二次函数填空压轴题精选
一．填空题（共20小题）
1．（2013•绵阳）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：
①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜﹣；④3|a|+|c|＜2|b|．
其中正确的结论是 _________ （写出你认为正确的所有结论序号）．
2．（2013•锦州）二次函数y=的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3…Cn在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3…四边形An﹣1BnAnCn都是菱形，∠A0B1A1=∠A1B2A2=∠A2B3A3…=∠An﹣1BnAn=60°，菱形An﹣1BnAnCn的周长为 _________ ．
3．（2013•大连）如图，抛物线y=x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为 _________ ．
4．（2012•贵港）若直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是 _________ ．
5．（2011•扬州）如图，已知函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P．点P的纵坐标为1．则关于x的方程ax2+bx+=0的解为 _________ ．
6．（2010•长春）如图，抛物线y=ax2+c（a＜0）交x轴于点G，F，交y轴于点D，在x轴上方的抛物线上有两点B，E，它们关于y轴对称，点G，B在y轴左侧，BA⊥OG于点A，BC⊥OD于点C，四边形OABC与四边形ODEF的面积分别为6和10，则△ABG与△BCD的面积之和为 _________ ．
7．（2007•宜宾）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：①2a+b=0；②a+b+c＞0；③4a+b+c＞0；④只有当a=时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有三个．那么，其中正确的结论是 _________ ．
8．（2013•孝感模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），下列说法：
①若b2﹣4ac=0，则抛物线的顶点一定在x轴上；
②若b=a+c，则抛物线必经过点（﹣1，0）；
③若a＜0，且一元二次方程ax2+bx+c=0有两根x1，x2（x1＜x2），则ax2+bx+c＜0的解集为x1＜x＜x2；
④若，则方程ax2+bx+c=0有一根为﹣3．
其中正确的是 _________ （把正确说法的序号都填上）．
9．（2013•吴江市模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点B（﹣3，0），C（1，0），与y轴相交于点4（0，﹣3），O为坐标原点．点M为y轴上的动点，当点M运动到使∠OMC+∠OAC=∠ABC时，AM的长度为 _________ ．
10．（2013•苏州一模）如图，正方形ABCD边AB在x轴上，且坐标分别为A（1，0），B（﹣1，0），若抛物线经过A，B两点，将正方形绕A点顺时针旋转30°后D点转到D′位置，且D′在抛物线上，则抛物线的解析式为 _________ ．
11．（2013•如东县模拟）如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y2=（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则= _________ ．
12．（2013•金华模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，与x轴交于O，B两点，点P（m，0）是线段OB上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线y=于点E，交抛物线于点F，以EF为一边，在EF的左侧作矩形EFGH．若FG=，则当矩形EFGH与△OAB重叠部分为轴对称图形时，m的取值范围为 _________ ．
13．（2013•黄陂区模拟）抛物线y=ax2+bx+c和双曲线交于A（6，﹣4），B（m，﹣12），C（n，6），则方程组的解是 _________ ．
14．（2012•历下区一模）如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于C（0，3），M是抛物线对称轴上的任意一点，则△AMC的周长最小值是 _________ ．
15．（2012•黄冈模拟）如图，已知点F的坐标为（3，0），点A，B分别是以y轴为对称轴的某二次函数部分图象与x轴、y轴的交点，点P是此图象上的一动点．设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：d=5﹣（0≤x≤5），则此二次函数的解析式为 _________ ．
16．（2012•鼓楼区二模）如图，将2个正方形并排组成矩形OABC，OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上．正方形EFMN的边EF落在线段CB上，过点M、N的二次函数的图象也过矩形的顶点B、C，若三个正方形边长均为1，则此二次函数的关系式为 _________ ．
17．（2012•安福县模拟）小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代数式x2﹣4x+5的值的情况．他们分工完成后，各自通报探究的结论：①小明认为只有当x=2时，x2﹣4x+5的值为1；②小亮认为找不到实数x，使x2﹣4x+5的值为O；③小梅发现x2﹣4x+5的值随x的变化而变化，因此认为没有最小值；④小花发现当x取大于2的实数时，x2﹣4x+5的值随x的增大而增大，因此认为没有最大值．则其中正确结论的序号是 _________ ．
18．（2011•化州市二模）如图，直线l：经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3）…Bn（n，yn）（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0）…，An+1（xn+1，0）（n为正整数），设x1=d（0＜d＜1）若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．则当d（0＜d＜1）的大小变化时美丽抛物线相应的d的值是 _________ ．
19．如图，抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，则图中阴影部分的面积S= _________ ．
20．如图，⊙O的半径为2，C1是函数的的图象，C2是函数的的图象，C3是函数的y=x的图象，则阴影部分的面积是 _________ ．
2014年1月发哥的初中数学组卷
参与试题解析
一．填空题（共20小题）
1．（2013•绵阳）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：
①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜﹣；④3|a|+|c|＜2|b|．
其中正确的结论是 ①③④ （写出你认为正确的所有结论序号）．
| 考点： | 二次函数图象与系数的关系．1904127 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | 分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与y轴交点得出a，b，c的符号，再利用特殊值法分析得出各选项． |
| 解答： | 解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴2a＜0， 对称轴x=﹣＞1，﹣b＜2a，∴2a+b＞0，故选项①正确； ∵﹣b＜2a，∴b＞﹣2a＞0＞a， 令抛物线解析式为y=﹣x2+bx﹣， 此时a=c，欲使抛物线与x轴交点的横坐标分别为和2， 则=﹣， 解得：b=， ∴抛物线y=﹣x2+x﹣，符合“开口向下，与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间， 对称轴在直线x=1右侧”的特点，而此时a=c，（其实a＞c，a＜c，a=c都有可能）， 故②选项错误； ∵﹣1＜m＜n＜1，﹣2＜m+n＜2， ∴抛物线对称轴为：x=﹣＞1，＞2，m+n，故选项③正确； 当x=1时，a+b+c＞0，2a+b＞0，3a+2b+c＞0， ∴3a+c＞﹣2b，∴﹣3a﹣c＜2b， ∵a＜0，b＞0，c＜0， ∴3|a|+|c|=﹣3a﹣c＜2b=2|b|，故④选项正确． 故答案为：①③④． |
| 点评： | 此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，利用特殊值法求出m+n的取值范围是解题关键． |
2．（2013•锦州）二次函数y=的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3…Cn在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3…四边形An﹣1BnAnCn都是菱形，∠A0B1A1=∠A1B2A2=∠A2B3A3…=∠An﹣1BnAn=60°，菱形An﹣1BnAnCn的周长为 4n ．
| 考点： | 二次函数综合题．1904127 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | 由于△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，都是等边三角形，因此∠B1A0x=30°，可先设出△A0B1A1的边长，然后表示出B1的坐标，代入抛物线的解析式中即可求得△A0B1A1的边长，用同样的方法可求得△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…的边长，然后根据各边长的特点总结出此题的一般化规律，根据菱形的性质易求菱形An﹣1BnAnCn的周长． |
| 解答： | 解：∵四边形A0B1A1C1是菱形，∠A0B1A1=60°， ∴△A0B1A1是等边三角形． 设△A0B1A1的边长为m1，则B1（，）； 代入抛物线的解析式中得：（）2=， 解得m1=0（舍去），m1=1； 故△A0B1A1的边长为1， 同理可求得△A1B2A2的边长为2， … 依此类推，等边△An﹣1BnAn的边长为n， 故菱形An﹣1BnAnCn的周长为4n． 故答案是：4n． |
| 点评： | 本题考查了二次函数综合题．解题时，利用了二次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点．解答此题的难点是推知等边△An﹣1BnAn的边长为n． |
3．（2013•大连）如图，抛物线y=x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为 y=x2﹣x+ ．
| 考点： | 二次函数图象与几何变换．1904127 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | 先求出点A的坐标，再根据抛物线的对称性可得顶点C的纵坐标，然后利用顶点坐标公式列式求出b的值，再求出点D的坐标，根据平移的性质设平移后的抛物线的解析式为y=x2+mx+n，把点A、D的坐标代入进行计算即可得解． |
| 解答： | 解：∵令x=0，则y=， ∴点A（0，）， 根据题意，点A、B关于对称轴对称， ∴顶点C的纵坐标为×=， 即=， 解得b1=3，b2=﹣3， 由图可知，﹣＞0， ∴b＜0， ∴b=﹣3， ∴对称轴为直线x=﹣=， ∴点D的坐标为（，0）， 设平移后的抛物线的解析式为y=x2+mx+n， 则， 解得， 所以，y=x2﹣x+． 故答案为：y=x2﹣x+． |
| 点评： | 本题考查了二次函数图象与几何变换，根据二次函数图象的对称性确定出顶点C的纵坐标是解题的关键，根据平移变换不改变图形的形状与大小确定二次项系数不变也很重要． |
4．（2012•贵港）若直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是 0＜m＜2 ．
| 考点： | 二次函数的图象；反比例函数的图象．1904127 |
| 专题： | 压轴题；图表型． |
| 分析： | 首先作出分段函数y=的图象，根据函数的图象即可确定m的取值范围． |
| 解答： | 解：分段函数y=的图象如图： 故要使直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，常数m的取值范围为0＜m＜2， 故答案为：0＜m＜2． |
| 点评： | 本题考查了二次函数的图象及反比例函数的图象，首先作出分段函数的图象是解决本题的关键，采用数形结合的方法确定答案是数学上常用的方法之一． |
5．（2011•扬州）如图，已知函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P．点P的纵坐标为1．则关于x的方程ax2+bx+=0的解为 x=﹣3 ．
| 考点： | 二次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征．1904127 |
| 专题： | 压轴题；探究型． |
| 分析： | 先根据点P的纵坐标为1求出x的值，再把于x的方程ax2+bx+=0化为于x的方程ax2+bx=﹣的形式，此方程就化为求 函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交点的横坐标，由求出的P点坐标即可得出结论． |
| 解答： | 解：∵P的纵坐标为1， ∴1=﹣， ∴x=﹣3， ∵ax2+bx+=0化为于x的方程ax2+bx=﹣的形式， ∴此方程的解即为两函数图象交点的横坐标的值， ∴x=﹣3． 故答案为：x=﹣3． |
| 点评： | 本题考查的是二次函数的图象与反比例函数图象的交点问题，能把方程的解化为两函数图象的交点问题是解答此题的关键． |
6．（2010•长春）如图，抛物线y=ax2+c（a＜0）交x轴于点G，F，交y轴于点D，在x轴上方的抛物线上有两点B，E，它们关于y轴对称，点G，B在y轴左侧，BA⊥OG于点A，BC⊥OD于点C，四边形OABC与四边形ODEF的面积分别为6和10，则△ABG与△BCD的面积之和为 4 ．
| 考点： | 二次函数综合题．1904127 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | 根据抛物线的对称性知：四边形ODBG的面积应该等于四边形ODEF的面积；由图知△ABG和△BCD的面积和是四边形ODBG与矩形OCBA的面积差，由此得解． |
| 解答： | 解：由于抛物线的对称轴是y轴，根据抛物线的对称性知： S四边形ODEF=S四边形ODBG=10； ∴S△ABG+S△BCD=S四边形ODBG﹣S四边形OABC=10﹣6=4． |
| 点评： | 此题主要考查的是抛物线的对称性，能够根据抛物线的对称性判断出四边形ODEF、四边形ODBG的面积关系是解答此题的关键． |
7．（2007•宜宾）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：①2a+b=0；②a+b+c＞0；③4a+b+c＞0；④只有当a=时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有三个．那么，其中正确的结论是 ①④ ．
| 考点： | 二次函数图象与系数的关系．1904127 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | 先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3确定出AB的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． |
| 解答： | 解：①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3， ∴AB=4， ∴对称轴x==1， 即2a+b=0； ②由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，而＞0 ∴b＜0， ∵对称轴x=1， ∴当x=1时，y＜0， ∴a+b+c＜0； ③∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3， ∴当x=2时y＜0， ∴4a+2b+c＜0， 又∵b＜0， ∴4a+b+c＜0； ④要使△ABD为等腰直角三角形，必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半； D到x轴的距离就是当x=1时y的值的绝对值． 当x=1时，y=a+b+c， 即|a+b+c|=2， ∵当x=1时y＜0， ∴a+b+c=﹣2 又∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3， ∴当x=﹣1时y=0即a﹣b+c=0； x=3时y=0． ∴9a+3b+c=0， 解这三个方程可得：b=﹣1，a=，c=﹣； ⑤要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC， 当AB=BC=4时， ∵AO=1，△BOC为直角三角形， 又∵OC的长即为|c|， ∴c2=16﹣9=7， ∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上， ∴c=﹣， 与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a=； 同理当AB=AC=4时 ∵AO=1，△AOC为直角三角形， 又∵OC的长即为|c|， ∴c2=16﹣1=15， ∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上， ∴c=﹣ 与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a=； 同理当AC=BC时 在△AOC中，AC2=1+c2， 在△BOC中BC2=c2+9， ∵AC=BC， ∴1+c2=c2+9，此方程无解． 经解方程组可知只有两个a值满足条件． 故正确的有①④． |
| 点评： | 二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定： （1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0； （2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号； （3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0； （4）b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定： ①2个交点，b2﹣4ac＞0； ②1个交点，b2﹣4ac=0； ③没有交点，b2﹣4ac＜0． |
8．（2013•孝感模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），下列说法：
①若b2﹣4ac=0，则抛物线的顶点一定在x轴上；
②若b=a+c，则抛物线必经过点（﹣1，0）；
③若a＜0，且一元二次方程ax2+bx+c=0有两根x1，x2（x1＜x2），则ax2+bx+c＜0的解集为x1＜x＜x2；
④若，则方程ax2+bx+c=0有一根为﹣3．
其中正确的是 ①②④ （把正确说法的序号都填上）．
| 考点： | 二次函数的性质．1904127 |
| 专题： | 代数综合题． |
| 分析： | 令y=0，利用根的判别式判定顶点在x轴上，令x=﹣1求出a、b、c的关系式，判断②正确；a＜0时，抛物线开口向下，根据二次函数的增减性写出不等式的解集，判断③错误；把已知等式整理得到a、b、c的关系式，然后判断出x=﹣3，从而得到④正确． |
| 解答： | 解：令y=0，则ax2+bx+c=0， ∵b2﹣4ac=0， ∴抛物线与x轴只有一个交点，即顶点一定在x轴上，故①正确； x=﹣1时，a﹣b+c=0， ∴b=a+c， ∴b=a+c，则抛物线必经过点（﹣1，0）正确，故②正确； a＜0时，二次函数y=ax2+bx+c图象开口向下， ax2+bx+c＜0的解集为x＜x1或x＞x2，故③错误； ∵b=3a+， ∴9a﹣3b+c=0， ∴a（﹣3）2+b（﹣3）+c=0， ∴方程ax2+bx+c=0有一根为﹣3，故④正确． 综上所述，正确的是①②④． 故答案为：①②④． |
| 点评： | 本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数与x轴的交点问题，利用二次函数图象求解一元二次不等式，利用特殊值法确定函数值，综合题，但难度不大． |
9．（2013•吴江市模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点B（﹣3，0），C（1，0），与y轴相交于点4（0，﹣3），O为坐标原点．点M为y轴上的动点，当点M运动到使∠OMC+∠OAC=∠ABC时，AM的长度为 1或5 ．
| 考点： | 二次函数综合题．1904127 |
| 专题： | 综合题． |
| 分析： | 在OA上截取ON=OC=1，分类讨论，①M在y轴上半轴上，②M在y轴下半轴上，利用外角的知识及∠OMC+∠OAC=∠ABC，证明△CAN∽△M1AC，△CNA∽△M2AC，继而可分别求出AM的长度． |
| 解答： | 解： 连接AB，AC， ∵OB=OA=3， ∴∠ABO=∠BAO=45°， 在OA上截取ON=OC=1，则∠ONC=∠OCN=45°， 在Rt△OAC中，AC==，在Rt△ONC中，NC==， ①当M在y轴上半轴上时，∠ONC=∠OAC+∠NAC=45°， ∵∠ABC=∠OMC+∠OAC=45°， ∴∠OMC=∠NAC， 又∵∠CAN=∠M1AC（同一个角）， ∴△CAN∽△M1AC， ∴=，即=， 解得：AM1=5． ②当M在y轴下半轴上时，∠ONC=∠OM2C+∠NCM2=45°， ∵∠ABC=∠OM2C+∠OAC=45°， ∴∠OAC=∠NCM2， 又∵∠CNA=∠M2NC（同一个角）， ∴△CNA∽△M2AC， ∴=，即=， 解得：NM2=1， 故AM2=OA﹣ON﹣NM2=1． 综上可得AM的长度为1或5． 故答案为：1或5． |
| 点评： | 本题考查了二次函数的综合，解答本题的关键是分类讨论点M的位置，利用相似三角形的性质：对应边成比例求出有关线段的长度，有一定难度． |
10．（2013•苏州一模）如图，正方形ABCD边AB在x轴上，且坐标分别为A（1，0），B（﹣1，0），若抛物线经过A，B两点，将正方形绕A点顺时针旋转30°后D点转到D′位置，且D′在抛物线上，则抛物线的解析式为 y=（x+1）（x﹣1）（或y=x2﹣） ．
| 考点： | 二次函数综合题．1904127 |
| 分析： | 如图，过点D′作D′E⊥x轴于点E．根据旋转的性质推知直角△AED′中的AD′=2，∠D′AE=60°，通过解该直角三角形即可求得AE、D′E的长度，从而求得点D′的坐标，然后将其代入二次函数解析式y=a（x+1）（x﹣1）（a≠0），从而求得a的值． |
| 解答： | 解：根据题意，可设该二次函数解析式为y=a（x+1）（x﹣1）（a≠0）， 如图，过点D′作D′E⊥x轴于点E． ∵A（1，0），B（﹣1，0）， ∴AB=2． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=2，∠DAB=90°． 又∵由旋转的性质知，∠DAD′=30°，AD=AD′=2， ∴在直角△AED′中，AE=AD′cos60°=2×=1，D′E=AD′sin60°=2×=， ∴D′（2，）． ∵点D′在抛物线上， ∴=a（2+1）（2﹣1）， 解得，a=， ∴该二次函数解析式是：y=（x+1）（x﹣1）（或y=x2﹣）． 故答案是：y=（x+1）（x﹣1）（或y=x2﹣）． |
| 点评： | 本题综合考查了旋转的性质，点的坐标与图形的性质，解直角三角形以及待定系数法求二次函数解析式．在求点D′的坐标时，也可以在直角△AED′中利用“勾股定理、30°角所对的直角边是所对的斜边的一半”进行解答． |
11．（2013•如东县模拟）如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y2=（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则= 3﹣ ．
| 考点： | 二次函数综合题．1904127 |
| 专题： | 代数几何综合题；压轴题． |
| 分析： | 设A点坐标为（0，a），利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出AB的长度，再根据CD∥y轴，利用y1的解析式求出D点的坐标，然后利用y2求出点E的坐标，从而得到DE的长度，然后求出比值即可得解． |
| 解答： | 解：设设A点坐标为（0，a），（a＞0）， 则x2=a，解得x=， ∴点B（，a）， =a， 则x=， ∴点C（，a）， ∵CD∥y轴， ∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为， ∴y1=2=3a， ∴点D的坐标为（，3a）， ∵DE∥AC， ∴点E的纵坐标为3a， ∴=3a， ∴x=3， ∴点E的坐标为（3，）， ∴DE=3﹣， ==3﹣． 故答案为：3﹣． |
| 点评： | 本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行与x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键． |
12．（2013•金华模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，与x轴交于O，B两点，点P（m，0）是线段OB上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线y=于点E，交抛物线于点F，以EF为一边，在EF的左侧作矩形EFGH．若FG=，则当矩形EFGH与△OAB重叠部分为轴对称图形时，m的取值范围为 m=﹣1或﹣6或﹣或﹣＜m≤﹣ ．
| 考点： | 二次函数综合题．1904127 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | 把抛物线整理成顶点式形式并求出顶点A的坐标，令y=0，解方程求出点B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式，然后判断出△AOB是等腰直角三角形，再分①矩形EFGH为正方形时，根据抛物线和直线解析式表示出EF，再根据EF=FG列出方程求解即可；②矩形EFGH关于抛物线对称轴对称时，根据轴对称的性质，对称轴向有FG即为点P的横坐标；③点H在AB上时，设直线y=﹣x与直线AB相交于点C，联立两直线解析式求出点C的坐标，然后求出点H在直线AB上时，求出△CHE和△CBO相似，利用相似三角形对应边成比例求出，然后求出，过点C作CD⊥x轴于D，求出△OEP和△OCD相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出PE，从而得到点E的纵坐标，再代入直线解析式求出点E的横坐标，即为点P的横坐标，从此位置到点E与点C重合，重叠部分为等腰直角三角形，是轴对称图形． |
| 解答： | 解：∵y=﹣x2﹣2x=﹣（x+4）2+4， ∴顶点A的坐标为（﹣4，4）， 令y=0，则﹣x2﹣2x=0， 整理得，x2+8x=0， 解得x1=0，x2=﹣8， ∴点B的坐标为（﹣8，0）， 设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0）， 则， 解得， ∴直线AB的解析式为y=x+8， ∴∠ABO=45°， 由抛物线的对称性得，△AOB是等腰直角三角形， ①矩形EFGH为正方形时，EF=FG， ∴（﹣m2﹣2m）﹣（﹣m）=， 整理得，m2+7m+6=0， 解得m1=﹣1，m2=﹣6； ②矩形EFGH关于抛物线对称轴对称时， 点P的横坐标m=﹣4+FG=﹣4+×=﹣4+=﹣； ③如图，点H在AB上时，设直线y=﹣x与直线AB相交于点C， 联立解得， ∴点C的坐标为（﹣，）， ∵PE∥y轴，四边形EFGH为矩形， ∴EH∥x轴， ∴△CHE∽△CBO， ∴===， ∴=， 过点C作CD⊥x轴于D，则CD∥PE， ∴△OEP∽△OCD， ∴=， 即=， 解得PE=， ∴点E的纵坐标为， 代入y=﹣x得，﹣x=， 解得x=﹣， ∴点P的横坐标m=﹣， ∴从此位置到点E与点C重合，重叠部分为等腰直角三角形， ∴﹣＜m≤﹣； 综上所述，矩形EFGH与△OAB重叠部分为轴对称图形时，m的取值范围是：m=﹣1或﹣6或﹣或﹣＜m≤﹣． 故答案为：m=﹣1或﹣6或﹣或﹣＜m≤﹣． |
| 点评： | 本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，难点在于要根据矩形EFGH的位置分情况讨论． |
13．（2013•黄陂区模拟）抛物线y=ax2+bx+c和双曲线交于A（6，﹣4），B（m，﹣12），C（n，6），则方程组的解是 （1×3） ．
| 考点： | 二次函数的性质；反比例函数的性质．1904127 |
| 分析： | 首先将点A的坐标代入反比例函数的解析式后求得其解析式，然后求得m、n的值，从而确定方程组的解． |
| 解答： | 解：将A（6，﹣4）代入双曲线得： 解得k=﹣24 故解析式为：y=﹣ 把B（m，﹣12），C（n，6）代入y=﹣得：m=2，n=﹣4 则B（2，﹣12），C（﹣4，6）， 故方程组的解是 ， 故答案为：． |
| 点评： | 本题考查了二次函数的性质，解题的关键是知道两函数的交点坐标就是方程组的解． |
14．（2012•历下区一模）如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于C（0，3），M是抛物线对称轴上的任意一点，则△AMC的周长最小值是 +5 ．
| 考点： | 抛物线与x轴的交点；轴对称-最短路线问题．1904127 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 连接BC，与抛物线的对称轴交于M，连接AM，AC，由A与B关于抛物线对称轴对称，利用两点之间线段最短得到此时△AMC的周长最小，其值等于AC+AM+CM，再由线段垂直平分线定理得到MA=MB，等量代换可得出周长最小值为AC+BC，由A、B、C三点的坐标得到OA、OB、OC的长，在直角三角形AOC与直角三角形BOC中，利用勾股定理分别求出AC与BC的长，即可得到三角形AMC周长的最小值． |
| 解答： | 解：连接BC，与抛物线的对称轴交于M，连接AM，AC，此时△AMC的周长最小， ∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）， ∴OA=1，OB=4，OC=3， 在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC==， 在Rt△BOC中，根据勾股定理得：BC==5， ∵A与B关于抛物线对称轴对称， ∴MA=MB， 则△ACM周长最小值为AC+CM+AM=AC+CM+MB=AC+BC=+5． 故答案为：+5 |
| 点评： | 此题考查了抛物线与x轴的交点，以及轴对称﹣最短路线问题，根据题意得出周长最小值为AC+BC是解本题的关键． |
15．（2012•黄冈模拟）如图，已知点F的坐标为（3，0），点A，B分别是以y轴为对称轴的某二次函数部分图象与x轴、y轴的交点，点P是此图象上的一动点．设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：d=5﹣（0≤x≤5），则此二次函数的解析式为 y2=﹣x2+16 ．
| 考点： | 待定系数法求二次函数解析式；勾股定理．1904127 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 过点P作PC⊥x轴于点C，根据勾股定理得PF2=PC2+FC2，建立关于x、y的函数关系式，从而得到关于x的二次函数． |
| 解答： | 解：过点P作PC⊥x轴于点C， 则由勾股定理得： PF2=PC2+FC2， 则d2=（3﹣x）2+y2， ∵d=5﹣x， ∴（5﹣x）2=（3﹣x）2+y2． 整理得，y2=﹣x2+16． 故答案为y2=﹣x2+16． |
| 点评： | 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、勾股定理，巧用P的坐标是解题的关键． |
16．（2012•鼓楼区二模）如图，将2个正方形并排组成矩形OABC，OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上．正方形EFMN的边EF落在线段CB上，过点M、N的二次函数的图象也过矩形的顶点B、C，若三个正方形边长均为1，则此二次函数的关系式为 y=﹣x2+x+1 ．
| 考点： | 二次函数综合题．1904127 |
| 专题： | 代数几何综合题． |
| 分析： | 根据正方形的性质求出点B、C的坐标，再根据二次函数图象的轴对称性确定出点M的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答即可． |
| 解答： | 解：∵正方形的边长为1， ∴OA=1+1=2，OC=1， ∴点B（2，1）、C（0，1）， ∵正方形EFMN的两顶点M、N在抛物线上， ∴根据二次函数图象的轴对称性，点M的横坐标为1﹣×1=1﹣=， 纵坐标为1+1=2， ∴点M（，2）， 设二次函数解析式为y=ax2+bx+c， 则， 解得， 所以，二次函数的关系式为y=﹣x2+x+1． 故答案为：y=﹣x2+x+1． |
| 点评： | 本题是二次函数综合题型，主要涉及正方形的性质，二次函数图象的轴对称性，待定系数法求二次函数解析式，综合题但难度不大，确定出点B、C、M的坐标是解题的关键． |
17．（2012•安福县模拟）小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代数式x2﹣4x+5的值的情况．他们分工完成后，各自通报探究的结论：①小明认为只有当x=2时，x2﹣4x+5的值为1；②小亮认为找不到实数x，使x2﹣4x+5的值为O；③小梅发现x2﹣4x+5的值随x的变化而变化，因此认为没有最小值；④小花发现当x取大于2的实数时，x2﹣4x+5的值随x的增大而增大，因此认为没有最大值．则其中正确结论的序号是 ①②④ ．
| 考点： | 二次函数的最值．1904127 |
| 专题： | 压轴题；探究型． |
| 分析： | 本题考查二次函数最小（大）值的求法．将四个人的结论分别进行分析计算． |
| 解答： | 解：①、x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1，故只有当x=2时，x2﹣4x+5的值为1； ②、当x2﹣4x+5=O时，△=16﹣4×5=﹣4＜0，方程无解，故找不到实数x，使x2﹣4x+5的值为O； ③、函数y=x2﹣4x+5开口向上，有最小值； ④、对称轴为x=2，当x取大于2的实数时，x2﹣4x+5的值随x的增大而增大，无最大值． 故①②④正确． |
| 点评： | 求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=﹣x2﹣2x+5，y=3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单． |
18．（2011•化州市二模）如图，直线l：经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3）…Bn（n，yn）（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0）…，An+1（xn+1，0）（n为正整数），设x1=d（0＜d＜1）若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．则当d（0＜d＜1）的大小变化时美丽抛物线相应的d的值是 或 ．
| 考点： | 二次函数综合题；二次函数图象上点的坐标特征；直角三角形斜边上的中线．1904127 |
| 专题： | 计算题；压轴题． |
| 分析： | 先求出A1、A2、B1、B2…的坐标，若B1为直角顶点，则A1A2的中点（1，0）到B1的距离与到A1和A2的距离相等，求出d的值；同理：若B2为直角顶点，求出d的值；若B3为直角顶点，求出的d值是负数（舍去）；总结上述结果即可得出答案． |
| 解答： | 解：直线l：， 当x=1时，y=， 即：B1（1，）， 当x=2时，y=， 即：B2（2，）， ∵A1（d，0），A2（2﹣d，0）， 若B1为直角顶点，则A1A2的中点（1，0）到B1的距离与到A1和A2的距离相等， 即：1﹣d=， 解得：d=； 同理：若B2为直角顶点，则A2A3的中点（2，0）到B2的距离与到A3和A2的距离相等， 即：2﹣（2﹣d）=， 解得：d=； 若B3为直角顶点，求出的d为负数，并且从B3之后的B点，求出的d都为负数； 所以d的值是或． 故答案为：或． |
| 点评： | 本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，直角三角形斜边上的中线等知识点，解此题的关键是进行分类讨论．此题综合性强，有一定的难度． |
19．如图，抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，则图中阴影部分的面积S= 2 ．
| 考点： | 二次函数图象与几何变换．1904127 |
| 分析： | 如图，由于抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，那么两个顶点的连线平行x轴，由此得到阴影部分和图中红色部分是等底等高的，由此得到图中阴影部分等于红色部分的面积，而红色部分的是一个矩形，长宽已知，由此即可求出图中阴影部分的面积． |
| 解答： | 解：如图，∵抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2， ∴两个顶点的连线平行x轴， ∴图中阴影部分和图中红色部分是等底等高的， ∴图中阴影部分等于红色部分的面积， 而红色部分的是一个矩形，长、宽分别为2，1， ∴图中阴影部分的面积S=2． |
| 点评： | 此题主要利用了平移不改变抛物线的形状，解题关键是把阴影部分的面积整理为规则图形的面积． |
20．如图，⊙O的半径为2，C1是函数的的图象，C2是函数的的图象，C3是函数的y=x的图象，则阴影部分的面积是 ．
| 考点： | 二次函数综合题．1904127 |
| 专题： | 计算题；压轴题． |
| 分析： | 根据抛物线和圆的性质可以知道，图中阴影部分的面积就等于圆心角为120°，半径为2的扇形的面积，然后用扇形面积公式可以求出阴影部分的面积． |
| 解答： | 解：抛物线y=x2与抛物线y=﹣x2的图形关于x轴对称，直线y=x与x轴的正半轴的夹角为45°，根据图形的对称性，把左边阴影部分的面积对折到右边，可以得到阴影部分就是一个扇形，并且扇形的圆心角为135°，半径为2，所以： S阴影==π． 故答案是：π． |
| 点评： | 本题考查的是二次函数的综合题，题目中的两条抛物线关于x轴对称，圆也是一个对称图形，可以得到图中阴影部分的面积等于圆心角为135°，半径为2的扇形的面积，用扇形面积公式计算可以求出阴影部分的面积． |
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