实验六 连续时间系统的复频域分析

一、实验目的：

1、熟悉拉普拉斯变换的物理意义及基本性质。

2、掌握用拉普拉斯变换求解连续时间LTI系统的时域响应的方法。

3、掌握系统函数的概念，掌握系统函数的零、极点分布（零、极点图）与系统的稳定性、时域特性等之间的相互关系。

4、掌握用MATLAB语言对系统进行变换域分析的编程方法。

5、掌握用MATLAB求解拉普拉斯反变换的方法。

二、实验原理：

1、连续时间LTI系统的复频域描述

除了时域描述系统的数学模型微分方程以外，描述系统的另一种数学模型就是建立在拉普拉斯变换基础上的“系统函数（System Function）”——H(s)：

                      5.1

系统函数H(s)的实质就是系统单位冲激响应h(t)的拉普拉斯变换。因此，系统函数也可以定义为：。因此求系统函数的方法，除了按照定义式的方法之外，更常用的是对描述系统的线性常系数微分方程经过拉氏变换之后得到系统函数H(s)。

假设描述一个连续时间LTI系统的线性常系数微分方程为：

                                     5.2

对5.2式两边做拉普拉斯变换，则有

即                                  5.3

5.3式说明，对于一个能够用线性常系数微分方程描述的连续时间LTI系统，它的系统函数是一个关于复变量s的有理多项式的分式，其分子和分母的多项式系数与系统微分方程左右两端的系数是对应的。由此，可以很容易的根据微分方程写出系统函数表达式，或者根据系统函数表达式写出系统的微分方程。

系统函数H(s)大多数情况下是复变函数，因此，H(s)可以有多种表示形式：

（1）直角坐标形式：

（2）零极点形式：

（3）部分分式和形式：（假设N>M，且无重极点） 

根据所要分析的问题的不同，可以采用不同形式的系统函数H(s)表达式。在MATLAB中，是用系统函数的分子、分母多项式的系数向量来表示H(s)。由于系统函数的分母、分子的多项式系数与系统微分方程左右两端的系数是对应的，因此，此实验中各函数用到的向量a、b和前面实验中微分方程左右两端的系数向量是相同的。

2、应用拉普拉斯变换分析系统的主要内容

（1）求系统的频率响应；

（2）求系统的单位冲激响应；

（3）绘制系统函数的零极点图，判断系统的稳定性

MATLAB中相应的复频域分析函数如下：

H = freqs(b,a,w)：计算由系数向量b,a描述的系统的频率响应特性。返回值H为频率向量w规定的范围内的频率响应向量值。如果不带返回值H，则执行此函数后，将直接绘制出系统的对数频率响应曲线（包括幅频特性曲线和相频特性曲线）。

H = impulse(b,a)：求系统的单位冲激响应，若不带返回值，则直接绘制响应曲线，带返回值则将冲激响应数值存于向量H中。注意：MATLAB总是把由分子和分母多项式表示的任何系统都当作是因果系统。所以，利用impulse ()函数求得的单位冲激响应总是因果信号。

[z,p,k] = tf2zp(b,a)：求系统函数的零极点，返回值z为零点行向量，p为极点行向量，k为系统传递函数的零极点形式的增益。b为系统函数分子多项式的系数向量，a为系统函数分母多项式系数向量。

[x,y] = meshgrid(x1,y1)：在由x1，y1确定具体的区域范围内产生绘制s平面图的区域。

meshgrid(x,y,fs)：绘制系统函数的零极点曲面图。

zplane(b,a)；

系统的稳定性主要取决于系统函数的收敛域是否包含整个虚轴，因此要根据系统的其他性质结合零极点图得出系统函数的收敛域，进而判断系统的稳定性，而系统的因果性则取决于系统极点位置的分布。

3、拉普拉斯反变换的计算

计算拉普拉斯反变换通常有长除法和部分分式展开法。MATLAB的内部函数residue( )可以实现部分分式的展开。

例：已知某信号的拉普拉斯变换表达式为

求该信号的时域表达式。

解：由于题目没有指定收敛域，所以必须考虑所有可能的情况。为此，可以先计算出该信号的拉普拉斯变换表达式的极点。很显然，X(s)有两个极点，分别为 s = -1，s = -2。

在MATLAB命令窗口键入：

>> b = 1;

>> a = [1 3 2];

>> [r, p, k] = residue (b, a)

命令窗口立即给出计算结果为：

r =

    -1

     1

p =

    -2

    -1

k =

     [ ]

根据r、p、k之值，可以写出X(s)的部分分式和的表达式为：

然后根据不同的收敛域，可写出X(s)的时域表达式x(t)。

第一种情况为Re{s} < -2，则x(t)为左边信号，其数学表达式为

第二种情况为-2 < Re{s} < -1，则x(t)为双边信号，其数学表达式为

第三种情况为Re{s} > -1，则x(t)为因果信号，其数学表达式为

在这个例题中，函数residue( )仅仅完成了部分分式展开的任务，至于反变换的数学表达式还得结合收敛域的不同才能写出。

如果X(s)的分子的阶数不小于分母的阶数，则k将不是一个空矩阵，例如，当时，在命令窗口中键入：

>> b = [1 0 0 0];

>> a = [1 3 2];

>> [r,p,k]=residue(b,a)

则：

r =

     8

    -1

p =

    -2

    -1

k =

     1    -3

这里的k = [1 3]，实际上是将X(s)做了一个长除法后，得到的商的多项式。所以，根据上面的r、p、k的值，可写出X(s)的部分分式和的表达式为：

有关函数residue( )的详细用法，可查阅MATLAB帮助文件。

三、实验内容：

已知某连续因果系统的微分方程为：

   a=1

1、写出该系统的系统函数表达式。

2、绘制该系统的幅度响应特性、相位响应特性曲线图，并判断该系统具有何种滤波特性。

3、绘制该系统的零极点图，判断该系统的稳定性。

4、写出该系统的单位冲激响应h(t)。

5、选做：改变方程中的a值，分别取0.6、0.8、4、16等不同的值，观察a取不同的值时系统的幅度频率响应特性曲线的变化（带宽、过渡带宽和阻带衰减等），说明零点位置对系统滤波特性的影响。

6、已知该系统的输入信号为，要求输出信号，K为一个不为零的常数，根据5中不同a值得到的幅度频率响应曲线，选择一个合适的a值使得本系统能够满足该滤波要求。

实验结果：

实验代码：a=[1,2,2,1];

b=[0,1,0,1];

w=0:0.001:10;

[H,w] = freqs(b,a);

subplot(221);

plot(w,abs(H));

title('系统的频率响应')

subplot(222);

plot(w,angle(H));

title('系统的单位冲激响应')

subplot(223)

[x,y] = meshgrid(-2,2)

[z,p,fs] = tf2zp(b,a)

meshgrid(x,y,fs)

zplane(b,a)

title('零极图')

实验截图：

该系统是带通滤波特性。系统较稳定。

系统函数X（s）=s-2+i/(s+1)-i/(s+0.5-0.866i)；

单位冲激函数h（t）=（e^(-t)-(e^(-0.5+0.866i)+e^(-0.5-0.866i)）u(t)