DE（                            ）

03．如图，已知AE平分∠CAB，CE平分∠ACD．∠CAE＋∠ACE＝90°，求证：AB∥CD．

04．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠EBF＝∠EFB，求证：CD∥EF.

【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.

【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.

证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°

则12×31°＝372°＞360°

这与一周角等于360°矛盾

所以这12个角中至少有一个角小于31°

【变式题组】

01．平面内有1两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.

02．在同一平面内有2010条直线a1，a2，…，a2010，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5……那么a1与a2010的位置关系是              .

03．已知n（n＞2）个点P1，P2，P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设Sn表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10…则Sn＝           .

演练巩固·反馈提高

01．如图，∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是（      ）

A．α的余角只有∠B      B．α的邻补角是∠DAC        

C．∠ACF是α的余角     D．α与∠ACF互补

02．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角为（      ）

A．∠AMF    B．∠BMF       C．∠ENC              D．∠END

03．下列语句中正确的是（      ）

A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线

B．过直线上一点的直线只有一条

C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条

D．垂线段就是点到直线的距离

04．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数有（      ）

①AB⊥AC ②AD与AC互相垂直 ③点C到AB的垂线段是线段AB ④线段AB的长度是点B到AC的距离 ⑤垂线段BA是点B到AC的距离 ⑥AD＞BD

A．0     B．    2   C．4      D．6

05．点A、B、C是直线l上的三点，点P是直线l外一点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离是（      ）

A．4cm     B．5cm        C．小于4cm               D．不大于4cm

06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB＋∠DOC＝       .

07．如图，矩形ABCD沿EF对折，且∠DEF＝72°，则∠AEG＝          .

08．在同一平面内，若直线a1∥a2，a2⊥a3，a3∥a4，…则a1         a10.（a1与a10不重合）

09．如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a∥b的条件的序号是          .

10．在同一平面内两条直线的位置关系有                 .

11．如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠E＝∠ABE＋∠EDC．试说明AB∥CD？

12．如图，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1＝∠2，那么直线AB与CD的位置关系如何？

13．如图，推理填空：

 ⑴∵∠A＝               （已知）

∴AC∥ED（                 ）

⑵∵∠2＝                （已知）

∴AC∥ED（                  ）

⑶∵∠A＋            ＝180°（已知）

∴AB∥FD．

14．如图，请你填上一个适当的条件           使AD∥BC．

培优升级·奥赛检测

01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（      ）

A．1，3     B．0，1，3        C．0，2，3       D．0，1，2，3

02．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成（      ）部分.

A．60     B．    55        C．50              D．45

03．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（      ）个交点.

A．35     B．    40       C．45               D．55

04．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有            __________________交点.

05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a、b是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性.

06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（      ）

A．3    B．1或3        C．1或2或3              D．不一定是1，2，3

07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？ 

08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？

09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB、AC，那么两条对角线的夹角等于（      ）

A．60°     B．    75°    C．90°       D．135°

10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？

   ⑴任意两条直线都有交点；

   ⑵总共有29个交点.

第13讲  平行线的性质及其应用

考点·方法·破译

1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系；

2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；

3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.

经典·考题·赏析

【例１】如图，四边形ABCD中，AB∥CD， BC∥AD，∠A＝38°，求∠C的度数. 

【解法指导】

两条直线平行，同位角相等；

两条直线平行，内错角相等；

两条直线平行，同旁内角互补.

平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.

【解】：∵AB∥CD   BC∥AD

∴∠A＋∠B＝180°    ∠B＋∠C＝180°(两条直线平行，同旁内角互补)

∴∠A＝∠C     ∵∠A＝38°    ∴∠C＝38°

【变式题组】

01．如图，已知AD∥BC，点E在BD的延长线上，若∠ADE＝155°，则∠DBC的度数为（      ）

A．155°        B．50°        C．45°        D．25°

02．（安徽）如图，直线l1 ∥ l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（    ）

A． 50°          B． 55°        C． 60°      D．65°

03．如图，已知FC∥AB∥DE，∠α：∠D：∠B＝2: 3: 4， 试求∠α、∠D、∠B的度数.

【例２】如图，已知AB∥CD∥EF，GC⊥CF，∠B＝60°，∠EFC＝45°，求∠BCG的度数.

【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.

【解】∵AB∥CD∥EF   ∴∠B＝∠BCD   ∠F＝∠FCD(两条直线平行，内错角相等)又∵∠B＝60°  ∠EFC＝45°   ∴∠BCD＝60°   ∠FCD＝45°    又∵GC⊥CF  ∴∠GCF＝90°（垂直定理）  ∴∠GCD＝90°－45°＝45°   ∴∠BCG＝60°－45°＝15°

【变式题组】

01．如图，已知AF∥BC， 且AF平分∠EAB，∠B＝48°，则∠C的的度数＝_______________

02.如图，已知∠ABC＋∠ACB＝120°，BO、CO分别∠ABC、∠ACB，DE过点O与BC平行，则∠BOC＝___________

03．如图，已知AB∥ MP∥CD， MN平分∠AMD，∠A＝40°，∠D＝50°，求∠NMP的度数.

【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D． 求证：∠A＝∠F. 

【解法指导】

因果转化，综合运用.

逆向思维：要证明∠A＝∠F，即要证明DF∥AC． 

要证明DF∥AC， 即要证明∠D＋∠DBC＝180°，

即：∠C＋∠DBC＝180°；要证明∠C＋∠DBC

＝180°即要证明DB∥EC． 要证明DB∥EC即要

证明∠1＝∠3.

证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴DB∥EC（同位角相等•两直线平行）∴∠DBC＋∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C＝∠D   ∴∠DBC＋∠D＝180° ∴DF∥AC（同旁内角，互补两直线平行）∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）

【变式题组】

01．如图，已知AC∥FG，∠1＝∠2，求证：DE∥FG

02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B． 求证：∠AED＝∠ACB

03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO平行

于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B平行

于α，则角θ等于_________.

【例４】如图，已知EG⊥BC，AD⊥BC，∠1＝∠3. 

求证：AD平分∠BAC．

【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析

条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论

的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的：

∠1＝∠3）

证明：∵EG⊥BC，AD⊥BC   ∴∠EGC＝∠ADC＝90°

（垂直定义）∴EG∥AD（同位角相等，两条直线平行） 

∵∠1＝∠3  ∴∠3＝∠BAD（两条直线平行，内错角相等） 

∴AD平分∠BAC（角平分线定义）

【变式题组】

01．如图，若AE⊥BC于E，∠1＝∠2，求证：DC⊥BC．

02．如图，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F， AC∥ED，CE平分∠ACB． 求证：∠EDF＝∠BDF. 

3．已知如图，AB∥CD，∠B＝40°，CN是∠BCE的平分线. CM⊥CN，求：∠BCM的度数.

【例５】已知，如图，AB∥EF，求证：∠ABC＋∠BCF＋∠CFE＝360°

【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比，

联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.

过点C作CD∥AB即把已知条件AB∥EF联系起来，这是关键.

【证明】：过点C作CD∥AB  ∵CD∥AB  ∴∠1＋∠ABC＝180°

(两直线平行，同旁内角互补)  又∵AB∥EF，∴CD∥EF（平行

于同一条直线的两直线平行） ∴∠2＋∠CFE＝180°(两直线平行，

同旁内角互补)  ∴∠ABC＋∠1＋∠2＋∠CFE＝180°＋180°＝360°

   即∠ABC＋∠BCF＋∠CFE＝360°

【变式题组】

01．如图，已知，AB∥CD，分别探究下面四个图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.

结论：⑴____________________________      ⑵____________________________

⑶____________________________      ⑷____________________________

【例６】如图，已知，AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是

∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180°

【解法指导】基本图形

善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路.

【解】过点E作EH∥AB． 过点F作FG∥AB．  ∵AB∥EH  ∴∠α＝∠1（两直线平行，内错角相等）又∵FG∥AB  ∴EH∥FG（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3  又∵AB∥CD  ∴FG∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180°

【变式题组】

01．如图， AB∥EF，∠C＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（    ）

A．    ∠β＝∠α＋∠γ          B．∠β＋∠α＋∠γ＝180°

C．    ∠α＋∠β－∠γ＝90°      D．∠β＋∠γ－∠α＝90°

02．如图，已知，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠E＝140°，求∠BFD的度数.

【例７】如图，平移三角形ABC，设点A移动到点A/，画出平移后的三角形A/B/C/.

【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连.

⑴定：确定平移的方向和距离.

⑵找：找出图形的关键点.

⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点. 

⑷连: 按原图形顺次连接对应点.

【解】①连接AA/  ②过点B作AA/的平行线l  ③在l截取BB/＝AA/，则点B/就是的B对应点，用同样的方法作出点C的对应点C/.连接A/B/，B/C/，C/A/就得到平移后的三角形A/B/C/.

【变式题组】

01．如图，把四边形ABCD按箭头所指的方向平移21cm，作出平移后的图形.

02．如图，已知三角形ABC中，∠C＝90°， BC＝4，AC＝4，现将△ABC沿CB方向平移到△A/B/C/的位置，若平移距离为3， 求△ABC与△A/B/C/的重叠部分的面积. 

03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC方向平移BE的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）

演练巩固  反馈提高

01．如图，由A测B得方向是（     ）

A．南偏东30°        B．南偏东60°        

C．北偏西30°        D．北偏西60°

02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（    ）

A．1个        B．2个        C．3个        D．4个

03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（     ）

A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°    B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°

C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°    D．第一次向左拐60°，第二次向左拐120°

04．下列命题中，正确的是（   ）

A．对顶角相等        B．    同位角相等      C．内错角相等        D．同旁内角互补

05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]

从图中可知，小敏画平行线的依据有（    ）

①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.

A．①②        B．②③        C．③④        D．①④

06．在A、B两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A地测得B地的走向是南偏东52°.现A、B两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B地所修公路的走向应该是（    ）

A．北偏东52°      B．南偏东52°      C．西偏北52°      D．北偏西38°

07．下列几种运动中属于平移的有（    ）

①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.

A．1种        B．2种        C．3种        D．4种

08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）

09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（    ）

10．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥BC，现将△ABE进行平移. 平移方向为射线AD的方向. 平移距离为线段BC的长，则平移得到的三角形是图中（  ）图的阴影部分. 

11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.

⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；

⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.

12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假.

⑴互补的角是邻补角；

⑵两个锐角的和是锐角；

⑶直角都相等.

13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B＝150°，第三个拐弯处∠C，这时道路CE恰好和道路AD平行，问∠C是多少度？并说明理由. 

14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E点时，与两岸码头B、D成°角. 当小船行驶到河中F点时，看B点和D点的视线FB、FD恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F与码头B、D所形成的角∠BFD的度数吗？

15．如图，AB∥CD，∠1＝∠2，试说明∠E和∠F的关系.

培优升级·奥赛检测

01．如图，等边△ABC各边都被分成五等分，这样在△ABC内能与△DEF完成重合的小三角形共有25个，那么在△ABC内由△DEF平移得到的三角形共有（   ）个

02．如图，一足球运动员在球场上点A处看到足球从B点沿着BO方向匀速滚来，运动员立即从A处以匀速直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与该运动员奔跑的速度相同，请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位置.（运动员奔跑于足球滚动视为点的平移）