数值分析复习题

1、已知

(1)用拉格朗日插法求的三次插值多项式；

(2)求，使。

2、试求,使求积公式的代数精度尽量高，并求其代数精度。

3、用牛顿法求的近似值。取,计算三次，保留五位小数。

4、已知一元方程。

1）求方程的一个含正根的区间；

2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性)；

3）给出在有根区间的Newton迭代法公式。

5、确定求积公式的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.

6、已知数据如下：

求形如拟合函数。

7、7、用二次拉格朗日插值多项式计算。插值节点和相应的函数值如下表。

8、8、已知

(1)推导以这三点为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；

(2)指明求积公式所具有的代数精度；(3)用所求公式计算。

9、讨论用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组Ax=b的收敛性，如果收敛，比较哪种方法收敛快。其中：

10、写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分.

11、已知函数的一组数据：

求分段线性插值函数，并计算的近似值.

12、对方程组 

试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由

13、用高斯-塞德尔方法解方程组，取，迭代三次(要求按五位有效数字计算)。

14、利用矩阵的LU分解法解方程组

15、设 

（1）试求 在上的三次Hermite插值多项式使满足：

以升幂形式给出。

（2）写出余项 的表达式

16、用列主元消去法解线性方程组

17、用二分法求方程在区间[1,1.5]内的根时，若要求精确到小数点后二位，(1) 需要二分几次；(2)给出满足要求的近似根。

18、已知一组试验数据如下 ：

求它的拟合曲线（直线）。

19、已知函数的相关数据

由牛顿插值公式求三次插值多项式，并计算的近似值。

20、建立[0,2]上节点为，，的数值积分公式。

21、已知函数的函数表如下：

22、方程在区间（1,2）中有一个单根p，取初始值，应用Newton法迭代求p（要求）。

23、已知，，，试分别用线性插值和抛物线插值公式求的近似值。

24、设线性代数方程组的系数矩阵为：

分析Jacobi和G-S迭代法的收敛情况。

25、用多利特尔分解法求解方程组。

26、用三点高斯-勒让德求积公式计算下式的近似值。 

27、求下列方程的解。

28、为求方程在x0=1.5附近的一个根，试将方程改写为三种等价形式，建立相应的迭代公式，并分析公式的收敛性。

29、用二分法求方程在区间[1,2]内根的近似值时，为使误差不超过不超过10-2,需要得分多少次？

30、导出的迭代公式，并讨论其收敛性。

31、用二次多项式函数拟合如下数据: 

33、对下列矩阵进行LU和LDU0分解。（L（U0）分别为单位下（上）三角形矩阵，D为对角阵）。

34、用多利特尔分解：

35、试构造迭代收敛的公式求解下列方程：

（1）;     (2)。

36、用牛顿法求方程在[3,4]中的根的近似值（精确到小数点后两位）。

37、应用牛顿法于方程, 导出求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性。

38、设有方程组

(1)考察用Jacobi法，Gauss-Seidal法解此方程组的收敛性；

(2)用Jacobi法及Gauss-Seidal法解方程组，要求当时迭代终止。

39、用SOR方法解下列方程组（取松驰因子）,要求.

.

40、用选列主元高斯消去法求解方程组

41、用三角分解法求解方程组

42、给出概率积分

的数据表：试用二次插值计算.

44、构造适合下列数据表的三次样条插值函数S(x) 

使其具三次代数精度。

47、在区间上导出含五个节点的Newton-Cotes公式，并指出其余项及代数精度。

48、分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算

, (取步长h=1/6)。

49、试构造两点Gauss公式

,

并由此计算积分(精确到)

。

50、利用下面数据表， 

   1. 用复化梯形公式计算积分的近似值；

2. 用复化Simpson公式计算积分的近似值。

(要求计算结果保留到小数点后六位).                  

51、已知矩阵，求矩阵A的Doolittle分解。  

52、用Newton迭代法求解方程在2.0附近的实根（计算结果保留到小数点后第四位）。   

53、对下面线性方程组                                     

   1.判别用雅可比迭代法是否收敛，若收敛则写出其迭代格式；

2.判别用高斯-塞德尔迭代法是否收敛，若收敛则写出其迭代格式。

54、已知初值问题：，取步长h =0.1，

1. 用（显式的）Euler方法求解上述初值问题的数值解；

2. 用改进的Euler方法求上述初值问题的数值解。         

55、用高斯-塞德尔方法解方程组 ，取，迭代四次(要求按五位有效数字计算)。

56、求A、B使求积公式的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求(保留四位小数)。

57、已知

58、已知

59、取节点,求函数在区间[0,1]上的二次插值多项式,并估计误差。

60、构造求解方程的根的迭代格式，讨论其收敛性，并将根求出来，。